UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 vx [m/s] vy [m/s] Side UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: 3 mars 8 Tid for eksamen: 9: : (3 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: Formelark Tillatte hjelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller Angell, Lian, Øgrim: Fysiske størrelser og enheter: Navn og symoler Rottmann: Matematisk formelsamling Elektronisk kalkulator av godkjent type. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du egynner å esvare spørsmålene. Husk å forklare hvordan du løser prolemene og egrunn svarene dine. Oppgave (3 poeng) Du kaster en all som følger en paraelane som vist i figuren. Vi ser ort fra luftmotstanden. Tegn grafene v x (t) og v y (t) som viser hastighet i horisontal og i vertikal retning som funksjon av tiden t [s] t [s] Oppgave (3 poeng) En satellitt med masse m eveger seg i en sirkelane rundt jorden i høyde h over jordens overflate. Ovenfor atmosfæren virker det ingen luftmotstand. Radius til anen er R. Vi leter etter areidet som gravitasjonskraften gjør på satellitten i løpet av et halvt omløp. Hvilke av disse alternativene er riktig? Begrunn! i. W = πrmg ii. W = πrmg iii. W = mgh iv. W = mv v. W =

2 Den eneste kraften som virker på satellitten er gravitasjonskraften. Denne kraften er rettet radial inn mot jordens sentrum, og står dermed vinkelrett på satellittens evegelsesretning, som er tangensial. Areid som gravitasjonskraften gjør er derfor null: W = F v dt = Oppgave 3 (3 poeng) Et legeme eveger seg horisontalt på en friksjonsfri overflate og kolliderer med et annet legeme som er i ro. Hvilken påstand er riktig i dette tilfellet? Begrunn! i. Kinetisk energi er alltid evart, og evegelsesmengde kan li evart. ii. Bevegelsesmengde er alltid evart, og kinetisk energi kan li evart. iii. Bevegelsesmengde er alltid evart, og kinetisk energi er aldri evart. iv. Hverken evegelsesmengde eller kinetisk energi er evart. v. Både evegelsesmengde og kinetisk energi er alltid evart. Siden legemene eveger seg uten friksjon så virker det ingen ytre krefter i horisontal retning. Derfor er evegelsesmengden alltid evart. Om energi er evart er derimot avhengig av hva slags indre krefter oppstår under kollisjonen. Den kinetiske energien er are evart hvis de indre kreftene mellom de to legemene er konservative, eller med andre ord, hvis kollisjonen er elastisk. Oppgave 4 (4 poeng) En il kjører med konstant fart gjennom en kurve. I figuren, som viser ilen ovenfra, viser vektoren F air retning og størrelse til luftmotstandskraften som virker på ilen. Hvilken av de andre vektorpilene, F A, F B, F C, F D eller F E viser den horisontale kraften fra veien på ilens hjul? Begrunn svaret ditt. Hvis ilen kjører med konstant fart så må nettokraften i tangensial retning være null. Samtidig trenger ilen en sentripetalakselerasjon rettet inn mot sirkelens sentrum. Kraften fra veien på ilen må derfor kompensere luftmotstandskraften og samtidig har en komponent som er rettet inn mot sirkelens sentrum. Kraften F C kompenserer luftmostandskraften, mens kraften F A representerer sentripetalkraften. Til sammen representerer altså kraften F B = F C + F A nettokraften fra veien på ilen. Oppgave 5 (7 poeng) Du står med ryggen til den indre veggen av en vertikal sylinder med radius R. Den statiske friksjonskoeffisienten mellom deg og veggen er μ s. Sylinderen egynner å rotere og plutselig faller gulvet ort. Tyngdeakselerasjonen er g. a. Tegn et frilegemediagram og navngi alle krefter. (3 poeng) G : gravitasjonskraft N : normalkraft fra veggen på deg F r : friksjonskraft fra veggen på deg

