Kap. 24 Kapasitans og dielektrika

Transkript

1 Kap. 24 Kapasitans og dielektrika Grunnleggende forståelse for HVA en kondensator er, HVORFOR den virker som den gjør, hvilke BEGRENSINGER den har og hvorfor et DIELEKTRIKUM er påkrevd i en kondensator. Kapasitans Energi i kondensatorer og ladningssamlinger generelt Beskrive et dielektrikum: polarisering P, elektrisk flukstetthet D, relativ permittivitet ε r Gauss lov for dielektrika.

2 Små kondensatorer og store kondensatorer.. Fra Wikipedia:

3 Van de Graaff generator Y&F fig Se også Wikipedia Oppgitt overslagsspenning kv ,5 ved cm Coronautladning ved E max = 30 kv/cm på overflata V max = E max R = 300 kv Q max = V max C = 3,3 μc

4 Øving 3, opg. 1 Coronautladning ved > 30 kv/cm Fra Corona discharge on insulator string of a 500 kv overhead power line. Corona discharges represent a significant power loss for electric utilities.

5 Van de Graaff-generator i Gamle fysikk, 1952 Forskning i kjernefysikk. Opptil 2000 kv Kulediameter ca 60 cm høytrykkskammer rundt sett fra IT-bygg sør (Aud F1)

6 Jordkloden: Ladning og felt E = 130 V/m (nedover) C = 4πε 0 R = 0,71 mf V = ER = - 0,83 GV Q = CV = - 0,59 MC R = 6400 km

7 Kap. 24 Kapasitans og dielektrika Kondensatorer = to ledere som kan lagre ladning, +Q og -Q Kapasitans: C = Q/V (enhet F = farad) der V = V 2 - V 1 for to ledere (Type A) eller V = V - V for enkeltleder (Type B) Eks. 1: Enkeltkule: C = 4πε 0 R Eks. 2: Parallellplatekondensator Eks. 3: Kulekondensator Eks. 4: Sylinderkondensator (koakskabel) Seriekopling og parallellkopling Uttrykk for energi i kondensatorer og ladningssamlinger Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering P Elektrisk flukstetthetsvektor: D Gauss lov for dielektrika.

8 Parallellplatekondensator C = ε 0 A/d Hvor stort areal for 1F kondensator hvis f.eks. d = 0,1 mm? A = C d/ ε 0 = 1 F 0,1 mm / F/m = 11 km 2!!

9 Eks. 1: Enkeltkule (ladning q) Type B Eks. 3: Kulekondensator Type A = to kuleskall med ladning +Q og Q =Ex (Fig 24.5) C = 4πε 0 R C = 4πε 0 r b r a /(r b -r a ) 4πε 0 r b r a /r b = 4πε 0 r a når r b

10 Eks. 4: Sylinderkondensator = Y&F Ex = to sylinderskall med ladning +λ og λ (C/m) = koaksialkabel Type A Utregnes helt tilsvarende som kulekondensator. Fra labhefte 2016: 1) Finn E r 2) integrer og finn V(r) (Metode 2) ( Eks 9 Kap 23) 3) finn kapasitansen C = Q/V ab (Fig 24.6) Metode 1: 1 qi V ( r) 4 0 i ri 1 dq V ( r) 4 r Metode 2: V V E d l b a 0 b a

11 Kap. 24 Kapasitans og dielektrika Kondensatorer = to ledere som kan lagre ladning, +Q og -Q Kapasitans: C = Q/V (enhet F = farad) der V = V 2 - V 1 for to ledere (Type A) eller V = V - V for enkeltleder (Type B) Eks. 1: Enkeltkule: C = 4πε 0 R Eks. 2: Parallellplatekondensator C = ε 0 A/d Eks. 3: Kulekondensator C = 4πε 0 r b r a /(r b -r a ) 4πε 0 r a Eks. 4: Sylinderkondensator (koakskabel) Seriekopling: C = Σ C i ; parallellkopling: 1/C = Σ 1/C i Uttrykk for energi i kondensatorer Uttrykk for energi i ladningssamling Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering P Elektrisk flukstetthetsvektor: D Gauss lov for dielektrika. når r b I dag Neste uke

12 Uttrykk kapasitans C = ε r ε 0 (geometrifaktor) korreksjonsfaktor i dielektrika (anna enn luft) Koaksialkondensator: C enhet: meter 2 r 0 ln r / r b a l Parallellplatekondensator: C r 0 A d Kulekondensator: C rb ra r 04 r r b 4 r når r r 0 a b a

