og P (P) 60 = V 2 R 60

Transkript

1 Flervalgsoppgaver 1 Forholdet mellom elektrisk effekt i to lyspærer på henholdsvis 25 W og 60 W er, selvsagt, P 25 /P 60 = 25/60 ved normal bruk, dvs kobla i parallell Hva blir det tilsvarende forholdet for effekten mellom pærene, P S) S) 25 /P 60, dersom du kobler lyspærene i serie? Anta at resistiviteten i materialet som glødetråden består av er uavhengig av temperaturen Likespenning eller vekselspenning spiller ingen rolle for svaret, heller ikke verdien på spenningen) A 1/1 B 17/12 17/5 D 25/60 E 60/25 Løsning: Effekten i ei pære er gitt ved P = V I = V 2 / = I 2 der er resistansen Ved normal parallellkobling av lyspærene er det over hver pære samme spenningen, V Dette gir effektene for parallellkoblede pærerer P P) 25 = V 2 25 og P P) 60 = V = P P) P P) 25 = I seriekobling blir spenningen V fordelt over de to pærene, men strømmen I må være lik for begge Dette gir at effekten i hver pære ved seriekobling blir P S) 25 = 25I 2 og P S) 60 = 60I 2 P S) 25 P S) 60 = = I kretsen har spenningskilden V 0 vært tilkoblet så lenge at strømmene i kretsen ikke lenger endrer seg med tida Hva er da de 4 angitte strømstyrkene I j, der j = 1, 2, 3, 4? A I 1 = V 0 /4, I 2 = V 0 /4, I 3 = V 0 /4, I 4 = V 0 /4 B I 1 = 3V 0 /4, I 2 = V 0 /4, I 3 = V 0 /4, I 4 = V 0 /4 I 1 = V 0 /2, I 2 = 0, I 3 = V 0 /4, I 4 = 0 D I 1 = V 0 /4, I 2 = 0, I 3 = V 0 /4, I 4 = 0 E I 1 = V 0 /4, I 2 = 0, I 3 = V 0 /2, I 4 = 0 Løsning: Når forholdene ikke endrer seg t ) går det ingen strøm inn til kondensatorene og kan derfor ansees som åpne kretser Da er I 2 = I 4 = 0 Den tilsynelatende totale resistansen ved t blir tot = = 4, slik at I 3 = I 1 = V 0 / tot = V 0 /4 3 Hver av de fem lyspærene kan betraktes som en ideell ohmsk motstand Økt spenning over ei lyspære og dermed økt strømstyrke) gir økt lysstyrke i lyspæra I kretsen vist i figuren, hvilken) lyspærer) lyser sterkest?

2 A 1 B 2 3 og 4 D 5 E 2 og 5 Løsning: Lysstyrke prop med effekt P = V I = I 2 = V 2 / Størst strøm gir størst effekt Hvis det går en strøm I i pære 1 vil denne fordeles på 2, 3, 4 og 5 slik at strømmen uansett blir mindre gjennom disse 4 Figuren viser en enkel seriekrets av spenningsforsyning, to motstander og en bryter Hva er potensialdifferansen mellom punkt A og B, når bryteren er åpen og når den er lukket? A Åpen: 30 V, lukket: 20 V B Åpen: 0 V, lukket: 20 V Åpen: 20 V, lukket: 30 V D Åpen: 20 V, lukket: 10 V E Åpen: 20 V, lukket: 0 V Løsning: Når bryteren er åpen går det ingen strøm og dermed er det ingen potensialdifferanse over motstandene Da er V A V B = 30 V Når bryteren er lukket går det strøm I = 30 V/100 Ω+ 200 Ω) = 010 A Spenningen over høyre motstand mellom A og B) er da V = I 200 Ω = 20 V 5 Energien lagret i en kondensator er lik Q 2 /2 Når kondensatoren utlades, hvilken andel av den opprinnelige energien er igjen etter en tid τ =? A 1/e B 1/e 2 1 1/e D 1 1/e) 2 E Kommer an på hvor mye energi som opprinnelig ble lagret Løsning: Etter en tid τ = har den initielle ladningen Q 0 minket til Q 0 e τ/ = Q 0 e / = Q 0 e 1 = Q 0 /e Derfor har den lagrede energien minket fra Q 0 ) 2 /2 til Q 0 /e) 2 /20Q 2 0/2e 2, dvs en andel 1/e 2 = 0135 av den opprinnelige verdien Dette resultatet er uavhengig av den opprinnelige energimengden 6 Kretsen i figuren består av en kondensator i serie med en parallellkobling av og 3 Hva blir ladningen Q på kondensatoren 3? Page 2

