UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 UNVERTETET OLO Det matematisk-naturitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys1120 Eksamensdag: Onsdag 12. desember 2018 Tid for eksamen: Oppgaesettet er på: 5 sider Vedlegg: Formelark Tilatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Rottman: Matematisk formelsamling Øgrim og Lian: Fysiske størrelser og enheter Kontroller at oppgaesettet er komplett før du begynner å sare på spørsmålene. Oppgae 1: Parallelle linjer a) En ladning q befinner seg i akuum i punktet r 0 = x 0ˆx =(x 0, 0, 0) på x-aksen. Ha er det elektriske feltet i punktet r =(x, y, z)? Lag en tegning som illustrerer ektorene du har brukt i utregningen og retningen på feltet i punktet r. úúú b) En uendelig lang linjeladning med uniform linjeladningstetthet fl l er plassert på x-aksen. Det er ingen andre ladninger til stede og systemet er i akuum. Finn det elektriske feltet Ę ipunktet r =(x, y, z). c) En uendelig lang linjeladning med uniform linjeladningstetthet fl l er i stedet plassert på en linje parallel med x-aksen gjennom y = d. Det er ingen andre ladninger til stede og systemet er i akuum. Finn det elektriske feltet Ę ipunktet r =(x, y, z). d) La oss nå anta at systemet består a to uendelig lange linjer som er parallelle med x-aksen. Den ene linjen går gjennom punktet (0, 0, 0) og den andre går gjennom (0,d,0). Begge linjene har uniforme linjeladningstettheter fl l. Vis at det elektriske feltet Ę( r ) i xy-planet er: fl l Ę = 2fi y ŷ. (1) y d

2 Eksamen i FY1120, 12. desember 2018 ide 2 Vi ser nå på et system som består a en linje langs x-aksen og gjennom origo med en linjeladningstetthet fl l som ikke er uniform, men arierer med x: Y _] 0 x<0 fl l (x) = fl l (x) 0 Æ x Æ L. (2) _[ 0 x>l e) Finn et uttrykk på integral-form for det elektriske feltet Ę( r ) ipunktet r =(x, y, z) fra linjeladningstettheten fl l (x) på x-aksen. (Du skal ikke løse dette integralet). f) Anta at du kan tilnærme integralet med en sum oer N elementer med bredde dx i = L/N i posisjonene x i =(i +1/2)dx i for i =0, 1,...,N 1. Hert element bidrar med en punktladning dq i = fl l (x i )dx i. kri et kort program som finner en tilnærmet erdi for det elektriske feltet Ę( r ) ipunktet r ed å summere feltene fra punktladningene dq i. Oppgae 2: ylindrisk komponent Vi skal i denne oppgaen studere oppførselen til en sylinderformet nerecelle som illustrert i figuren. Vi modellerer en del a cellen som et sylinderskall. ylinderskallet har lengde L. Den indre radiusen er a. Tykkelsen på sylinderskallet er d. Du kan anta at L er mye større enn a og d slik at systemet har sylindersymmetri. d x a L Først ønsker i å finne kapasitansen til sylinderskallet. Vi antar da at området innenfor og utenfor sylinderskallet er ideelle ledere. ylinderskallet er et dielektrisk materiale med dielektrisk konstant. a) Anta at det er en ladning Q på den indre oerflaten a sylinderskallet og en ladning Q på den ytre oerflaten a sylinderskallet. Finn det elektriske feltet alle steder i rommet. b) Finn skalarpotensialet V (r) som funksjon a astanden r til sylinderskallets akse.

3 Eksamen i FY1120, 12. desember 2018 ide 3 c) Vis at kapasitansen til sylindernskallet er = 1 2fi L 2. (3) ln 1+ d a å ønsker i å finne resistansen til sylinderskallet. ylinderskallet er en leder med konduktiitet. d) Finn strømtettheten J i sylinderskallet når det går en strøm gjennom sylinderskallet fra den indre til den ytre oerflaten. e) Finn det elektriske feltet Ę i sylinderskallet i dette tilfellet. f) Finn skalarpotensialet V (r) i sylinderskallet og bruk dette til å ise at resistansen til sylinderskallet er 1 2 R = ln 1+ d a. (4) 2fi L Oppgae 3: Krets-modell for en celle Vi skal studere en krets som en modell for en cellemembran. Kretsen består a en kondensator, en motstand R og et batteri med emf e koblet sammen som illustrert i figuren. Vi måler potensialforskjellen mellom punkt A og B, V AB. B R e A a) Ved tiden t =0er kondensatoren uten ladning. Ha er strømmen R gjennom motstanden ed t =0? b) Ha er ladningen, Q Œ, på kondensatoren når t æœ?