13 i parallell Kondensatorer: i serie V + - C 1 Q 1 C 2 Q 2 V V + - C 1 +Q -Q C 2 +Q V 1 -Q V 2 V + - C Q V V + - C Q -Q V Q = Q 1 + Q 2 CV = C 1 V + C 2 V V lik for alle => C = C 1 + C 2 = Σ C i V = V 1 + V 2 Q/C = Q/C 1 + Q/C 2 Q lik for alle => 1/C = 1/C 1 + 1/C 2 = Σ 1/C i 2 kond: C = C 1 C 2 /(C 1 +C 2 )

14 Øking av avstand d i platekondensator: => C = ε 0 A/d avtar 1. Tilkopla batteri: V konstant Q = CV avtar E avtar U = ½ QV avtar (gis til batteriet) V +Q - Q d 2. Frakopla batteri: Q konstant E konstant V = Q/C øker U = ½ QV øker (tilføres fra ytre kraft) +Q - Q F = QE d

15 Elektrisk energi Uttrykt med ladning og potensial: U = ½ V Q = ½ C V 2 = ½ Q 2 /C (24.9) (utledet for kondenstor; all Q på samme V) U = ½ Σ V i Q i U = ½ V dq (ulike Q i på ulike V i ) (ulike dq på ulike V) (24.9C) (24.9C) Her beregnes energien U i ferdig oppbygd ladning

16 Kap 23, eks. 2. To ladninger A. Energiberegning under oppbygging: q 1 først, så q 2 : U = U 1 + U 2 = 0 + q 2 kq 1 /a q 2 først, så q 1 : U = U 2 + U 1 = 0 + q 1 kq 2 /a C. Ferdig oppbygd: ved potensial energi q 1 V 1 =kq 2 /a q 1 V 1 = q 1 kq 2 /a q 2 V 2 =kq 1 /a q 2 V 2 = q 2 kq 1 /a Sum: Σ q i V i = 2 q 2 kq 1 /a Regnet dobbelt! Konklusjon: C. Energi beregnet fra potensial i ferdig oppbygd ladning: U = ½ Σq i V i

17 Elektrisk energi Beregning for sum av punktladninger: A. Setter inn én og én ladning med energi for hver: U = q q 2 V 21 + q 3 (V 32 +V 31 ) + etc. B. Sum over parvise ladninger, men hvert par bare én gang: U = Σ i<j k Q i Q j /r ij C. Sum over ferdig oppbygd ladning U = ½ Σ V i Q i (24.9C) Anbefaler C. Øving 5, oppgave 2 a): Fire punktladninger

18 Aud R2: Hvor mye energi for å plassere inn mange 1C ladninger? A. Sette inn én og én ladning: 1V=0 U 1 =0 3V 31 +V 32 U 3 =(V 31 +V 32 )Q U 2 =V 21 Q 2 V 21 o.s.v.

19 Eks.6: Energi for homogent ladd kule (Y&F Fig 22.22) ~ 1/r Beregna i Eks.8 kap. 23: k Q r V ( r) 3 2 R R 2 2 inni kula 1 U ( ) d (24.9C) 2 V r q 1 3 kq V ( r) d 2 5 R OBS: dq = 0 utenfor kula Kulesymmetri: dτ = 4π r 2 dr = kuleareal tykkelse 2

20 Infinitesimale volumelement Kartesiske koord.: (dv =) dτ = dx dy dz Kulekoordinater: dτ = dr rdθ r sinθ dφ = sinθ dθ dφ r 2 dr Integrert over θ og φ: dτ = 0π sinθ dθ 2π 0 dφ r 2 dr = 2 2π r 2 dr Når kulesymmetri bruk alltid dette uttrykket dτ = 4π r 2 dr = kuleareal tykkelse Tilsvarende ved sylindersymmetri og sylinderkoordinater: dτ = 2π r dr l = omkrets tykkelse høyde

21 Energi U uttrykt med E-feltet areal A idealisert d volum = Ad U = ½ ε 0 E 2 Ad u = U/τ = ½ ε 0 E 2

22 Elektrisk energi 1. Uttrykt med ladning og potensial: U = ½ V dq (= ½ V Q = ½ C V 2 ) (24.9C) 2. Uttrykt med elektrisk felt: U = u dτ = ½ ε 0 E 2 dτ Hvor er energien lagra: I ladningene eller i det elektriske feltet? På platene eller mellom platene? To uttrykk for SAMME energi! (24.11B)

23 Eks. 7: Energi på lederkule med ladning q U fra E: U = ½ ε 0 E 2 dτ U fra V: U = ½ V dq = ½ V(R) q

24 Eks.6+7 U = ½ V(r) dq V(R) Eks.7: Ladd lederkule: U = ½ kq 2 /R V(R) Eks. 6: Homogent ladd kule: U = 3/5 kq 2 /R = 6/5 U ladd lederkule (20 % høyere enn ladd lederkule)

