Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Transkript

1 Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. b) Finn hvilken verdi vi må ha for b for å få kritisk demping. Hvilke verdier av b gir svingninger i dette systemet? c) Vi velger b = 200 [Ns/m] og gir massen startfarten v 0 = 1.00 [m/s] fra startposisjonen x 0 = 0 [m]. Skriv opp ligningen for utsvinget x(t). d) Bruk de oppgitte tallverdiene for startbetingelsene og vis at tiden fra starten og til massen når sitt største utsving er gitt av t(b,m,ω) = 1 ( ) 2mω ω tan 1 b e) Sett inn tallverdier for b,m og ω og finn tiden til største utsving. Sammenlign denne verdien med tilsvarende tid for et udempet svingesystem med ω = 5.0 [rad/s]. Gi en forklaring på denne forskjellen. f) Svingesystemet i c) skal simuleres med en elektrisk krets som har en spole L = 10.0 [H]. Finn hvilke verdier vi må bruke for C og R i svingekretsen. Finn den stø rste strømmen I som vil gå i denne kretsen. Oppgave 2 a) To ladninger Q og 8Q ligger på x-aksen til et kartesisk koordinatsystem. Finn feltstyrken E (størrelse og retning) i punktet P på y-aksen, se figuren. P y (0, 1) Q -8Q ( 3, 0) x To uendelige lange, rette ledninger ligger parallelt med x-aksen og i xy-planet til et kartesisk koordinatsystem, se figuren. Hver ledning har ladningen λ [C/m]. 1

2 z 1 [m] 1 [m] λ x λ b) Gi en forklaring på feltstyrkeverdien langs x-aksen. Vis at feltstyrken i xy-planet og mellom de 2 lederne er λ y E(y) = πɛ 0 (1.0 y 2 ) ( ĵ) c) En punktmasse holdes i ro i xy-planet mellom de 2 lederne. Massen har en ladning med samme fortegn som λ. Gi en kvalitativ beskrivelse av bevegelsen til massen når den slippes og kan bevege seg fritt. ( Se bort fra tyngdefeltet) d) Bruk ligningen i b) og finn potensialet V (y) i xy-planet mellom de 2 lederne, referert til potensialet V 0 i origo. e) Finn et uttrykk for feltstyrken langs z-aksen (egentlig xz-planet). Finn hvor feltstyrken har størst tallverdi og bestem den største feltstyrken. Lag en skisse av feltstyrken i z-intervallet [ 10, 10] [m] for λ = [C/m]. Oppgave 3 En uendelig lang, rett ledning ligger på x-aksen til et kartesisk koordinatsystem. Ledningen fører strømmen I 1 = 5.00 [A] i positiv x-retning. a) En punktladning med ladning q = 2.00 [nc] har hastigheten v = î [m/s]. Punktladningen befinner seg i punktet (0.0, 0.05, 0.0) [m]. Finn kraften F (størrelse og retning) på q som skyldes strømlederens magnetfelt. b) En rett strømleder med lengde L = 20.0 [cm] ligger parallelt med x-aksen. Denne lederen fører strømmen I 2 = 2.00 [A] i positiv x-retning. Avstanden mellom I 1 og I 2 er 10.0 [cm]. Finn kraften F 2 (størrelse og retning) på I 2 på grunn av magnetfeltet fra I 1. En kvadratisk strømsløyfe ligger i xy-planet som vist i figuren. Sløyfen inneholder motstanden R. 2

3 y L = 0.2 [m] z l l R x I1 c) Vis at magnetfluksen gjennom sløyfen på grunn av magnetfeltet fra I 1 er Φ = ln(2) µ 0 2π I 1 L d) Strømmen i I 1 endres til en vekselstrøm, i 1 (t) = 320 sin(100πt) [A]. Finn den induserte spenningen ε(t) i sløyfen (sett inn tallverdier fra figuren). Bestem den største strømmen i sløyfa når R = 2.00 [ohm]. SLUTT PÅ OPPGAVEN 3

