Stivt legemers dynamikk

Transkript

1 Stvt legemers dynamkk FYS-MEK

2 otasjon av et stvt legeme: defnsjon: z m treghetsmoment for legemet om aksen z (som går gjennom punktet O) kontnuerlg legeme med massetetthet (r) m ) dv z dm M V m( r knetsk energ: K z jo større treghetsmomentet, jo mer energ behøves for å rotere legemet Parallellakseteoremet A C Ms FYS-MEK

3 Eksempel treghetsmomentet tl en tynn lang stav som roterer om en akse gjennom massesenteret: cm ML (regn ut som øvelse) L hva er treghetsmoment hvs staven roterer om en akse gjennom en endepunkt? Parallellakseteoremet: A L A cm Ms ML L M ML 4 ML FYS-MEK

4 access number: 8989 Fre T-er er laget av to dentske staver med samme masse og lengde. anger treghetsmomentene a tl d for rotasjon om den stplede lnjen.. c > b > d > a. c = d > a = b. a = b > c = d 4. a > d > b > c 5. a > b > d > c FYS-MEK

5 Superpossjonsprnsppet Hva er treghetsmoment for et legeme som består av to deler? N a m k N m m k a, A a, B A B a, A ML a cm, B Ms a ML ML ML, B 0 ML 4 b 0 ML ML c 7 0 ML ML L d ML M ML a > d > b > c FYS-MEK

6 En stav er festet et frksjonsfrtt hengsel og slppet fra en horsontal stllng. fnn vnkelhastgheten (v ser bort fra luftmotstand) Knetsk energ Den knetske energen tl et stvt legeme som roterer med vnkelhastgheten om en akse z er: K z Potensell energ Den potenselle energen tl et stvt legeme tyngdefeltet er: potensell energ knetsk energ kan v bruke energbevarng? la oss se på kreftene: gravtasjon potensell energ ngen frksjon ngen luftmotstand normalkraft hengselet U hengselet beveger seg kke normalkraft gjør ngen arbed m g y g energ er bevart: K 0 U0 K U m y MgY FYS-MEK

7 E 0 K0 U0 0 L MgY O Mg sn E K U O energbevarng: 0 O O Mg L MgLsn sn ML MgLsn treghetsmoment: O ML L g sn g sn L FYS-MEK

8 access number: 8989 V fester en tung masse tl enden av staven. Blr den maksmale vnkelhastgheten mndre, større eller lke stor som for staven alene? O y x. mndre. større. lke stor v antar at massen tl klossen er mye større enn massen tl staven massesenteret lgger sentrum av klossen treghetsmoment: O ML energbevarng: ML MgL sn g sn L for staven alene: g L sn den maksmale vnkelhastgheten (ved =90) er mndre med klossen festet tl enden FYS-MEK

9 Eksempel: stav som svnger et vlkårlg punkt L rotasjonspunkt avstand x fra massesenteret fnn som funksjon av x treghetsmoment: bruk parallellakseteoremet x cm Mx energbevarng: x ML Mx Mgx sn vnkelhastghet ved θ = 90 max Mgx x 6 v fnner avhengghet av x numersk: 5 max [rad/s] x [m] FYS-MEK

10 Eksempel: kloss trnse fnn hastgheten tll klossen som funksjon av h (ngen frksjon, ngen luftmotstand) knetsk energ tl klossen: K ln mv knetsk energ tl trnsen: K rot sylndrsk trnse: potensell energ tl klossen: energbevarng: U mg y 0 mv mgh M to ukjente: v og koblet va snoren mv v M (m M ) v 4mgh mgh hvs snoren kke glpper: v ds d s v 4mgh m M masseløs trnse: v = gh FYS-MEK

11 ullebetngelse punktet P beveger seg på en srkelbane massesentersystemet: r kˆ ( ˆj ) ( kˆ ˆj ) v P, cm P, cm v P v cm v P cm vcm ˆ, r P rcm rp, cm y v P vcm vp, cm ˆ rullebevegelse laboratoresystem: P snu vertkal bevegelsesretnng når den treffer bakken: 0 rullebetngelse: v P 0 x r cm v P, y v P, x uten å skl: 0 r P v P, cm y' r P, cm legeme (sylnder, ball) ruller uten å skl: ˆ fnn hastghet tl massesenteret fra v cm vnkelhastghet P x' v cm FYS-MEK

12 access number: 8989 En sylnder og et sylnderskall med samme masse og radus ruller nedover et skråplan. Hvlken når bunnen først?. Sylnderen. Sylnderskallet. De kommer samtdg ned. sylnder: z m sylnderskall: z m( ) m sylnderskall gr mer motstand tl rotasjon FYS-MEK

13 knetsk energ translasjon: knetsk energ rotasjon: K t mv cm Kr y h x potensell energ tyngdefelt: U mg y cm energbevarng: mgh mv cm v mv cm cm m mv cm mv cm c v cm gh c sylnder når bunnen først sylnder: c m sylnderskall: c m FYS-MEK

14 access number: 8989 En lten sylnder med radus og masse m og en stor sylnder med radus og masse 4m ruller ned et skråplan. Hvlken når bunnen først?. Den llle sylnderen. Den store sylnderen. De kommer samtdg ned. m 4m v har funnet: v cm gh c hvor: c m for en sylnder Hastghet v cm er uavhengg av og m. FYS-MEK

15 translasjon rotasjon translasjon rotasjon possjon x(t) (t) vnkel hastghet v( t) dx ( t) d vnkelhastghet akselerasjon a( t) dv d x ( t) d d vnkelakselerasjon translatorsk energ Kt mv Kr rotasjonell energ masse m dm treghetsmoment kraft F ma bevegelsesmengde p mv M O r F l r p kraftmoment spnn FYS-MEK

16 å spnne et hjul tangensal kraft F T avstand fra aksen kraften vrker over kort td t langs en kort streknng s F T arbed: W FT s FT K K0 knetsk energ: K F T K t t K t ( ) ( ) t t K t d FT F T d d NL for rotasjoner: F T kraft kraftarm NL for translasjoner: F ma FYS-MEK

17 Kraftmoment bare den tangensale kraftkomponenten bdrar tl å få hjulet å spnne NL for rotasjoner: F T kraftmoment F T kraftmomentet er årsak for vnkelakselerasjonen: τ = α avstand fra rotasjonsaksen er vktg: FTuˆ T Fuˆ F Treghetsmomentet er legemets motstand mot å få rotasjonshastgheten endret. Det krever et kraftmoment. FYS-MEK

18 Kraftmoment angrepspunkt for kraften: r ruˆ y FTuˆ T F Fuˆ bare den tangensale kraftkomponenten bdrar. rotasjon om z aksen: kraftmoment: O NL for rotasjoner: r F z kˆ z ruˆ ruˆ F uˆ T z T ( F uˆ F uˆ T rf T kˆ z k ˆ T ) O x F y hvs flere krefter vrker: O x z, z r F z (NLr) kraftmomentet defnert forhold tl et punkt O F kraftmoment om O FYS-MEK

19 FYS-MEK access number: 8989 anger kraftmomentene c b a e d c b a e d c b d a e c b d a e c b a e d