3 A 0 B 3V 0 /2 V 0 D V 0 /3 E 3V 0 /5 Løsning: Parallellkoblingen av og 3 har kapasitans p = +3 = 4 Total kapasitans gitt av 1 tot = p som gir tot = 4/5 Da er ladningen på totalkondensatoren Q tot = V 0 tot = 4V 0 /5 For seriekoblingen og p vil ladningen være lik Q tot, og denne Q tot vil fordele seg med 3/4 på 3 og 1/4 på, slok ad ladningen på kondensatoren 3 er 3/4 4V 0 /5 = 3V 0 /5 7 Hver av de seks lyspærene i figuren kan betraktes som en ideell ohmsk motstand Økt spenning over ei lyspære og dermed økt strømstyrke) gir økt lysstyrke i lyspæra Hva skjer med lysstyrken i pære 1 dersom pære 3 skrus ut? A Lyser svakere B Lyser sterkere Uendret D Slokker E Eksploderer Løsning: Når 3 tas ut blir dentilhørende greina en åpen krets, og kretsens totale resistans blir større Når resistansen øker, avtar strømmen i kretsen Strømmen går i sin helhet gjennom 1, slik at lysstyrken P = I 2 ) i denne avtar Strøm i en leder 8 a) Estimer driftshastigheten v d for elektroner i en kobberwire med diameter d = 0200 cm som fører en strøm på 100 A For kopper anta ett fritt elektron per atom, massetetthet på 892 g/cm 3 og molvekt 635 g/mol Avogadros tall N A = mol 1 Elektronladning e = Løsning: Når vi antar at strømmen og driftshastigheten er konstant over tverrsnittet av wiren får vi at driftshastigheten v d er gitt ved likningen I A = J = n q v d, enheter : /s m 2 = atom m 3 atom m ), m der I = 100 A og arealet A = πr 2 = πd/2) 2 = cm 2 Med ett fritt atom per kopperatom vil n være lik tettheten av kopperatomer Denne finnes fra massetettheten ρ u, antall atomer per mol, N A og molvekt for kopper, M enhetsregning viser at brøken er satt rett opp!): n = ρ u N A M = 892 g/cm3 ) mol 1 ) 635 g/mol = cm 3 Page 3

4 Dermed, fra første ligning, v d = I n q A = 100 A cm 3 ) ) cm 2 ) = cm/s = 85 cm/time!) Til sammenligning er midlere termiske hastighet bestemt av E kin = 1 2 mc2 = k BT v = 105 m/s) 3k B T m b) Bestem også strømtettheten, resistansen og det elektriske feltet når det er gitt at wiren er L = 100 m lang og kopperresistiviteten ρ = Ω m Løsning: Strømtettheten blir J = I A = 100 A m 2 = A/m 2 = A/m 2 = 032 A/mm 2 ) Fordi ladningene er negative elektroner), vil retningen på J være motsatt av v d, dvs mot høyre i figuren Med oppgitt resistivitet og lengde blir resistansen = ρ L A = m 10 8 Ω m = 55 mω m Det elektriske feltet er gitt ved Ohms lov: E = ρj = Ω m) A/m 2 ) = V/m = 55 mv/m = 55 V/km) Lite, men ikke ubetydelig for lange overføringer etningen til E samme som for J, mot høyre i figuren Motstandsnettverk Figuren til venstre viser en elektrisk krets med 5 motstander j, j = 1,, 5 9 A I 1 I I 3 a) Bestem total motstand mellom punktene A og B, dvs: Bestem motstanden i den ekvivalente kretsen i følgende figur: A B I 4 I 5 B b) En ideell spenningskilde med elektromotorisk spenning E kobles til kretsen slik at V = V A V B = E Bestem hvor stor strøm I j som da passerer gjennom hver av motstandene j Løsning: a) Først er det en fordel å innse at vi her har parallellkobling av 1, 2 og 3 i serie med parallellkobling av 4 og 0 = 0 i serie med 5 Motstanden 4 er med andre ord kortsluttet, slik at det ikke vil gå noen strøm gjennom 4 Sagt på en annen måte: Vi har samme potensial på hver side av 4, men da kan det Page 4

