Newtons lover i én dimensjon

Transkript

1 Newtons lover i én dimensjon snuble-gruppe i dag, kl.16:15-18:00, Origo FYS-MEK

2 Hva er kraft? Vi har en intuitivt idé om hva kraft er. Vi kan kvantifisere en kraft med elongasjon av en fjær. FYS-MEK

3 Bok på bordet ingen bevegelse ingen kraft? Hva skjer med gravitasjonen når boken ligger på bordet? Gravitasjon virker på boken om den ligger på bordet eller ikke men bordet hindrer boken å falle ned. Hvis boken ligger på bordet må nettokraft være null, ellers vil boken beveger seg. det må være en kraft fra bordet på boken som kompenserer gravitasjonskraften modell: fjær mellom boken og bordet: boken dytter på fjæren som dytter på bordet fjæren blir komprimert og dytter tilbake på boken mikroskopisk deformasjon i overflaten normalkraft kraft er normal (vinkelrett) til overflaten gravitasjon: langtrekkende eller fjernkraft normalkraft: kontaktkraft FYS-MEK

4 Identifikasjon av krefter Vi skiller mellom systemet (=bok) og omgivelsen (= alt annet: bord, luft rundt boken) Alle krefter som virker på systemet har en årsak i omgivelsen. Vi vurderer bare ytre krefter, ikke indre (f.eks. krefter mellom sidene). Krefter er enten kontakt- eller langtrekkende krefter. Vi identifiserer angrepspunktene, som er ofte symbolisk: gravitasjon virker på hele boken normalkraft virker på alle atomer i snittflaten kraft er summen av alle små kontribusjoner: superposisjonsprinsippet. FYS-MEK

5 Fri-legeme diagram diagram som inneholder alle kreftene som virker på et legeme viktig verktøy for å finne ut hvordan et legeme beveger seg Oppskrift: Eksempel: bungee jump 1. Del problemet inn i system og omgivelser. system: person; omgivelse: tau, luft. Tegn figur av objektet og alt som berører det. 3. Tegn en lukket kurve rundt systemet. 4. Finn kontaktpunkter hvor kontaktkrefter angriper. Personen er i kontakt med tauet og med luften. 5. Navngi kontaktkrefter og definer symboler. Kraft fra tauet på personen: T Luftmotstand: F D 6. Identifiser langtrekkende krefter og definer symboler. Gravitasjonskraft: G 7. Tegn objektet med skalerte krefter. 8. Tegn inn koordinatsystemet. FYS-MEK

6 kraft akselerasjon (Tanke-) Eksperiment F Vi trekker på en fjær med kraft F slik at lengden blir x = x 0 + x F m 1 Vi fester en masse m 1 og slipper. Fjæren trekker på massen med kraft F og vi måler akselerasjonen a 1. F m Vi fester en masse m og slipper. Fjæren trekker på massen med kraft F og vi måler akselerasjonen a. F m a 1 m a Vi finner: 1 FYS-MEK

7 Newtons andre lov: F = ma Vi kan ikke bevise loven. Eksperimenter viser at loven er riktig. Endringen av bevegelsen er alltid proporsjonal med den motiverende kraft som blir påført, og blir gjort i den rettlinjede retning i hvilken denne kraft blir påført. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687 Isaac Newton FYS-MEK

8 Newtons andre lov: F = ma er gyldig i inertialsystemer. I et akselerert referansesystem må vi innføre fiktive krefter. gjelder punkt-partikkler. Vi kan bruke NL for utstrakte objekter hvis vi bruker massesenteret. inertialmasse m er en egenskap av et legeme: motstanden mot akselerasjon (= treghet) enhet: kg gjelder summen av alle ytre krefter som påvirker objektet: netto kraft Ytre krefter har årsak i omgivelsen. d x er en vektor likning gyldig for hver komponent: Fx max m dt kreftene er additiv: superposisjonsprinsippet Fnet = F = ma krefter måles i enhet: 1 kg m/s = 1 N = 1 Newton FYS-MEK

