EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling.

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: Mandag 4. juni, 2018 Klokkeslett: 9:00 13:00 Sted: ADM B154 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling. Eksamenoppgaven inneholder 8 sider inklusiv denne første side samt formelsamling på side 8. Kontaktperson: Rune Graversen Mobil: Der vil bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet ca. kl. 10 og kl. 12. NB! Det er ikke tillatt å leverer inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Side 1

2 ed sensurering vil alle delspørsmål (1a, 1b,...) telle likt. Oppgave 1 En uendelig lang sylinder har en indre kjerne med ladningstettheten ρ 0 og et ytre skall med ladningstettheten ρ 0 se Figur 1. Figur 1: To kosentriske uendelig lange sylindre. Dimensjonene og ladningstetthet er som angitt på figuren. La origo være i sentrum av sylinderstrukturen. Den indre kjernen har en radius a og det ytre skallet har en radius b på innsiden og radius c på utsiden. Radiene er relatert slik at c = a 2 + b 2 1a) Argumenter for at den elektriske forskyvningsvektoren, D, kan gis på formen: D = D(r)â r, 1b) hvor r og â r er avstand og enhetsvektor i radiell retning fra symetriaksen på sylinderen. Argumenter for at andelen av D-feltet som det ytre skallet gir opphav til i området 0 r b er lik 0. Utled at D-feltet imellom de to sylinderene er: D = ρ 0a 2 2r âr, Side 2

3 1c) Finn uttrykket for D-feltet i hele rommet (0 < r < ). Skisser D(r). idere i oppgaven antar vi at rommet mellom den indre og ytre del av sylinderen er fylt med et lineær og isotropisk dielektrisk materiale. 1d) Beskriv hva et dielektrisk materiale er, og forklar hvordan det påvirker det elektriske feltet. Finn et uttrykk for den elektriske potensialforskjellen over det dielektriske materialet, altså mellom a < r < b Finn et uttrykk for den elektriske energien i det dielektriske materialet per lengdeenhet i sylinderens retning. Side 3

4 Oppgave 2 ρ s + d ε â d ρ s Figur 2: Kondensator med dielektrisk materiale utsatt for en spenning denne oppgaven skal vi se på en platekondensator som består av to elektroder. Disse lades opp ved hjelp av en likespenningskilde, slik at de får flateladningstettheter ρ s, og ρ s, henholdvis. Elektrodene er separert av et lineært, isotropt og homogent dielektrikum med tykkelse d, og permitivitet ε. Se Figur 2. Dersom det antas at arealet til elektrodene er mye større enn d 2, så kan det elektriske feltet i dielektrikumet mellom platene tilnærmes ved E = ρ s ε âd 2a) Gi en fysisk tolkning av kapasitans, og vis at kapasitansen til kondensatoren er gitt som der A er arealet til elektrodene. C = εa d Anta videre at materialet mellom elektrodene er ohmsk, og har en konduktivitet σ, slik at det vil gå en strøm gjennom materialet. 2b) Bruk Ohms lov til å vise at motstanden til materialet er gitt ved R = d σa Side 4

5 + R C Figur 3: RC-Krets med likestrøm 2c) Argumenter for at kretsen i Figur 3 er analog til systemet i Figur 2 når vi tar hensyn til strømmen igjennom materialet. Anta nå at likespenningskilden fjernes, slik at kondensatoren utlades gjennom materialet mellom elektrodene. 2d) is at den førsteordens inhomogene separable differensialligningen for potensialforskjellen, c, mellom elektrodene på kondensatoren er d c dt + σ ε c = 0 (1) Finn et uttrykk for utladningstiden til systemet, altså finn tiden τ slik at c (τ) = 0 e 1, der 0 er den opprinnelige ladningen som kondensatoren hadde før frakobling av likestrømkilden. Side 5

6 Oppgave 3 To jernskinner er koblet sammen ved hjelp av en ledning og en jernstav. Jernstaven beveger seg i kontakt med skinnene mot venstre med en hastighet v. Du kan annta at skinnene, jernstaven og ledningen er perfekte ledere. Et konstant magnetfelt er påtrykt ortogonalt innover i planet som skinnene ligger i, se Figur 4. Figur 4: To parallelle jernskinner sammenkoblet med en ledning (til venstre). En jernstav kan kjøre friksjonsfritt på skinnene. Et konstant magnetfelt er påtrykt ortogonalt på skinneplanet. 3a) Ta utgangspunkt i oppsettet i Figur 4 og bruk Lenz lov til å argumentere for at en strøm vil gå i kretsen som skinnene, staven og ledningen utgjør. Angi strømretningen. Det kan vises at for at sammenhengen mellom magnetisk og elektrisk kraft på en ladning gjelder følgende emf = E m dl = (v B) dl, (2) L hvor emf er spenningsfall indusert av en elektromotorisk kraft, E m er elektriske felt assosiert med ladningsbevegelse, v er hastigheten på ladningene og B er et magnetfelt. L 3b) Argumenter for riktigheten av siste likhetstegnet i likning (2). Hint: Du kan, for eksempel, ta utgangspunkt i krefter fra en ladning i et B og E-felt. Bruk likning (2) til å finne strømretningen i kretsen som oppsettet i Figur 4 utgjør. Kommenter om resultatet stemmer overens med Lenz lov. Side 6

