Flervalgsoppgaver. Gruppeøving 1 Elektrisitet og magnetisme

Transkript

1 Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Flervalgsoppgaver Ei svært tynn sirkulær skive av kobber har radius R = 000 m og tykkelse d = 00 mm Hva er total masse? A 0560 kg B 0580 kg C 0630 kg D 0650 kg E 0740 kg Løsning: m = ρv = ρπr d = kg/m 3 π (00 m) 0 3 m = kg/m m 3 = 0560 kg I naturlig forekommende kobber har atomet 9 elektroner, 9 protoner og i snitt 3454 nøytroner (blanding av isotoper med 34 og 36 nøytroner) Hva er midlere masse per kobberatom? (Er det nødvendig å ta hensyn til elektronene?) A kg B kg C kg D kg E kg Løsning: kobbers molvekt er M Cu = g/mol = 6354 g/mol og dermed masse per kobberatom: m atom = M Cu /N A = (6354 g mol )/( mol ) = 06 0 g = kg Alternativt: m atom = 9 m p m n +9 m e = kg kg = kg kg = kg Elektronenes masse er av kjernens og altså uten betydning 3 Hvor mange kobberatomer er det i skiva? En mer passende antallsenhet i slike sammenhenger er mol, der mol A 795 mol B 878 mol C 9 mol D 003 mol E 08 mol Løsning: n Cu = m/m atom = 0560 kg/ kg = = 878 mol 4 Et proton har elektrisk ladning e, et elektron har ladning e, og et nøytron har null elektrisk ladning Hvor stor ladning har alle protonene i skiva tilsammen? A C B C C C D 0 7 C E C Løsning: q p = 9 n Cu e = C = C 5 Den tynne skiva gis så en uniform nettoladning σ 0 = +0 µc/m per flateenhet (totalt for overside og underside) Hva blir skivas totale ladning? A 068 µc B 0889 µc C 096 µc D 03 µc E 38 µc Løsning: Uniform ladning σ 0 per flateenhet og areal πr gir total ladning Q = σ 0 πr = 0 µc/m π(00 m) = 068 µc 6 Hvor stor andel av elektronene er fjernet fra skiva? A B C D 0 4 E 6 0 4

2 Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Løsning: Andelen av elektroner som er fjernet er lik andelen av ladning av alle elektroner i skiva, som er 068 µc/ C = Ei anna sirkulær skive har radius R og netto ladning σ(r) = σ 0 ( r/r) per flateenhet, dvs den avtar lineært med avstanden r fra skivas sentrum Hva blir skivas totale ladning Q? Finn uttrykk, ikke tallverdier Tips: En tynn ring med indre radius r og ytre radius r + dr har areal da = πr dr A σ 0πR B σ 0πR C 3 σ 0πR 3 D 3 σ 0πR E 4 σ 0πR Løsning: Q = skive dq = skive = πσ 0 ( r 3 σ(r)da = r 3 R R 0 σ 0 ( /R) πr dr ) R ( = πσ 0 R ) 3 R = 3 σ 0πR 0 Gravitasjonskraft - elektrisk kraft 8 Oppgitt for denne oppgaven: Tyngdens akselerasjon er g = 98 m s Fluor har molmasse 9 g mol Newtons gravitasjonslov: F g = G m m Andre nødvendige konstanter som Avogadros tall, elementærladningen og gravitasjonskonstant finner du feks i Angell & Lian r a) I Millikans oljedråpeforsøk fra 909 måler man elementærladningen e ved å observere bevegelsen av små oljedråper i et vertikalt elektrisk felt Oljedråpene har en eller flere elementærladninger, og hvis det elektriske feltet har den rette størrelsen, vil den elektriske krafta på oljedråpen balansere tyngdekrafta og holde den svevende i lufta Anta at oljedråpen har radius cm, massetetthet kg m 3 og at den har én positiv elementærladning Hva er den elektriske feltstyrken, E, når feltet balansere vekta til oljedråpen? Og hvilken retning har E? Løsning: ladning e = C og masse m = ρ 4 3 πr3 = kg/m π ( m ) 3 = kg Elektrisk kraft må virke oppover og når ladningen er positiv må elektrisk felt peke oppover Tyngdekrafta er lik den elektriske krafta når mg = ee, som gir nødvendig elektrisk feltstyrke E = mg e = kg 98 kg s C = N/C = 05 kn/c E ee e mg b) Betrakt nå et fluoridion, F, hva må den vertikale E være for å balansere vekta av ett fluoridion? Page

