Elektrisk potensial/potensiell energi

Transkript

1 Elektrisk potensial/potensiell energi. Figuren viser et uniformt elektrisk felt E heltrukne linjer. Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke? A. B. C. 3 D. 4 E. Det endrer seg langs alle linjene 3 4 E Løsning: 3. V = E d l = dersom d l E.. En partikkel med negativ ladning plasseres med null starthastighet i et elektrostatisk felt E. Partikkelens bevegelse blir A. i retning høyere potensiell energi B. i retning lavere potensial C. i samme retning som E D. i retning normalt på E E. i retning lavere potensiell energi Løsning: På samme måte som et legeme med null starthastighet faller i gravitasjonsfeltet fra f.eks. jorda, dvs. beveger seg i retning lavere potensiell energi, vil en ladet partikkel med null starthastighet bevege seg i retning lavere potensiell energi i et elektrisk felt. Matematisk: F = kraft, = ladning <, U = potensiell energi, V = potensial F = E = E E = V U = V = V F = U = V = V Mulige rette svar er altså: Beveger seg i retning lavere potensiell energi U, i retning høyere potensial V, 3 i motsatt retning av E eller 4 i samme retning som kraft F, hvorav bare var gitt som et mulig flervalg. 3. Den potensielle energien til to elektroner i innbyrdes avstand. nm har verdi nærmest ev =.6 9 J A. 4.4 ev B. 8.9 ev C.. ev D. 7.3 ev E.. ev Løsning: U = e V = e k e r = e Vm/C.6 9 C. nm = e 4.4 V = 4.4 ev. 4. En punktladning har en ladning på.5 C. Ved hvilken avstand fra punktladningen er det elektriske potensialet 8. V? A..46 mm B mm C..5 mm D.. mm E..8 mm

2 Løsning: For en punktladning er V = k/r. Denne løser vi for r: r = k V = Nm /C.5 C =.8 3 m =.8 cm. 8. V 5. Fire ladninger er plassert i hjørnene på et kvadrat som vist i figuren. Det elektriske feltet E og det elektriske potensialet V relativt uendelig i punktet P i sentrum av kvadratet oppfyller A. E = og V = B. E og V > C. E = og V > D. E og V < E. Ingen av disse er korrekt Løsning: E = og V =. E-feltet rundt hver punktladning er Er = a = kq/a. Potensialet relativt rundt hver punktladning er V r = a = kq/a. Med to positive og to negative ladninger i samme avstand er E = og V = i P. 6. To punktladninger = +. nc og = 7.5 nc er plassert. m fra hverandre. Et punkt P er.8 m fra og.7 m fra. Hva er potensialet i P? A. 6. V B. 76. V C. 3. V D. 5. V E. 6.9 V Løsning: V = i = 4πε r i i 4πε i +. = Nm /C 9 C.8 m + r r C.7 m = 76. V. 7. En positiv ladning er plassert i punktet x, y =, og en negativ ladning er plassert i punktet x, y = a,. Anta at V =. Ved hvilken posisjoner på x-aksen er V =? A. x = a og a/3 B. x = a/ og a/ C. Kun i x = a/4 D. Kun i x = a E. x = a og a/4 Løsning: Et generelt uttrykk for potensialet langs x-aksen er V = k x, x a som er når x = a og a/3. Potensial rundt elektrisk dipol Page

3 8. En elektrisk dipol som består av to punktladninger ± er plassert langs z-aksen med sentrum i origo, som vist i figuren. Det elektriske dipolmomentet er da p = a, der a = a ẑ er vektoren fra til. Siden vi her opplagt må ha symmetri med hensyn til rotasjon omkring z-aksen, er det tilstrekkelig å se på forholdene i et halvplan som inneholder z-aksen, f.eks. xz-planet, med x >. Vi kan videre velge mellom kartesiske koordinater x, z eller polarkoordinater r, θ for å angi en vilkårlig posisjon i dette planet. Vi skal se på begge deler i denne oppgaven. For standard polarkoordinater er vinkelen θ lik vinkelen som r danner i forhold til z-aksen, som vist i figuren. z V =? r a θ r r x f.eks. a Bestem først sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene og polarkoordinatene, dvs. xr, θ, zr, θ og rx, z. Løsning: Med vårt valg av polarvinkel θ ser vi fra figuren at x = r sin θ z = r cos θ r = x + z. b Vis at potensialet fra en slik dipol i kartesiske koordinater blir V x, z =. 4πε x + z a/ x + z + a/ Løsning: Vi bruker superposisjonsprinsippet for å bestemme potensialet fra de to punktladningene. Med punktet x, z i en avstand r fra og en avstand r fra får vi V x, z = 4πε r 4πε r = 4πε x + z a/ x + z + a/ Avstandene r og r uttrykt ved x og z ser vi direkte fra figuren. c Hva blir potensialet på x-aksen, V x,? Løsning: Potensialet på x-aksen blir V x, = 4πε x + a /4 =. x + a /4. Page 3

