Gauss lov. Kap. 22. Gauss lov. Gauss lov skjematisk. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform

Transkript

1 Kap Kap.. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform Elektrisk ledere. Efelt fra Coulombs lov: q E k r r E k n q r n n r n dq E k r r tot. ladn. Punktladn Flere punktladn. Kontinuerlig fordeling Blir lett vanskelig integrasjonsarbeid. En enklere metode? Ja: Gauss lov wikipedia.org Johann Carl Friedrich Gauss (777855), tysk matematiker / fysiker Gauss lov skjematisk Gauss lov Gjelder lukkede flater. Lukket flate Antall feltlinjer ut ant. feltlinjer inn prop. med: ladning innenfor. Netto fluks ut = /ε (ladn. innenfor) Integralform: E d A q encl

2 Kap Eks.: Homogent ladd kule =Y&F Ex..9 = LHL 9. UMULIG LØNING Feltlinjene må gå symmetrisk (radielt) ut fra kula. Eks.: Homogent ladd kule =Y&F Ex..9 = LHL 9. R r E d A qencl a) Utenfor kula r > R: q encl = Q Er 4r Q Q Er 4 r b) Inni kula r < R: q encl er mindre q encl = Q r 3 /R 3 Qr Er 3 UNYTTIG 4 R Eks.: Homogent ladd kule E d A q encl Eks.: Felt nær flateladning =Y&F Ex..7 = LHL 9.4 E d A q encl (Y&F Fig.) (Y&F Fig.)

3 Kap Eksempler i forelesning (Eks ), Y&F Ed3 (Ex ), og LHL (L ) Dipol Eks. Ex..8.4 L9.6 Linjeladning endelig Eks. 3 Ex.. Linjeladning uendelig (Eks. 3) L9.7 Tynn ring Eks. 4 Ex..9 irkulær plate Eks. 5 Ex.. Uendelig plate Eks. 6 Ex.. L9.9 Parallellplater Ex.. Eks. 7 Kule med homogen ladning Kap. Efelt Kap. Gauss lov Kap 3. Potensial Eks. 5 Ex..6, L9.3 Eks. Ex..7 L9.4 Eks. 4 Ex. 3.4 Ex. 3. Eks. 9 Ex. 3. Eks. 7 Ex. 3. Eks. 5B L9.5 Ex..8 Eks. 5 Ex. 3.9 Eks. Ex..9 L9. Lederkule Eks. 3 Ex..5 Eks. 8 L9.9 Eks. 6 Ex. 3.8 Ladningstettheter: ymbol Enhet Infinitesimal ladning Linje λ C/m dq = λ dl Flate σ C/m dq = σ da Rom ρ C/m 3 dq = ρ dτ I elmag brukes V for potensial, slik at vi velger τ for volum (!) Eks.: Romladning qencl dq d med høvelig volumelement dτ ylinderkoordinater (r,φ,z) Figur: tøvneng bruker ρ isf. r Kulekoordinater (r, θ, φ) Figur: tøvneng 3

4 Kap Infinitesimale volumelement Kartesiske koordinater: dτ = dx dy dz ylinderkoordinater: dτ = r dφ dr dz Integrert over φ: dτ = π dφ r dr dz = πr dr dz Når sylindersymmetri bruk alltid dette uttrykket: dτ = πr dr l = omkrets tykkelse høyde Kulekoordinater: dτ = dr rdθ r sinθ dφ = sinθ dθ dφ r dr Integrert over θ og φ: dτ = π sinθ dθ π dφ r dr = π r dr Når kulesymmetri bruk alltid dette uttrykket: dτ = 4π r dr = kuleareal tykkelse se også formelark Integralform: Gauss lov E d A q Fluks ut = /ε (ladn. innenfor) Differensialform: dive dive divergensen til E encl Dette er Maxwells likning nr.. divergens = kilde = pos.ladning = kilde = Efelt div E = Uttrykk divergens, se formelark div E > Gauss lov på differensialform: div E = divergensen til E Divergensen med nablaoperator: dive E Kartesiske koordinater: E,, Ex, Ey, Ez x y z E E x y Ez x y z ylinder og kulekoordinater: e formelark. Kun ravhengighet aktuelt ( / r). 4

5 Kap Oppsummering kap.. Gauss lov Fluks til E definert ved flateintegral: E Ed A Gauss lov: (fluks ut av gaussflate ) = /ε E d (ladning innenfor) A qencl Infinitesimal form: divdive E d d Gauss lov er enklere enn Coulombs lov når det er symmetri i ladning og/eller i elektrisk felt. Legg inn gaussflate slik at E da eller E da I ledere flytter ladninger seg tilnærmet uten motstand. I dag Like ladninger frastøter hverandre og legger seg på overflata av lederen. Inni alle ledere er derfor ρ = og E =. Eksempel litium: Et metallatom: Ett elektron frigjøres lett (valenselektron ) Nøytralt atom = positivt ladd ion fritt elektron (valenselektron) = Et metallatom: (eks Li) Ett elektron frigjøres lett (valenselektron ) Auditoriet: Hver av oss lades C (Hvis samme q/mforhold som et elektron, ville vi hatt ladning ~ 3 C!!) og valenselektronene beveger seg fritt i metallet: Totalt sett nøytralt 5

6 Kap lik også med overskuddsladning i metaller! Negativt ladd metall: overskuddselektroner Disse presses til overflata Totalt ladd negativt Positivt ladd metall: underskudd av elektroner Underskuddet (positivt) presses også mot overflata Positivt ladd metall: underskudd av elektroner Underskuddet (positivt) presses også mot overflata Gaussflate Q encl = Totalt ladd positivt Totalt ladd positivt 6

7 Kap Elektrisk ledere (metaller). Metallatomer har ett eller flere frie valenselektroner.. Evt. overskuddselektroner skyves til overflata (=> kun overflateladning σ.) 3. ρ= og E = inni 4. Rett utenfor overflata: kun E normal: E = σ/ε Eks.4: Eks.3: Lederkule med lederkuleskall ytterflate: Q innerflate Q Gaussflate q encl = Q Q a b c Gaussflate q encl = Gaussflate q encl = Q Feltet er null overalt inne i ledere.. og inne i ladningsfrie hulrom i ledere... men ikke i hulrom med ladning...øving 3, opg.. Y&F Fig.3 Nøytral leder i ytre Efelt Ladninger forskyves akkurat så mye at: ) E = i leder og hulrom ) E normal på overflata rett utenfor rom som er skjermet fra Efelt: Faradaybur 7

8 Kap Ladningsinduksjon og overføring av ladning. (Faradays bevis av Gauss og Columbs lov) uten kontakt med kontakt van de Graaff generator (Y&F fig.6) Ladning samles på utsida av metallkula, trenger bare tynt skall. E inni er kompleks E = inni Kap. Eks. 3. Linjeladning Generell løsning: de y Nærme: de x y E y k y y L E k y y L L y Nå med Gauss lov Oppsummering kap.. Gauss lov Fluks til E definert ved flateintegral: E Ed A Gauss lov: (fluks ut av gaussflate ) = /ε E d (ladning innenfor) A qencl Infinitesimal form: dive Gauss lov er enklere enn Coulombs lov når det er symmetri i ladning og/eller i elektrisk felt. Legg inn gaussflate slik at E da eller E da L dx L I ledere flytter ladninger seg tilnærmet uten motstand. Like ladninger frastøter hverandre og legger seg på overflata av lederen. Inni alle ledere er derfor ρ = og E =. 8