25 Eks.6B: Finn energi for homogent ladd kule fra elektrisk felt: U = u dτ = ½ ε 0 E 2 dτ (24.11B) = Heimelekse! Kjent svar fra Eks. 6: U = 3/5 kq 2 /R ~ 1/r (Y&F Fig 22.22)

26 Kap. 24 Kapasitans og dielektrika Gjennomgått: Kondensatorer = to ledere som kan ta opp ladning Kapasitans: C = Q/V (farad), med eksempler:» Enkeltkule: C = 4πε 0 r a» Parallellplate: C = ε 0 A/d» Kulekondensator: Seriekopling og parallellkopling Energi i kondensatorer Energi i ladningssamlinger U = ½ V Q = ½ C V 2 U = ½ V dq Videre: Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering P =χ e ε 0 E Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E + P Gauss lov for dielektrika: Noen anvendelser/eksempler C = 4πε 0 r b r a /(r b -r a ) U = ½ ε 0 E 2 dτ - σ i p P σ i (fig 24.20)

27 Dielektrika og elektrisk polarisering Materialer: Vakuum Ledere Dielektrikum Mellom plater i kondensator brukes alltid et dielektrikum Kapasitansen øker da med en faktor ε r.

28 relativ permittivitet ε r ( ) ε r ε r

29 Kraftmoment på dipol: a/2 qe ( a/2) ( qe) qa E p E -qe a Χ qe p Kraftmoment dreier p til å bli (om mulig) parallell med E p

30 Ledere i ytre E-felt Ladninger forskyves, inntil E = 0 -σ σ E = 0 (fig 22.28a)

31 Dipolinnretting (polarisering) gir flateladning σ i (i = indusert ladning) -σ i σ i p P Definisjon: P = p/volum El. nøytralt innenfor her Observasjon: P = χ e ε 0 E

32 D = ε 0 E 0 P = χ e ε 0 E (1) E P D = ε 0 E + P (2) Resulterende E mindre enn E 0 P D = ε 0 E + P er uendra. Men P «spiser opp» noe av E

33 relativ permittivitet ε r ( ) ε r χ e = ε r -1 D = ε r ε 0 E P = χ e ε 0 E ε r χ e = ε r Relative permittivity ε r Luft: 0,3 X 10 7

34 +σ + -σ i +σ i -σ - Gaussflate S E=0 + + E Gaussflate + S 1 P - - E=0 + E

35 Gauss lov: Gauss lov for fri ladning Q: eller D d A Q E d A Q / P d A Q Gauss lov for indusert ladning Q i : (11) (12) i Mest praktiske Gauss lov for totalladning Q tot : (10) I alle tidligere formler kan ε 0 E erstattes av ε r ε 0 E =ε E = D og la Q = fri ladning Eks.: Gauss lov (ovenfor) Eks.: Coulombs lov: E Q tot = Q + Q i 1 Q 1 r E 4 0 r 4 r 0 1 Q D 2 r 4 Q r 2 2 r r

36 Kap. 24. Dielektrika og polarisering. Oppsummering så langt Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering = dipoltetthet: P = χ e ε 0 E der χ e er elektrisk susceptibilitet. Relativ permittivitet ε r = χ e + 1 (dielektrisitetskonstant) Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E + P = ε r ε 0 E (forskyvningsvektor) D og P ikke presentert i Y&F. Kort sammenfatta i Notat 1 Øving 7 sentral!

37 Eks. 8 Parallellplatekondensator uten og med dielektrikum A. Frakopla batteri: Konstant: σ = D = Q/A Avtar: V 1 = V 0 /ε r Øker: C 1 = Q/V 1 = ε r C 0 = ε r ε 0 A/d Energi: U 1 = ½ QV 1 avtar +Q -Q B. Tilkopla batteri: Konstant: V 1 = V 0 Øker: σ 1 = D 1 = Q 1 /A = ε r D 0 Øker: C 1 = Q/V 1 = ε r C 0 = ε r ε 0 A/d Energi: U 1 = ½ QV 1 øker (tilføres fra batteriet) V

38 Gauss lov Kap. 22 Kap. 24 Integralform: Differensialform: 1 E E da q 0 S dive 1 0 D da q = elektrisk fluks divd divd divergensen til D div D D [ / x, / y, / z] D

39 divergens = kilde = pos.ladning = kilde = E-felt div D > 0 div D = 0 Uttrykk divergens, se formelark

