Fiktive krefter

Transkript

1 Fiktive krefter Materiale for: Fiktive krefter Spesiell relativitetsteori Ingen forelesning på torsdag (Himmelfart) Gruppetimer på fredag som vanlig. FYS-MEK

2 Fiktive krefter problem: Newtons lover gjelder bare i inertialsystemer hvordan analyserer vi en bevegelse i et akselerert system? z z x y transformasjon transformasjon upraktisk å bruke et inertialsystem for å beskrive pendelen på FI (eller skyene i atmosfæren) x y bruk Newtons lover? vi kan bruke akselererte referansesystemer, men det oppstår fiktive krefter FYS-MEK

3 access number: Du sitter på en buss som svinger til høyre og bremser. Du føler en kraft som er rettet: 1. Bakover og mot venstre 2. Bakover og mot høyre 3. Fremover og mot venstre 4. Fremover og mot høyre 5. Du føler ingen kraft FYS-MEK

4 Eksempel: du sitter i en bil som bremser koordinatsystem S: festet til gaten koordinatsystem S : festet til bilen r R r v V v a A a v v din hastighet mot bilen din hastighet mot gaten V hastighet til bilen er system S et inertialsystem? egentlig ikke på grunn av jordens rotasjon, men i dette tilfelle er effektene neglisjerbar vi kan bruke Newtons lover i system S hvis vi introdusere den fiktive kraften F A F ma ma ma ma F ma F F A ma så kan vi bruke Newtons andre lov også i systemet S FYS-MEK

5 FYS-MEK x y Bilen kjører rund en sving r R r v V v a A a akselerasjon til bilen som kjører med konstant hastighet v i en kurve med radius ρ: u r v A ˆ 2 sentripetalakselerasjon i system S : r u v m F ma ma a m ˆ 2 passasjeren føler en fiktiv kraft r A u v m F ˆ 2 sentrifugalkraft ρ

6 fri legeme diagram i system S f N G ρ (bilen er en del av omgivelsen) friksjonskreftene mellom passasjer og sete fungerer som sentripetalkraft, passasjer beveger seg i en sirkelbane fri legeme diagram i system S f G N F A normalkraft og gravitasjon kompenserer hverandre sentrifugalkraft og friksjon mellom kroppen og setet kompenserer hverandre passasjer sitter i ro det kan være et kraftmoment på grunn av sentrifugalkraften FYS-MEK

7 access number: To personer står på en skive som roterer som vist i figuren. Person A kaster en ball mot person B. Fra A s perspektiv 1. går ballen forbi B på venstre 2. treffer ballen B 3. gar ballen forbi B på høyre A B FYS-MEK

8 A B person A kaster en ball mot person B mens person C observerer A B C C B B A C A C han bommer fordi person B har dreiet seg ut av skuddlinjen mens ballen beveger seg mot ham han bommer fordi en mysteriøst kraft har avledet ballen FYS-MEK

9 Corioliskraft sett utenfra beveger ballen seg på en rett linje i det roterende referansesystem virker en fiktiv kraft som avleder ballen: Corioliskraft FYS-MEK

10 FYS-MEK

11 Roterende referansesystemer systemet S roterer med ω om z aksen i = cos θ(t) i + sin θ(t) j j = sin θ(t) i + cos θ(t) j j y j θ i i x x ω z x z y y k = k d dt i = sin θ dθ dθ i + cos θ j = ωj dt dt d dt j = cos θ dθ dθ i sin θ dt dt j = ωi d dt k = 0 ω i = ωk i = ωj ω j = ωk j = ωi ω k = ωk k = 0 ω r = ωk x i + y j + z k = ωx j ωy i + 0 = x d dt i + y d dt j + z d dt k Dette gjelder for vilkårlige rotasjonsakser ω, også hvis k k. FYS-MEK

12 system S i ro, system S roterer med ω vi måler posisjon, hastighet og akselerasjon i system S : z z ω y r = x i + y j + z k x x y v = x i + y j + z k a = x i + y j + z k dr dt = x i + y j + z k + x i + y j + z k = v + ω r dv dt = x i + y j + z k + x i + y j + z k = a + ω v dr dt v dv dt a FYS-MEK

13 Akselererte koordinatsystemer system S er et inertialsystem system S beveger seg relativ til system S med lineær akselerasjon system S roterer om en vilkårlig akse med vinkelakselerasjon d dt A 2 d R 2 dt FYS-MEK

14 Akselererte referansesystemer r = R + r v = dr dt = dr dt + dr dt = V + v + ω r a = dv dt = dv dt + dv dt + d dt ω r = A + a + ω v + dω dt r + ω dr dt = A + a + ω v + α r + ω v + ω r = A + a + 2 ω v + α r + ω ω r a = a A α r 2 ω v ω ω r Coriolisakselerasjon Sentrifugalakselerasjon FYS-MEK

15 Akselererte referansesystemer a = a A α r 2 ω v ω ω r Coriolisakselerasjon Sentrifugalakselerasjon for et jevnt roterende koordinatsystem: A = 0, α = 0 i ω k i k j j ma = ma 2m ω v mω ω r = F ext + F C + F S Corioliskraft: virker på en masse som beveger seg i et roterende referansesystem F C F 0 C hvis F F C er hastighetsavhengig C 2m v v v Sentrifugalkraft: m ( r ) F S er posisjonsavhengig (avstand fra rotasjonsaksen) FYS-MEK

16 Sentrifugalkraft sentripetalkraften holder massen på sirkelbanen z R m y x en observatør i det roterende system ser massen i ro sentripetalkraften virker som motkraft til sentrifugalkraften F S m ( r) m kˆ ( kˆ R ˆj ) R z' m y' 2 m R kˆ ( iˆ ) 2 m R ˆj x' FYS-MEK

17 Corioliskraft to masser beveger seg på en plate v viˆ 1 v v ˆj 2 v 2 v 1 y x rotasjon om z aksen: kˆ F C, 1 2m v1 y' 2m vkˆ iˆ x' 2m v ˆj 2m vkˆ ˆj 2m F C, 2 viˆ kˆ y' x' FYS-MEK

18 Corioliskraft og været uten rotasjon med rotasjon luft strømmer inn til et område med lavt trykk skyggene dreier seg i motsatt retning på den sørlige hemisfæren FYS-MEK

19 access number: Du står på ekvator og dropper en masse fra en høyde h. Corioliskraften avleder massen 1. mot nord 2. mot vest 3. mot sør 4. mot øst 5. har ingen effekt y' z' x' y' x' z' koordinatsystem som roterer med jorden: iˆ ˆj kˆ øst nord vertikal opp massen faller nedover: jordens rotasjonsakse: v vkˆ ˆj Corioliskraft: F C 2m v 2m ˆj ( vkˆ ) 2m v( ˆj kˆ ) 2m viˆ Corioliskraften avleder massen mot øst. FYS-MEK

20 access number: Du måler vekten til en masse i Oslo og på et sted ved ekvatoren. På grunn av sentrifugalkraften er vekten i Oslo: a S 1. mindre enn ved ekvator 2. den samme som ved ekvator 3. større enn ved ekvator ( r) kˆ ( kˆ ( R cos iˆ kˆ ( kˆ R cos iˆ ) Rsin kˆ )) k i R R F S 2 R cos ( kˆ ˆj ) 2 R cos iˆ FYS-MEK