3 . Vis at den minste vinkelhastigheten som kreves for at du ikke faller ned er: (4 poeng) ω g μ s R Det skal være ingen evegelse i vertikal retning. Newtons andre lov i vertikal retning: F r mg =. Normalkraften holder deg på en horisontal sirkelane: N = mrω Friksjonskraften må være mindre enn maksimalverdien for statisk friksjon: F r = mg F r,max = μ s N = μ s mrω ω g μ s R Oppgave 6 ( poeng) En eske med masse m ligger på et ord og er knyttet til to andre esker med henholdsvis masse m og m, som vist i figuren. Vi antar at snorene og trinsene er masseløse, og at det er ingen friksjon i trinsene. Tyngdeakselerasjonen er g. a. Vi antar at det er friksjon mellom esken og ordet. Tegn et frilegemediagram for esken som ligger på ordet, og navngi alle krefter. (3 poeng) G : gravitasjon N : normalkraft fra ordet T, T : snordragene f : statisk friksjonskraft fra ordet. Hvor stor må den statiske friksjonskoeffisienten μ s minst være for at eskene forlir i ro? (4 poeng) Newtons andre lov for esken på ordet i vertikal retning: N mg = N = mg Uten evegelse kompenserer snordragene gravitasjonskreftene til de to eskene som henger. Newtons andre lov for esken som henger på venstre side: T mg = Newtons andre lov for esken som henger på høyre side: T mg = Newtons andre lov for esken på ordet i horisontal retning: T T f = f = T T = mg mg = mg For maksimalverdien til den statiske friksjonskraften mellom esken og ordet er: f = mg μ s N = μ s mg μ s.5 c. Hvis det er ingen friksjon mellom esken og ordet, hvor stor er akselerasjonen til eskene, og hvor stor er snordragene på venstre og høyre side? (5 poeng) Esken på høyre side trekker klossen på ordet i horisontal retning og klossen på venstre siden oppover. Alle tre eskene eveger seg med samme akselerasjon. Vi definerer evegelsesretning som positiv retning. Vi ruker Newtons andre lov for alle tre eskene:

4 T T = ma mg T = ma T mg = ma Vi tar summen av de tre ligningene: T T + mg T + T mg = mg = 5ma Vi setter inn i ligning 3: T = mg + ma = 6 5 mg Og i ligning : T = mg ma = mg 5 mg = 8 5 mg a = 5 g Oppgave 7 (5 poeng) En kraft som virker på en partikkel kan eskrives ved potensialfunksjonen U(x, y) = k(x + y ), der k er en konstant. Finn kraften som virker på partikkelen. Angi åde retning og størrelse til kraften. Er kraften konservativ? Begrunn! Siden kraften kan eskrives ved en potensialfunksjon er kraften konservativ. Derfor gjelder: F = U(x, y) = x U(x, y)i U(x, y)j = kxi kyj = kr y Kraften er en sentralkraft som alltid virker i retning mot origo, og kraften lir større jo større avstanden til partikkelen er fra origo: F = kr = k x + y Oppgave 8 ( poeng) Du skyter et prosjektil med masse m og hastighet v inn i et pendellodd som har masse 3m. Deretter sitter prosjektilet fast i loddet. Snoren til pendelen har lengde L. Tyngdeakselerasjon er g. Husk å egrunne svarene dine. a. Hva er hastigheten til pendelloddet rett etter kollisjonen? (3 poeng) Siden prosjektilet sitter fast etterpå er kollisjonen fullstendig uelastisk. Den eneste ytre kraften som virker under kollisjonen er gravitasjonskraften. Det virker ingen horisontale ytre krefter og evegelsesmengde i horisontal retning er evart: mv = 4mV hvor massen til loddet med prosjektilet inni er 4m og hastigheten til loddet etter kollisjonen er V. Vi får: V = 4 v. Vis at pendelen svinger opp til en vertikal høyde h = v. (3 poeng) Etter kollisjonen virker gravitasjonskraften og snordraget på pendelloddet. Gravitasjon er konservativ og snordraget gjør ingen areid fordi kraften er ortogonal på evegelsesretningen. Vi kan derfor ruke evaring av mekanisk energi: K + U = K + U 3 g