4 d Hva blir potensialet på z-aksen, V, z? På hele z-aksen; pass på fortegnene! Skissér funksjonen V, z. Løsning: Potensialet på z-aksen blir V, z = 4πɛ z a/ z + a/ Legg merke til at vi her må bruke absoluttverditegn hvis vi vil ha ett uttrykk som gjelder på hele z-aksen. Med z > a/: Med z < a/: Med a/ < z < a/:. z a/ z + a/ = z a/ z + a/ = a z a /4. z a/ z + a/ = z a/ + z + a/ = a z a /4. z a/ z + a/ = z a/ z + a/ = Skisse av V, z : V,z z z a /4 = z a /4 z. a/ a/ z e Vis at i stor avstand fra dipolen dvs r a er potensialet med god tilnærmelse gitt i polarkoordinater ved V r, θ = p cos θ 4πε r = p r 4πε r 3. Tips: Skriv om r r = r r r r, og bruk figuren over til å finne et tilnærmet uttrykk for dette når r a. Løsning: Vi bruker tipset gitt i oppgaveteksten, samt betraktning av følgende figur, og får: Med skisse menes en håndtegnet figur som viser hovedtrekkene i funksjonen. For den som insisterer på en mer rigid matematisk tilnærming til denslags, er det her snakk om å bestemme V r, θ til ledende orden i den lille parameteren a/r. Med andre ord, det oppgitte uttrykket for V r, θ er eksakt for en såkalt ideell dipol med null utstrekning dvs a. Page 4

5 V r, θ = = r r 4πɛ r r 4πɛ r r a cos θ 4πɛ r = p cos θ pr cos θ p r = = 4πɛ r 4πɛ r3 4πɛ r 3. z V =? r p θ r^ a θ θ r r x a cos θ r r Vi kan alternativt gå litt saktere fram: Fra figuren ser vi at følgende tilnærmelser kan brukes for r og r : r r a cos θ r r + a cos θ. Da blir a r r r r r + a r cos θ = cos θ r x + x r = r + x x, r der vi har definert x = a cos θ r, og siden x for r a gjelder rekkeutviklingen ±xn ± nx. Da får vi endelig r r r + x x = x r = a cos θ r. Merk at mens potensialet fra en enkelt punktladning monopol avtar som /r, avtar altså potensialet fra en dipol raskere, nemlig som /r. Dette er rimelig fordi dipolens negative og positive ladning bidrar med motsatt fortegn til det totale potensialet og vil delvis oppheve hverandre. På hele x-aksen vil de to bidragene eksakt oppheve hverandre. To kuleskall To svært tynne, konsentriske, metalliske kuleskall har radier henholdsvis og 3. Det indre skallet har ladningen, og det ytre skallet har ladningen 3. a Finn uttrykk for det elektriske feltet Er i alle deler av rommet. Løsning: For å finne E-feltet deler vi rommet opp i tre områder:, og 3 og bruker Gauss lov i hver av dem. r < : Innenfor det indre skallet er det ingen ladning, slik at E =. < r < 3 : Gaussflate = kuleflate som omslutter indre skall. Ladningen innenfor Gauss- Page 5

6 flata blir Q encl = og Gauss lov lyder E d A = ɛ. Pga. symmetri må E være konstant og radiell over kuleflata: E = Er ˆr, slik at E d A = Er 4πr Er = 4πɛ r. 3 < r: Gaussflate = kuleflate som omslutter ytre skall. Ladningen innenfor Gaussflata blir Q encl = 3 =. Er = 4πɛ r. Ei skisse av Er er vist under til høyre. b Hva er potensialdifferansen mellom skallene? Løsning: Vi kan finne potensialet på to måter, enten bruke E-felt fra oppgave a, eller bruke at potensialet fra et kuleskall er kjent V r = 4πɛ r, og addere bidraget fra de to kuleskall. Vi presenterer her den første metoden: V = V 3 V = 3 E d s = 3 ˆr dr ˆr = 4πɛ r [ 4πɛ 3 ] = πɛ. c Hvordan vil ladningen fordele seg dersom de to skallene forbindes med en tynn ledende tråd? Løsning: Når skallene blir forbundet, blir potensialforskjellen mellom dem null. Systemet kan betraktes som én leder, som ikke har noen ladning inni. All ladning går da til det ytterste skallet, som får ladning 3 =. Kule med gitt Qr 9. Ei kule med radius har en ladningfordeling slik at ladningen Qr innenfor radius r er gitt ved 4 Qr = 4πρ 3 r3 r4 for r. Den totale ladningen for kula er således Q = Q = 4π 3 3 ρ, hvor vi ser at ρ er gjennomsnittsverdien av ρr i kula. Utenfor kula er det ladningsfritt. Page 6