4 Oppgave 1 a) F = kx = = 390 [N] b) Kritisk demping (ut fra formelheftet): ω = k m ( ) 2 b = 0 2m ( ) 2 b = k 2m m = b = 4km b = = 1020 [Ns/m] Vi får svingninger for positive verdier av ω, fra formelheftet: ( ) 2 k b m > 0 2m Vi får svingninger for b < 1020 [Ns/m] ( Store verdier for b gir et system som ikke svinger, men som bare beveger inn mot likevekt uten å bevege seg ut på den andre siden ) c) Alternativ I) Siden b er mindre enn b kritisk, vil vi ha et dempet svingesystem. Beregner amplituden A, vinkelfrekvensen ω og fasekonstanten φ direkte fra formler i formelarket: ( ) ω = 100 = 5.0 [rad/s] A = = 0.2[m] 5 ( ) 1 φ = tan 1 = π 0 2 x(t) = 0.2e t cos (5t π/2) = 0.2e t sin (5t) [m] Alternativ II) Vi kan starte med diff.ligningen for harmonisk oscilator, se formelarket. Bruker 2.gradsligningen for r: r 1,2 = b ± b 2 4k m m 2 m 2 r 1,2 = 2 ± = 1 ± 5i 4

5 e ix = cosx + i sin x x(t) = C 1 e ( 1+5i)t + C 2 e ( 1 5i)t = e t ( C 1 e i 5t + C 2 e i 5t) x(t) = e t (C 1 (cos(5t) + i sin(5t)) + C 2 (cos(5t) i sin(5t))) Bestemmer C 1 og C 2 ved hjelp av startbetingelsene: x(0) = 0 = 1 (C 1 (1 + i 0) + C 2 (1 i 0)) = C 2 = C 1 Setter dette inn i x(t) og deriverer for å bruke startbetingelsen for farten: x(t) = C 1 e t ((cos(5t) + i sin(5t)) + ( 1)(cos(5t) i sin(5t))) = 2iC 1 e t sin(5t) v(t) = dx(t) = 2iC 1 e t ( sin(5t) + 5cos(5t)) dt v(0) = 1.0 = 2iC 1 (0 + 5) = 10iC 1 = C 1 = 0.1i C 1 blir imaginær, dette gir oss en reell funksjon som svar! x(t) = 2i 0.1i e t sin(5t) = 0.2e t sin(5t) Dette er samme svar som ovenfor. Vanligvis foretrekker vi å skrive dette med en (positiv) amplitude der minustegn settes inn som en fasevinkel: x(t) = 0.2e t cos(5t π/2) d) Skriver om ligningen for x(t) ved å sette inn startbetingelsene v 0 = 1.00 og x 0 = 0 : x(t) = 1 ω e (b/2m)t sin(ωt) Deriverer og setter den deriverte lik 0: dx dt = 1 ω e (b/2m)t tan (ωt) = 2mω b [ ] b sin(ωt) + ω cos(ωt) = 0 2m ) = t = 1 ω tan 1 ( 2mω b qed (På grunn av dempingen e (b/2m)t vil etterfølgende utsving være mindre enn det første) e) Med tallverdier: Uten dempning: t = 1 5 tan 1 (5) = [s] t = T 4 = 2π 4ω [s] 5

6 t = 1 ω tan 1 ( ) = 1 π ω [s] Forskjellen skyldes at eksponentialfunksjonen e (b/2m)t er en faktor som kan sees på som en avtagende amplitude som vil deformere sinusfunksjonen slik at maksimumsverdien forskyves framover i tid (eksp.funksjonen avtar fra 1 mot 0 med økende t). Dette sees tydelig fra en graf som inneholder utsvinget x(t) ( både ) med og uten dempeleddet e (b/2m)t. 2mω Fra ligningen i d) ser vi også at faktoren tan 1 gir en vinkel som starter ved π/2 b med b = 0 (ingen demping) og som avtar mot 0 med økende b. f) For å bevare bevegelsesligningen når vi går fra det mekaniske til det elektriske svingesystemet kan vi bruke relasjonene gitt i formelarkets ligninger for x(t) ogi(t): R L = b m 1 CL = k m = R = = C = = 20 [Ω] = 3.85 [mf] I vil numerisk være lik x maks, vi setter inn t = 1 5 tan 1 (5) fra e) inn i ligningen for x(t) fra del c): I = i ( t = 0.2 tan 1 (5) ) = 0.2e 0.2 tan 1 (5) sin ( tan 1 (5) ) = [A] Oppgave 2 a) Bruker ligningen for E fra en punktladning (se formelarket): 1 j E 1 = kq( (0 0) 2 + (1 0) 2) = kq j 3/2 3 i + 1 j E 2 = k( 8Q) ( (0 ) ) = 8kQ ( 3 i + 1 ( ) j ) = kq 2 3/2 3 i j 3 + (1 0) 2 8 Summerer de 2 vektorene: Det elektriske feltet peker i positiv x-retning. E = E1 + E 2 = 3Q 4πɛ 0 i b) x-aksen ligger like langt fra de 2 lederne som har sammen fortegn på ladningen = E = 0 på x-aksen. For en uendelig lang, rett leder er feltstyrken utenfor lederen gitt som E = 2k λ/r, der r er regnet ut fra lederens senterakse (se formalarket). For å finne feltet samlet fra begge lederne 6