3 Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Løsning: Fluoridionet har ladning e = C og 9 g mol masse m F = mol = g = kg Massen kan også beregnes fra m F = 9 m p, der m p = kg er protonmassen (som er omtrent like stor som nøytronmassen) Elektrisk kraft må virke oppover og når ladningen er negativ må elektrisk felt peke nedover Tyngdekrafta er lik den elektriske krafta når ee F m F g = ee, som gir nødvendig elektrisk feltstyrke E F = E F = m F g e = kg 98 m/s C = N/C = 9 µn/c E F e mg c) Pga jordklodens ladning er det under normale forhold ved jordoverflata et elektrisk felt med verdi ca 00 N/C og retning inn mot kloden Hva vil skje med et fluoridion som svever i lufta ved jordoverflata? Og hva med oljedråpen i a)? Løsning: Jordas felt 00 N/C er mye større enn svaret for E i b) som opphevet tyngdekrafta, slik at et fritt fluoridion vil forsvinne oppover i atmosfæren inntil feltet er avtatt til 9 µn/c (Atmosfæren er positivt ladd, atmosfære pluss jordkloden er totalt nøytralt Derfor avtar E- feltet utover i atmosfæren og er lik null utenfor) For oljedråpen går elektrisk kraft og tyngdekrafta i samme retning, slik at dråpen vil falle mot jorda Men elektrisk kraft tyngdekrafta siden jordas felt 00 N/C 05 kn/c funnet i a) Bevegelsen blir svært langsom pga stor luftmotstand for den lille dråpen, tilsvarende bittesmå regndråper (tåke) d) Finn uttrykk for elektrisk kraft F e og gravitasjonskraft F g mellom to fluoridioner i avstand r og beregn verdien for forholdet F e /F g Løsning: Gravitasjonstiltrekning: F g = G m F m F r F e F g = k G e m F og elektrisk frastøtning: F e = k ee, slik at r m/f ( C) = Nm /kg ( = kg) og er uavhengig av avstanden mellom ionene (Sjekk gjerne enhetene i siste uttrykket! Alternative enheter for k først i øvingstekst) Gravitasjonskraft mellom ioner er altså helt uten betydning Punktladninger I y/m q 3 9 Vi har tre punktladninger q = q = 0 nc og q 3 = 30 nc som er plassert som vist i figuren (avstanden mellom q og q er 0 m) Beregn kreftene på q og q 3 Angi kreftene både som vektor på komponentform og vektor med lengde og retning (vinkel med koordinataksene) q q x/m Page 3

4 Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Løsning: Dette er mest en oppgave i vektorregning Krafta på q kommer fra tilstedeværelse av ladningene q og q 3 Vi finner krafta fra q og q 3 separat og adderer dem vektorielt etterpå for å finne den totale krafta på q (superposisjonsprinsippet) Det samme gjør vi for å beregne krafta på q 3 Krafta på q blir : [ q F = F + F 3 = k q r ˆr + q ] 3 r3 ˆr 3 I figuren er krefter tegnet inn i den retningen de virker ifølge oppgitte ladninger, feks vil F 3 peke i positiv y-retning Merk at ˆr (retning fra q til q ) peker i negativ x-retning og ˆr 3 i negativ y-retning: ˆr = î og ˆr 3 = ĵ Innsatt verdier finner vi F = 9, Nm /C, C [, C (, 0 m) ( î ) + 3, 0 ] 0 9 C (, 0 m) ( ĵ ) = 9, N î + 3, N ĵ = ( 9, 0 î + 4 ĵ ) nn F = 9, 0 + 3, N = 6, nn = 6 nn og har retning som vist på figuren, med vinkel θ = arctan 3, 5/9, 0 = = 4 med x-aksen Krafta på q 3 blir helt analogt: [ q F 3 = F 3 + F 3 = k q 3 r3 ˆr 3 + q ] r3 ˆr 3 Her er r 3 = r + r 3 og enhetsvektorene Innsatt verdier: ˆr 3 = ĵ og ˆr 3 = cos 45 î + sin 45 ĵ = ( î + ĵ ) F 3 = Nm /C ( C) [ C C (0 m) ĵ + (0 m) + (0 m) ] ( î + ĵ ) = N ĵ N î N ĵ = N î N ĵ = (48 î 8 ĵ nc) F 3 = 4, , N = 8, 88 nn = 9 nn og har retning som vist på figuren, med vinkel θ = arctan 8, 7/4, 77 = 75, 4 med x-aksen, dvs 4, 6 med y-aksen Page 4