7 Oppgave 4 4a) Ta utgangspunkt i Maxwells likninger på differensialform i vakuum, og utled bølgeligningen for det elektriske feltet: 2 E 2 c 2 2 E = 0 (3) Hint: du vil sikkert bruke laplace operatoren på vektorform: 2 A = ( A) ( A) Noter også at i vacuum er der hverken ladningstetthet eller strøm. En løsning til bølgeligninga (3) kan for eksempel gis på formen: Ẽ = E 0 e i(ωt kz) â x (4) Denne løsningen er en propagerende bølge i â z retningen, hvor ω er angulær svingefrekvens, k er bølgetallet, og E 0 er bølgeamplituden til E-feltet. 4b) Bestem en relasjon mellom c, svingningsfrekvensen og bølgetallet slik at likning (4) er løsning til likning (3). Argumenter også for at c må være fasefarten. Hint: kan f.eks. gjøres ved å se på relasjonen mellom z og t i løsningen når fasen holdes konstant. Betrakt videre i oppgaven en bølgeløsning på formen: Ẽ = E 0 sin(ωt kz + π)â x + E 0 sin(ωt kz + π/2)â y (5) 4c) is at Ẽ alltid er konstant og argumenter for at løsningen i likning (5) beskriver en sirkulært polarisert bølge. 4d) Det tidsvarierende elektriske feltet i likning (5) induserer et magnetfelt. Finn det tilhørende B-feltet til Ẽ i (5). Hint: her kan du bruke f.eks Maxwell-Faradays likning. SLUTT Side 7

8 Formelark FYS-1002 opppdatert 25. mai 2018 F 12 = 1 q 1 q 2 r 2 r 1 3 (r 2 r 1 ) (1) E(r) = 1 E(r) = 1 q r r 3 (r r ) (2) ρ(r )(r r ) r r 3 dv (3) E = ρ ν ε 0 (4) D = ρ f (5) (r) = 1 (r) = 1 q r r (6) ρ ν (r ) r r dv (7) E = 0, ( = 0) (8) E =, ( = 0) (9) ˆ = E dl (10) l W E = 1 ρ ν (r) (r)dv (11) 2 W E = 1 2 C 2 (12) w E = 1 2 D E (13) C = Q (14) = dq dt (15) = J ds (16) S Z C = 1 iωc (17) Z L = iωl (18) J = σe (19) J = ρ (20) R = (21) P = (22) B = µ ˆ 0 dl (r r ) 4π r r 3 (23) l B = µ 0 J, ( = 0) (24) B = 0 (25) w m = 1 2 B H (26) B = A (27) A(r) = µ 0 J(r ) 4π r r dv (28) F = q(e + v B) (29) L = NΨ B (30) M 21 = N 2Ψ 21 1 (31) E = B (33) E = N dψ B (34) dt E = E dl (35) E B = µ 0 J + µ 0 ε 0 (36) E = A (37) D = ε 0 E + P (38) H = 1 µ 0 B M (39) E 1t E 2t = 0 (40) H 1t H 2t = K (41) D 1n D 2n = ρ s (42) B 1n B 2n = 0 (43) ρ ps = P ˆn (44) ρ pv = P (45) K b = M ˆn (46) J b = M (47) P = ε 0 χ e E (48) M = χ m H (49) D = ε 0 ε r E (50) B = µ 0 µ r H (51) ε r = 1 + χ e (52) µ r = 1 + χ m (53) ε 0 = C 2 s 2 /kg m 3 (54) µ 0 = Nm 2 /C 2 (55) e = C (56) F ds = F dl (57) S S ( F)d = F ds (58) E = ρ ν ε 0 (4) B = 0 (25) E = B E B = µ 0 J + µ 0 ε 0 Op. Sylindriske Sfæriske Kartesiske dρ a ρ dr a r dx a x dl +ρ dϕ a ϕ +r dθ a θ +dy a y +dz a z +r sin θ dϕ a ϕ r 2 sin θ dθ dϕ a r +r sin θ dr dϕ a θ +r dr dθ a ϕ +dz a z ds ρ dϕ dz a ρ +dρ dz a ϕ +ρ dρ dϕ a z dydz a x +dxdx a y +dxdy a z d ρ dρ dϕ dz r 2 sin θ dr dθ dϕ dx dy dz (33) (36) W m = 1 2 L2 (32)