5 Vi definerer den potensielle energien når pendelen henger vertikal ned som null: U =. Når pendelen er på sitt høyeste er kinetisk energi null: K =. 4mV = m ( 4 v ) = 8 mv = 4mgh h = v 3 g c. Vis at snordraget rett etter kollisjonen er T = 4m (g + v 6 R ). (4 poeng) Vi fant i a) at hastighet til pendellodde etter kollisjonen er V = 4 v, og loddet har masse 4m etter kollisjonen. For å evege seg på en sirkelane trenger loddet sentripetalakselerasjon a = 4m V. Vi ruker Newtons andre lov: R T 4mg = 4m V T = 4m (g + v R = 4m v 6 R 6 R ) Istedenfor at prosjektilet sitter fast i loddet etter kollisjonen antar vi nå at den går gjennom loddet og kommer ut på andre siden med hastighet v. Du måler at pendelen svinger opp til en vertikal høyde h = v 7 g. d. Finn hastigheten v som prosjektilet har når det kommer ut av pendelloddet (i forhold til den opprinnelige hastigheten v ). (5 poeng) Etter kollisjonen når pendelen svinger opp virker det are gravitasjon og snordrag på loddet. Med samme egrunnelse som i ) er den mekaniske energien til pendelloddet evart. Massen til loddet er 3m, og hastigheten til pendelen etter kollisjonen V. 3mV = 3mgh = 3mg v 7 g V = v 36 V = ± 6 v Pendelen eveger seg i positiv x retning. Det virker ingen ytre krefter i horisontal retning under kollisjonen, og evegelsesmengde er evart: mv = 3mV + mv = 3m v 6 + mv v = v v = v Til slutt ser vi på tilfellet hvor prosjektilet kolliderer elastisk med pendelloddet. e. Finn hastighet v til prosjektilet etter kollisjonen og hastighet V til pendelloddet etter kollisjonen. (5 poeng) I en elastisk kollisjon er åde evegelsesmengde og energi evart. Bevaring av energi: mv = 3mV + mv 3V = v v = (v v )(v + v ) Bevaring av evegelsesmengde: mv = 3mV + mv

6 3V = v v Vi deler ligning for energi på ligning for evegelsesmengde: V = v + v og setter inn: 3V = 3v + 3v = v v v = 4v v = v Som forventet spretter prosjektilet tilake. For hastigheten til pendelloddet finner vi: V = v + v = v v = v Oppgave 9 (8 poeng) En fjær som følger Hooks lov med fjærkonstanten k og likevektslengden er festet på et skråplan som vist i figuren. Skråplanet har en helningsvinkel α. En kloss med masse m festes i fjæren og dyttes inn til posisjon x =, slik at fjæren komprimeres med en faktor. Den dynamiske friksjonskoeffisienten mellom klossen og skråplanet er μ d. Tyngdeakselerasjonen er g. Systemet slippes fri og fjæren dytter klossen opp skråplanet. a. Tegn et frilegemediagram som viser kreftene som virker på klossen rett etter systemet slippes fri. (3 poeng) G : gravitasjon N : normalkraft F k : fjærkraft f : dynamisk friksjonskraft. Finn et uttrykk for hver kraft som virker på klossen. Hvilke krefter er konservative og hvilke er det ikke? (4 poeng) G = mg sin α i mg cos α j (konservativ) Ingen evegelse i y retning: N mg cos α = F k = k(x )i (konservativ) N = mg cos α j (konservativ) f = μ d N v = μ v dmg cos α v : hastighetsavhengig kraft, ikke konservativ v c. Finn areidet som hver av kreftene gjør på klossen når den eveger seg fra x = til x =. (5 poeng) Når klossen eveger seg fra x = til x =, så eveger klossen seg i positiv x retning, mens friksjonskraften virker i negativ x retning. W f = μ d mg cos α dx = μ d mg cos α ( ) = μ dmg cos α

7 x [m] Areid til fjærkraften: W k = k (x )dx = k x dx = k ( 4 ) = 8 k Normalkraften gjør ingen areid fordi kraften er vinkelrett på evegelsesretning: W N = Bare komponenten til gravitasjonskraften i x retning (opp langs skråplanet) gjør areid: W G = mg sin α dx = mg sin α ( ) = mg sin α d. Skriv et program som eregner hastighet og posisjon til klossen numerisk. Vær oppmerksom på fortegn til kreftene. Det er tilstrekkelig å ta med integrasjonsløkken. (6 poeng) t [s]