5 Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Punktladninger II 0 Tre punktladninger q, q og q 3 ligger i hvert sitt hjørne på en likesidet trekant med lengde på sidene lik 0 cm slik figuren viser Størrelsene på de parvise kreftene mellom ladningene er observert til: F = 5, 40 N, tiltrekkende F 3 = 5, 0 N, frastøtende F 3 = 9, 0 N, tiltrekkende a) Hvilken verdi har de tre ladningene når det er oppgitt at q er negativ? b) Hvor vil du plassere en fjerde positiv punktladning q 4 slik at nettokrafta på ladning q blir null? q 0 cm 0 cm 0 cm q q 3 Løsning: a) Størrelsene på kreftene er gitt av Coulombs lov, der kreftene er negative når de er tiltrekkende og positive når frastøtende Med r = r 3 = r 3 = r = 0, 0 m (likesidet trekant) får vi følgende tre likningene for å bestemme de tre ladningene q, q og q 3 : F = k q q r F 3 = k q q 3 r = 5, 40 N = 5, 0 N F 3 = k q q 3 r = 9, 0 N En måte å løse disse er ved å ta forholdet F 3 = q = 5, 0 F 3 q 9, 0 q = 9, 0 5, 0 q og sette inn q i F : F = k q r 9, 0 5, 0 5, 40 N q = 5, 0 9, 0 k r 5, 40 N =, 00 0 C (Tegnet betyr må være lik ifølge kravene ) Nå er det gitt at q er negativ Ladningen q er da: q = 3, 6 µc Fra forholdet mellom q og q fra tidligere finnes : q = 9,0 5,0 q =, 90 µc Ladning q 3 beregnes da fra en av ligningene for F 3 eller F 3 og gir: q q 3 = 5, 7 µc F y q q 3 x F 3 F + F 3 b) For at nettokrafta på ladningen q ved introduksjon av en fjerde ladning q 4 skal bli null, må q 4 plasseres slik at kraftvirkningen F 4 oppveier F og F 3 Matematisk gir dette vektorlikningen: F = F 4 + F + F 3 0 F 4 = (F + F 3 ) Page 5

6 Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Løser uttrykkene ved å dele opp i x- og y-komponenter θ = 60 = π/3, og vi får Vinklene i en likesidet trekant er F 4 = (F + F 3 ) = F (cos π/3 î + sin π/3 ĵ ) F 3 (cos 0 î + sin 0 ĵ ) = (5, 40 N 0, 50 î + 5, 40 N 0, 866 ĵ ) 9, 0 N î =, 7 N î 4, 68 N ĵ Med negativ x- og y-komponent må krafta F 4 på fra 4 virke i retning ned mot venstre (sydvest) Når både ladning q og q 4 er positive er kraften frastøtende og ladning q 4 må plasseres nordøst for q, på forlengelseslinja av vektoren F 4 angitt over, som har vinkel θ = arctan 4, 68/, 7 = med x-aksen Avstanden fra q er avhengig av hvor stor ladningen q 4 er, men følgende må gjelde: F 4 = k q q 4 r 4, 7 + 4, 68 N =, 6 N altså q 4 r4, 6 N kq = 7, C/m Page 6