5 heller ikke gå noen strøm gjennom denne motstanden) Total motstand blir dermed = ) = b) Det er vel klart at den totale strømmen I må bli den samme som strømmen I 5 gjennom 5 Dessuten er det klart at I må fordele seg på de 3 strømmene gjennom 1, 2 og 3 : I = I 1 + I 2 + I 3 Vi har i punkt a) allerede konkludert med at det ikke vil gå noen strøm gjennom 4 : I 4 = 0 Spenningsfallet over de tre øverste motstandene er det samme: Spenningsfallet over 5 blir V = 1 I 1 = 2 I 2 = 3 I 3 V = 5 I 5 = 5 I = 5 E Disse to må tilsammen utgjøre den påtrykte spenningen: E = V + V Dermed er V = E V E = E 5 = E 1 ) 5 og I 1 = V 1 I 2 = V I 3 = V, med V = E ) Kirchhoffs regler 10 a E 1 1 = 2, 0 Ω + 3 = 1, 0 Ω E 2 I 5 5 = 3, 0 Ω 2 = 4, 0 Ω I 1 I = 1, 0 Ω I 3 I 4 b Bruk Kirchhoffs knutepunktregel og maskestrømsregel for aktuelle knutepunkt og masker i kretsen i figuren og finn verdi for strømmen I 5 Verdien på ems ene er E 1 = 12 V, E 2 = 9,0 V med polaritet som gitt i figuren esistansverdiene er gitt i figuren Tips: Du kan her tillate deg å sette inn verdier for i og E i fra starten og unnlate å skrive enheter, idet du forsikrer deg om at strømmene skal ende opp i ampere Løsning: Vi har tre masker og tre maskelikninger Vi kan i disse ha tre ukjente strømmer hvorav I 5 må være en av disse Ved knutepunktregler for knutepunktene a og b eliminerer vi to strømmer: I 3 = I 1 I 5 I 4 = I 2 I 5 1) De tre maskene øvre venstre, øvre høyre og nederste) med omløpsretning med klokka gir: E 1 1 I I 3 = 0 E 2 2 I I 4 = 0 E 1 3 I 3 + E 2 4 I I 5 = 0 Page 5

6 Ved bruk av knutepunktlikningene 1) og innsetting av tallverdier som oppgitt, får vi: 12 2I 1 1 I 1 + I 5 ) = 0 9 4I 2 1 I 2 + I 5 ) = I 1 + I 5 ) I 2 + I 5 ) + 3I 5 = 0 3I 1 + I 5 = 12 5I 2 + I 5 = 9 I 1 + I 2 + 5I 5 = 3 Her kan vi feks i tredje likning sette inn I 1 = I 5 fra første likning og I 2 = I 5 fra andre likning, og får I I 5 + 5I 5 = 3 I 5 = 12 = 0, 18 ampere) 67 -krets I 11 Kretsen i figuren har kretselementer med følgende verdier: E = 12 V, = 100 Ω og = 10, 0 µf Bryteren settes i lukket posisjon a ved tida t = 0 Kretsen er gjennomgått i forelesning hvor det er vist at strømmen i kretsen It) og ladningen Qt) på kondensatoren er ) It) = I 0 e t τ Qt) = Q f 1 e t τ E + ȧ a) Finn verdi for alle størrelser i disse likningene: Startstrøm I 0, sluttladning Q f, og tidskonstant τ b) Hvor lang tid tar det før kondensatoren er ladet opp til 99,9 % av sluttladningen? Løsning: a) Ved t = 0 + er ladning og spenning på kondensatoren null slik at hele spenningsfallet er over motstanden og dermed I 0 = E/ = 0,12 A Når kondensatoren er ladd helt opp er spenningen lik ems en E, slik at Q f = E = 10, 0 µf 12 V = 0, 12 m Tidskonstanten er kretsen er fra utregning, gjenkjenning eller ved å se på eksempel i forelesning): τ = = 100 Ω 10, 0 µf = 1000 µs = 1, 00 ms b) Eksponentialuttrykket 1 e t/τ = 0, 999 når e t/τ = 0, 001 t = ln0, 001) τ = 6, 91 τ = 6, 9 ms Page 6