40 Kap. 24: Oppsummering 1 Kondensatorer og kapasitans Kondensatorer = to ledere som kan ta opp ladning Kapasitans: C = Q/V (farad) Enkeltkulekondensator: C = 4πε 0 R (Eks. 1) Parallellplatekondensator: C = ε 0 A/d (Eks. 2) Kule(skall)kondensator: C = 4πε 0 r a r b (r b -r a ) (Eks. 3) Sylinderkondensator (koakskabel): C = 2πε 0 /lnr b /r a (Eks. 4) Parallellkopling: C = C 1 + C 2 Seriekopling: 1/C = 1/C 1 + 1/C 2 Energi ved ladning og potensial: U = ½ V dq Energi ved elektrisk felt: u = ½ ε 0 E 2 dvs. U = ½ ε 0 E 2 dτ For kondensator gir dette: U = ½ VQ = ½ CV 2 = ½ Q 2 /C

41 Kap. 24: Oppsummering 2 Dielektrika og polarisering. Mer utfyllende i Notat1: Dielektriske materialer. Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering = dipoltetthet: P = χ e ε 0 E der χ e er elektrisk susceptibilitet. Relativ permittivitet ε r = χ e + 1 (dielektrisitetskonstant) Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E + P = ε r ε 0 E (forskyvningsvektor) Elektrisk fluks: D d A Gauss lov for fri ladning Q = Q tot - Q i : d D d A Q eller P d / A Q Gauss lov for indusert ladning Q i : i Gauss lov for totalladning Q tot : E A Q I alle tidligere formler kan ε 0 E erstattes av ε r ε 0 E =ε E = D med Q = fri ladning Kondensator med dielektrikum: Alle ε 0 erstattes av ε r ε 0

42 Uttrykk kapasitans C = ε r ε 0 (geometrifaktor) enhet: meter Koaksialkondensator: C r 0 2 ln r / r b a l Parallellplatekondensator: C r 0 A d Kulekondensator: C rb ra r 04 r r b 4 r når r r 0 a b a

43 Dielektrika i kondensatorer: 1. Kapasitansen øker med faktor ε r. 2. Overslag ( breakdown, «dielectric strength») ved høyere grense. Høyere max spenning! ε r Dielectric strength Luft: 3 X 10 6

44 Spesielle dielektrika. (ikke pensum) Piezoelektriske materialer: Mekanisk strekk eller trykk polarisasjon P (eller motsatt:) E-felt P-felt deformasjon Bruk: Kvartskrystaller, mikrofoner, pickup (platespillere vinyl ) Ferroelektriske materialer (dipol-electrets): Materialer med permanent polarisasjon P (tilsvarer permanente magneter)

45 Skjematisk om E, P og D: Dielektrisk materiale i homogent E-felt ε r P = χ e ε 0 E ε 0 E P χ e ε r = χ e +1 1/3 4/ D = ε 0 E + P endres ikke (ingen frie ladn. i dielektriet) (# flukslinjer P ) = χ e (# flukslinjer ε 0 E)

46 Skjematisk om E, P og D: Dielektrisk materiale i homogent E-felt D = ε 0 E + 0 = D = ε 0 E + P = D = ε 0 E + 0 avtar øker D = 1 ε 0 E = D = ε r ε 0 E = D = 1 ε 0 E P = χ e ε 0 E der E er inni dielektriket, ikke ytre

47 Øking av avstand d i platekondensator: => C = ε 0 A/d avtar 1. Tilkopla batteri: V konstant Q = CV avtar E avtar U = ½ QV avtar (gis til batteriet) V +Q - Q d 2. Frakopla batteri: Q konstant V = Q/C øker E konstant U = ½ QV øker (tilføres fra ytre kraft) +Q - Q F = QE d Beregning fra arbeid: ΔU = F Δd = QE Δd

48 Flervalgsoppgaver fra «Thinking physics»: ng/tfy4155/diverse/thinkingphysics/ Svar: a) Konstant ladning Q Lavere kapasitans C = ε 0 A/d => Høyere spenning V = Q/C => Mer energi U = ½ QV! eller: Konstant ladning Q => Konstant felt E = σ/ε 0 => Konstant energitetthet u = ½ ε 0 E 2 => U = u (volum) øker! V = E d øker også

49 Svar: a) Konstant ladning Q Lavere ε r =>Lavere kapasitans C = ε r ε 0 A/d => Høyere spenning V = Q/C => Mer energi U = ½ QV! eller: Konstant ladning Q Lavere ε r => Økende felt E = σ/ε r ε 0 => Økende energitetthet u = ½ ε 0 E 2 V = E d øker også

50 Noen av Støvnengs flervalgsoppgaver E uendret.