4 Eksamen i FY1120, 12. desember 2018 ide 4 c) Vis at likningen som beskrier ladningen, Q, på kondensatoren kan skries som hor = R. dq dt = 1 (Q Œ Q), (5) d) kri et program som finner spenningen V AB (t) som funksjon a tiden for dette systemet. Oppgae 4: Dobbeltspole Vi skal i denne oppgaen studere en solenoide som ist i figuren. olenoiden består en ledning som er iklet N ganger om en sylinder med radius a og lengde L hor L a. nne i sylinderen er det et magnetisk materiale med permeabilitet µ. L x a 1 a) Finn H-feltet, B-feltet og magnetiseringen M inne i solenoiden når det går en strøm gjennom ledningen. Du kan anta at H-feltet er null utenfor solenoiden og at H-feltet kun har en komponent i x-retningen inne i spolen. b) Finn selinduktansen L 11 for spolen. Vi ikler nå en ny ledning rundt den samme spolen med M antall iklinger som illustrert med stiplet linje i figuren under. Merk at indikert positi strømretning rundt spolen for strøm 2 er motsatt a positi strømretning for 1. Du kan anta at a og L er de samme, at ledningene er isolerte slik at de ikke er i kontakt og at begge ledningene dekker det samme området på sylinderen.

5 Eksamen i FY1120, 12. desember 2018 ide 5 2 x a 1 c) Ha er den gjensidige induktansen L 12 mellom disse to spolene? d) Vi kobler spole 1 til en tidsarierende spenningskilde med emf V 1 (t) og spole 2 til en motstand R 2. Finn et sett med likninger for strømmene 1 og 2 i spole 1 og spole 2. (Du skal ikke løse disse likningene). 2 R 2 x a 1 V 1 + -

6

7 Formler i elektromagnetisme: ref F = Qq 4 R ˆR, 2 E = F/q, V P = E dl, V = Q P 4 R, E = rv, D d = Q fri i, r D =, D = 0 E + P, P = 0 e E, D = E, = 0 (1 + e ), = Q/V, = /d, W e = 1 2 V 2, w e = 1 2 D E, p = Qd, J = NQ, J = E, P J = J Ed, db = µ 0 dl ˆR 4 R 2, df = dl B, F = Q(E + B), T = m B, m =, H = B M, M = m H, B = µh, µ = µ 0 (1 + m ), µ 0 r B =0, H dl = J d, w m = 1 2 B H, L 12 = 12 1 = L 21 = 21 2, L =, W m = 1 2 nx k k = 1 2 k=1 nx j=1 k=1 nx L jk j k, F = (rw m ) uten kilder eller tap, F =+(rw m ) =konst, r J + t =0. Kretser: X V i =0, i X i i =0, V = R, = dv dt, V =Re{ ˆV exp(i!t)}, Ẑ = R, Ẑ = 1 i!, Ẑ = i!l. V = Ld dt, P = V, Maxwells likninger: r E = B t, B E dl = t d, e = d dt, r H = J + D t, H dl = J + D d, t r D =, D d = Q fri i, r B =0, B d =0. Potensialer i elektrodynamikken: A B = r A, E = rv t, r2 V µ 2 V t 2 =, r2 A µ 2 A t 2 = µj, V (r,t)= 1 (r 0,t R/c)d 0, A(r,t)= µ J(r 0,t R/c)d 0. 4 R 4 R Grensebetingelser: E 1t = E 2t, D 1n D 2n = sˆn, H 1t H 2t = J s ˆn, B 1n = B 2n. Konstanter: µ 0 = H/m 0 =1/(µ 0 c 2 0) F/m Lyshastighet i akuum: c 0 =1/ p µ 0 0 = m/s m/s Lyshastighet i et medium: c =1/ p µ Elementærladningen: e = Elektronets hilemasse: m e = kg tandard tyngdeakselerasjon: g = m/s 2 Graitasjonskonstant: = N m 2 /kg 2.

8 Di erensielle ektoridentiteter: ˆx rv = V (x ilkårlig akse) x r(v + W )=rv + rw r(vw)=v rw + W rv rf(v )=f 0 (V )rv r(a B) =(A r)b +(B r)a + A (r B)+B (r A) r (A + B) =r A + r B r (V A) =V r A + A rv r (A B) =B r A r (A + B) =r A + r B A r B r (V A) =(rv ) A + V r A r (r A) =0 r (rv )=r 2 V r (rv )=0 r (r A) =r(r A) ntegralidentiteter: r 2 A rv d = V d r Ad = A d (Diergensteoremet) r Ad = d A r A d = A dl (tokes teorem) Kartesisk koordinatsystem: rv = V V ˆx + x y ŷ + V ẑ r A = A x x + A y y + A z Az r A = ˆx y + ŷ Ax A z x A y + ẑ Ay x A x y ylindrisk koordinatsystem: rv = V ˆr + 1 V r ˆ + V ẑ r A = 1 r r A = ˆr + ˆ Ar r 2 V = 1 r (ra r ) 1 A z r A z + 1 r + ẑ r A A (ra ) + A z A r r V V r V 2 færisk koordinatsystem: rv = V ˆr + 1 V r ˆ + 1 V r sin ˆ r A = 1 (r 2 A r ) r (sin A ) r sin + 1 A r sin r A = ˆr (sin A ) A r sin + ˆ 1 A r (ra ) r sin + ˆ (ra ) A r r r 2 V = 1 r r 2 sin r 2 V 1 2 V r 2 sin 2 2 sin V r 2 V = 2 V x V y V 2 r 2 A =(r 2 A x )ˆx +(r 2 A y )ŷ +(r 2 A z )ẑ