9 Eksempel To krefter virker på en vogn: F 1 trekker til høyre med 6000 N, F trekker til venstre med 1000 N. Massen til vogn er 500 kg. Du kan se bort fra andre krefter. Hva er akselerasjonen? F 1 = 6000 N i F = 1000 N i i : enhetsvektor i x retning Fnet = F 1 + F = 6000 N i 1000 N i = 5000 N i NL: a = F net Fnet = ma m 5000 N i = 500 kg = m/s i FYS-MEK

10 Eksempel: bordtennisball-kanon Finn hastighet til bordtennisball når den kommer ut av kanonen. Identifiser: Modeller: Løs: Analyser: Hvilket objekt beveger seg? Hvordan måler vi? Definer et koordinatsystem. Finn initialbetingelsene. Finn kreftene som påvirker objektet. Beskriv kreftene med en modell. Bruk Newtons andre lov for å finne akselerasjonen. Løs bevegelsesligningen. d x dx a x,, t dt dt med initialbetingelser (analytisk eller numerisk). Finn hastighet og posisjon. Er resultatene for x(t) og v(t) fornuftig?. Bruk resultatene for a svare på spørsmålet. Interpreter resultatene. FYS-MEK

11 Identifiser: Hvilket objekt beveger seg? Hvordan måler vi? Definer et koordinatsystem. Ballen beveger seg. Vi måler horisontal posisjon med x(t) Ved t 0 = 0 er x 0 = 0 m og v 0 = 0 m/s. Finn initialbetingelsene. Modeller: F G F P Kontaktkraft: kraft fra luft på ball: F P Lufttrykk: P 10 5 N/m Tverrsnitt: A = πr = π (0.0 m) = m F P = PA = 15.7 N Finn kreftene som påvirker objektet. Beskriv kreftene med en modell. Bruk Newtons andre lov for å finne akselerasjonen. F G F P : vi kan neglisjere gravitasjon NL: F = F P + F G F P = ma a = F P m = Langtrekkende kraft: Gravitasjon: F G = mg = kg 9.81 m/s = N 15.7 N kg = m/s FYS-MEK

12 Løs: Løs bevegelsesligningen. d x dx a x,, t dt dt med initialbetingelser (analytisk eller numerisk). Finn hastighet og posisjon. a t = m/s = konst. x 0 = 0 m v 0 = 0 m/s a = dv dt v = dx dt v t x t = v 0 + at = at = x 0 + v 0 t + 1 at = 1 at Analyser: Hvor mye tid bruker ballen gjennom kanonen? Er resultatene for x(t) og v(t) fornuftig?. Bruk resultatene for a svare på spørsmålet. x t 1 = 1 at 1 =.4 m t 1 = x a = Hva er hastigheten etter den tiden? 4.8 m m/s = 0.01 s Interpreter resultatene. v t 1 = at 1 = 47 m/s = 1700 km/h FYS-MEK

13 Eksempel: trinse system: trinse omgivelse: tau, akse, luft (loddene og taket er ikke i kontakt med trinsen) kontaktkrefter: normalkraft fra aksen på trinsen: N kraft fra tauet på trinsen venstre/høyre: T A, T B langtrekkende krefter: gravitasjonskraft: G (på grunn av massen til trinsen, ikke loddene) m A m B Vi antar videre at selve trinsen er masseløs og at det er ingen friksjon mellom trinse og akse. se på bevegelsen til loddene uten å ta hensyn til rotasjon av trinsen. x FYS-MEK

14 Eksempel: lodd i trinsen T x T system: lodd A omgivelse: tau G A system: lodd B omgivelse: tau G B x m A m B NL for lodd A: NL for lodd B: summe T m m B A g m g T m m A = 0.55 kg, m B = 0.56 kg Beregn akselerasjonen. A B a a ( mb ma) g ( ma mb ) a ma m B m A går opp, m B går ned a er det samme for begge loddene. Jeg velger x aksen slik at a er positiv. Lodd B starter med v 0 =0 m/s ved posisjon x 0 =0 m. Hvor mye tid bruker lodd B for å komme til x=1 m? akselerasjon: a m m B A m m A B g x 1 at t x a a g m/s t m m/s 4.76s Vi tester Newtons andre lov: FYS-MEK