7 vi avstanden r med 1.0 y, retningen er ĵ for y < 1.0: E 1 = 2kλ 1.0 yĵ For lederen i posisjonen y = 1.0 erstatter vi r med y, retningen er ĵ for y > 1.0: Den totale feltstyrken blir: E 1 = 2kλ yĵ E = E1 + E 2 = 2kλ ( y y ) ĵ = λ πɛ 0 y 1.0 y2( ĵ) qed Det elektriske feltet mellom lederne i xy-planet peker hele tiden loddrett inn mot x-aksen. c) I xy-planet mellom lederne vil kraften F på en punktladning alltid peke inn mot x-aksen. For punktene +y og y har kraften samme tallverdi F og den potensielle energien har samme verdi i de 2 punktene. For startpunkt utenom x-aksen vil ladningen svinge fram og tilbake mellom +y og y. Hvis ladningen starter på x-aksen vil den forbli i ro. d) Vi finner V (y) ved å integrere uttrykket for feltstyrken gitt i b). Fra formelarket har vi: y V y V 0 = 0 E(y)cosφdl Siden feltet er rettet langs y-aksen og vi skal integrere langs y-aksen (langs feltet) blir cosφ lik 1. Vi får vi integralet y y dy V y V 0 = 4kλ 1.0 y 2 Innfører ny variabel u = 1.0 y 2 = du = 2y dy y V y V 0 = 2kλ ( ) 1 V y = V 0 + 2kλ ln 1.0 y du u = 2kλ [ ln(1.0 y 2 ) ] y 0, y < 1.0 Potensialet har en minste verdi på x-aksen, det øker utover mot de 2 lederne. e) Siden de to lederne har lik ladning og ligger i samme avstand fra z-aksen vil resultanten ligge langs z-aksen. Feltstyrken fra en uendelig lang, rett leder er gitt i formelheftet. Vi finner feltets z-komponent fra en av lederne og multipliserer med 2. I punktet z er avstanden 7

8 Potensialet (Vy - V0)/2kl y 0 fra lederen r = (1.0 + z 2 ), kan bruke likedannede trekanter til å finne komponenten langs z-aksen: 2kλ E z = (1.0 + z2 ) cos α, cos α = z (1.0 + z2 ) z E = 2Ez k = 4kλ k z 2 Maksimumsverdien finnes ved derivasjon: [ ] de z 2 dz = 0 = 4kλ 2z 2 (1.0 + z 2 ) 2 = z = ±1.0 [m] For grafen har vi: E maks = 2kλ E = z z = 36.0 z z 2 Den største verdien for figuren er E maks = 18.0 [N/C]. Oppgave 3 8

9 Feltstyrken E langs z-aksen 15 E [N/C] z [m] a) Ligningen for magnetfeltet fra uendelig lang, rett strømleder er gitt i formelheftet. Retningen finner vi ved å bruke høyrehåndsregelen. Feltet i punktladningens posisjon blir: B = µ 0 I 1 2πr k = k [T] Kraften på punktladningen blir: F = q ) v B = (î 5 k F = ( ĵ) [N] Punktladningen aksellereres inn mot strømlederen. b) Antar at I 2 er plassert i y = 0.1. Magnetfeltet er halvert i forhold til forrige oppgave. Kraften på I 2 pga. magnetfeltet B 1 fra strø mlederen I 1 blir ( Kraft pårett strømleder, B er konstant langs leder nr. 2 ): F 2 = I 2 L B1 = I 2 L µ 0I 1 (î k) = πr F 2 = ( ĵ) [N] 9

10 (positiv z-akse). Magnetfluksen gjennom sløyfearealet A når flatenormalen da er parallell B blir: B Φ = da = B da Siden B ikke varierer i x-retning men varierer med y lager vi et flatesegment da = L dy: Φ = 2l l µ 0 I 1 2πy L dy = µ 2l 0I 1 L dy 2π y = µ 0I 1 L 2π [ln(y)]2l l l Φ = ln(2) µ 0 2π I 1 L qed d) Fluksen gjennom sløyfa er nå tidsavhengig. Setter inn tallverdier i ligningen fra c): Φ = ln(2) sin(100πt) 0.2 = ln(2) sin(100πt) Φ sin(100πt) Den induserte spenningen finnes ved tidsderivasjon: ε(t)= dφ dt = ln(2) π cos(100πt) ε(t) = sin(100πt π/2) [V ] i maks = ε maks R = = 1.39 [ma] 10