7 -krets II V a E + a V = 0 I 1 I V I I kretsen i figuren settes bryteren i posisjon a ved tida t = 0 La spenninger og strømmer være som angitt i figuren Kondensatoren har til enhver tid ladningen Q t) Ved t < 0 er V = 0 og dermed alle strømmer lik null og V a = E) a) Finn uttrykk for følgende størrelser ved t = 0 + umiddelbart etter bryteren er slått på): V, Q, I, I, I b) Finn uttrykk for de samme størrelser ved t = etter svært lang tid) c) Finn uttrykk for de samme størrelser som funksjon av tida for t > 0 Uttrykk svarene med bla tidskonstanten τ som du skal finne uttrykk for Sikre deg at grensetilfellene stemmer med svarene i a) og b) Opptegning av grafene for alle størrelsene under hverandre kan være lærerikt Tips: Bruk Kirchhoffs regler og husk at strømmen til kondensatoren har følgende sammenheng med ladningen på kondensatoren: I = dq dt Finn en differensiallikning for I t) Løsning: Til alle punktene trenger vi Kirchhoffs strømlov som gir I = I + I, dermed har vi bare to ukjente strømmer Videre Kirchoffs spenningslov, som feks kan skrives E = 1 I + V a) Umiddelbart etter bryteren er slått på har ikke kondensatoren rukket å få noen ladning: Q = 0 og V = Q / = 0 Hele spenningsfallet fra E er altså over motstanden 1 med strøm I = E/ 1 Hele denne strømmen går til kondensatoren fordi I = V / = 0, altså I = I = E/ 1 Svarene er altså: Q = 0, V = 0, I = 0, I = I = E/ 1 b) Etter svært lang tid er kondensatoren fullt oppladd, og ingen strøm går til den, I = 0 Da er I = I og V = I = I Da må fra Kirchhoff E = 1 I + V : E I = I = 1 +, V = I = E 1 +, Q = V = E 1 + c) Vi har to ukjente strømmer, og trenger to likninger Den ene er Kirchhoffs spenningslov E = 1 I + V, den andre er at V = V eller egentlig Kirchhoffs spenningslov på masken med og ) Denne siste gir Q = I I = Q Vi velger da I og Q som de to ukjente, men siden disse er knyttet sammen med I = dq /dt har vi bare én ukjent, I Vi søker derfor etter en likning for I, som vi får fra spenningsloven E = 1 I + V : Q E = 1 I + I ) + Q = 1 + 1I + Q = Q ) I 2) Page 7

8 Derivasjon av denne likningen gir følgende differensiallikning for I Vi kunne alternativt valgt Q som ukjent, dvs en likning i Q Se til slutt i denne oppgaven) 0 = dq ) 1 1 dt + 1 di + 1 dt ) di 1 1 = I dt di 1 = I dt τ, der τ = Dette er en førsteordens difflikning med løsning I t) = Ae t/τ der vi fra startbetingelsen i a) har at A = I 0) = E/ 1 esten av størrelsene blir: Q t) = t 0 I t)dt = E 1 t V t) = Q = E 1 + I t) = Q = E e t/τ dt = E ) τ) e t/τ 1 = E ) 1 e t/τ, e t/τ ), 1 e t/τ ), It) = I t) + I t) = E e t/τ 1 + E ) 1 e t/τ = E 1 ) e t/τ Vi kan konstantere at grenseverdiene for t = 0 + og t i a) og b) stemmer ved innsetting i disse svarene Vi kan alternativt velge å uttrykke likningen med Q som ukjent Vi får fra likn 2) etter siste likhetstegn) med I = dq /dt: osv med løsning og vi finner herfra E = Q dq 1 + ) + 1 dt med resultat som over Q t) = E 1 + V t) = Qt) og dq Q E e t/τ ), I t) = dqt) dt = dt 1 + = dt 1 τ Page 8