15 Kraftmodeller vi har en oppskrift for å identifisere kreftene fri-legeme diagram vi bruker Newtons andre lov for å finne akselerasjonen fra summen av ytre krefter vi kan løse bevegelsesligningene (analytisk eller numerisk) vi vet ikke hvordan vi kan beskrive / kvantifisere de forskjellige krefter vi trenger kraftmodeller Modeller: Finn kreftene som påvirker objektet. Beskriv kreftene med en modell. Bruk Newtons andre lov for å finne akselerasjonen. FYS-MEK

16 Gravitasjon Isaac Newton har også oppdraget gravitasjonsloven (fra empirisk observasjon) F fra B på A = γ mm 3 r r AB AB : gravitasjonskonstant m: gravitasjonsmasse til A M: gravitasjonsmasse til B r AB : vektor fra senteret av A til senteret av B inertialmasse: treghet et legemes motstand mot å forandre hastighet gravitasjonsmasse: definert av gravitasjonsloven Eksperimenter finner ingen forskjell mellom inertialmasse og gravitasjonsmasse. FYS-MEK

17 på jordoverflate F fra B på A = γ mm 3 r r AB AB m kg s M = kg r AB m (posisjonsavhengig) Gravitasjonskraft er rettet mot jordens senteret. F mm r AB mg g = γ M r 9.81 m AB s hvis ingen andre krefter enn gravitasjon virker: F net m g g m a i m i : inertialmasse, m g : gravitasjonsmasse a m m g i g m i m g alle legemer faller med samme akselerasjon ekvivalensprinsippet FYS-MEK

18 Eksempel: heis En heis med masse m H = 400 kg beveger seg opp med en maksimal akselerasjon a max =.0 m/s. Den maksimale nyttelasten er m L = 1600 kg. Hva er den maksimale kraften som virker på kabelen? Det er heisen som beveger seg. Vi måler posisjonen i x retning oppover. Heisen er i kontakt med kabelen og med luften rund seg. Nyttelast er innenfor systemet og forårsaker ingen ytre krefter. Kontaktkrefter: Kraft fra kabelen på heisen: F Vi ser bort fra luftmotstand. Langtrekkende krefter: Gravitasjon: G FYS-MEK

19 Kraftmodeller: Kraft F fra kabelen på heisen er ukjent den skal vi beregne! Vi vet at den virker oppover: F = Fi Gravitasjon: G = mgi NL: F net = F + G = Fi mgi = mai F = m(g + a) Kraften F avhenger akselerasjonen av heisen. Den maksimale kraften oppstår hvis a = a max og med den maksimale nyttelasten (m = m H + m L ). F max m max ( g amax ) ( mh ml )( g amax ) F max (400 kg 1600 kg)(9.81 m/s m/s ) 47.4 kn FYS-MEK

20 access number: Du står på en vekt i en heis som beveger seg nedover med konstant hastighet og vekten viser 70 kg. Når du nærmer deg første etasje begynner heisen å bremse. Da viser vekten mer enn 70 kg 70 kg system: person omgivelse: vekt, luft v 0 mindre enn 70 kg krefter: gravitasjon G normalkraft N G N x ingen akselerasjon: G = N Når heisen bremser: akselerasjon i x retning nettokraft i x retning N > G v 0 a Vekten måler normalkraften. Gravitasjonskraft er konstant: G = mg G N x FYS-MEK

21 access number: En person på 60 kg står i en lukket kiste på 10 kg som står på en vekt. Vekten viser 70 kg. Hun hopper opp i luften. Mens hun er opp i luften innenfor kisten så viser vekten N > 70 kg N = 70 kg 10 kg < N < 70 kg N = 10 kg strekke kne a>0 N>G G N x Det spiller ingen rolle om hun hopper i en kiste eller direkte på en vekt. G er konstant siden massen endrer seg ikke, men N kan variere. N bremse etter landing a>0 N>G bøye kne a<0 N<G uten kontakt: fritt fall FYS-MEK t