7 a Bruk Gauss lov til å bestemme det elektriske feltet utenfor kula r > og inne i kula r. Løsning: Oppgaveteksten virker kanskje litt tricky, siden det er ladningen som er gitt og ikke ladningstettheten. Men ganske likt oppgaver vi har sett tidligere er dette ei kule med en ladningstetthet som er avhengig av r innenfor, og ingen ladningstetthet utenfor. Det blir faktisk enklere å anvende Gauss lov da her ladning Q encl innenfor et visst kuleskall er gitt. Vi bruker Gauss lov, med Gaussflate lik ei kule konsentrisk til ladningsfordelinga. For r er det elektriske feltet som rundt en punktladning ved r = og med ladning Q. Dette har vi beregnet flere ganger tidligere: Er = Q 4πɛ r = ρ r, der det ved siste likhetstegnet er satt Q = 4πρ 3 3 og vi her og videre uttrykker størrelsene ved r/. For r er Q encl = Qr som gitt i oppgaven. Da E = Er ˆr er konstant over ei kuleflate blir: r : E da = Er 4πr = Qr = 4πρ 4 ɛ 3 r3 r4 Er = ρ 4 ɛ r 3 r. b Bestem det elektriske potensialet V r utenfor kula og inne i kula. Sett referanse V =. Tips: Finn først V r >. Uttrykk så integralet for V r < med V. V r må være kontinuerlig ved r =. Løsning: Det elektriske potensialet for r, relativt uendelig, er gitt ved: V r = r E d s = r Q 4πɛ r dr = Q 4πɛ Det elektriske potensialet for r kan skrives V r = [V r V ] + V, hvor V r V bestemmes ved å integrere ligning??: r r ρ V r V = E d s = 4r 3 3ɛ r dr = ρ = ρ ] [ r + r3 og V finnes ved innsetting i likning??: V = ρ. [ ] r = Q r 4πɛ r = ρ r. 3 ] r [r r3 Dermed er V r = [V r V ] + V = ρ ] [ r + r3 3 4 En potensialfunksjon kan ikke ha noen sprang. Dette ville innebære energiendring over null forflytning. Kontrollinnsetting av r = i de to uttrykkene for V r vil vise at potensialet Page 7

8 er kontinuerlig her: r, likning?? : V = ρ r, likning?? : V = ρ [ + ] = ρ c Finn uttrykk for romladningstettheten ρr for r. Løsning: omladningstettheten er definert ρr = dq. Med kulesymmetri bruker vi volumelement dv = 4πr dr, slik at vi med oppgitt Qr får dv ρr = dq 4πr dr = 4πρ d 4 3 r3 r4 4πr = ρ 4r dr r 4 r3 = 4ρ r. 5 Vi kan også beregne ρ fra Gauss lov på differensialform. Da må vi passe på å bruke rett utrykk for divergens i kulekoordinater fra formelark og Er fra ligning??: ρ = ɛ E d { = ɛ r r Er } { d ρ = ɛ 4r 3 dr r 3 } dr 3ɛ r4 = ρ { 3 r r } r3 = 4ρ r. d Bruk et digitalt verktøy f.eks. Python til å vise grafer av ρ, Q, E og V for < r/ < 3/. Velg dimensjonsløse variable: og plott alle i én figur. ρr/ 4ρ, Qr/ 4πρ, Er/ 3 3 ρ 3ε, V r/ ρ 3ε Løsning: Ved bruk av dataplott er det gunstig å bruke dimensjonsløse størrelser. Gode dimensjonsløse variable er gitt ved For r/ < : ρr 4ρ?? Qr 4πρ 3 3 Er/ ρ V r/ ρ = r oppgitt r 3 r 4 = 4 3?? r r = 4 3?? r r 3 = + For r/ : ρr = 4ρ oppgitt Qr 4πρ 3 3 Er/ ρ V r/ ρ oppgitt =?? =?? = r r Page 8

9 rho, Q, E og V for inhomogent ladd kule rho Q E V el. rho, Q, E og V r/ Page 9