Flerpartikkelsystemer Rotasjonsbevegelser

Transkript

1 lerparkkelsysemer Roasjonsbevegelser.4.6 Resulaer fra mveseksamen på semesersen: hp:// YS-MEK.4.6

2 lerparkkelsysemer j y k neokraf på parkkel : hele syseme: ne ne j p j p j j p (NL) P x (NL for flerparkkelsysem) massesener: R M m r hasghe: V R mv p M M M P P MV P MV M V : hasghe l massesenere : akselerasjon l massesenere YS-MEK.4.6

3 hp://pngo.upb.e/ access number: 8989 Hvor lgger massesenere l en homogen halv-rng?. punk. punk 3. punk C 4. ngen av sse C YS-MEK.4.6 3

4 Massesener l e usrak legeme y r V v eler legeme små volumelemener me masse m ( r ) V V z x R M r m for nfnesmale volumelemener: R rm r( r) V M M M V for hver komponen: MX MY MZ V V V x( x, y, z) xyz y( x, y, z) xyz z( x, y, z) xyz YS-MEK.4.6 4

5 Eksempel: homogen halvsylner me raus R og ykkelse y R r x sylnerkoornaer: x r cos y r sn z volumelemen: V rrz M R V rrz V R rr z R X på grunn av symmer MY V R yv r sn rrz r R r sn z 3 R 3 Y 3 MY 3 R 4R. R M R 3 4 Z på grunn av symmer YS-MEK.4.6 5

6 Hvor lgger massesenere l en homogen halv-rng? y b a rng: a len halv-sylner: b sor halv-sylner: ab C x Y ab M aya M by M ab b Y a M ab Yab M by M a b M aby M ab ab MbY M b b YS-MEK.4.6 6

7 hp://pngo.upb.e/ access number: 8989 Du ser på sranen og ser på en person en bå. Personen beveger seg fra en vensre enen av båen l en høyre. Du analyserer bevegelsen fra sranen og u fnner a massesenere l syseme som besår av bå og person. beveger seg l høyre. forblr på samme se C. beveger seg l vensre (V anar a e er ngen frksjon mellom bå og vann.) ngen yre neokraf påvrker syseme P MV M massesenere forblr på samme se båen beveger seg l vensre mens personen går l høyre YS-MEK.4.6 7

8 Eksempel: E legeme skyes en parabelbane me ugangshasghe v x-renngen. I en maksmale høyen h uløses en lanng, som eler legeme o eler. bevegelsesmenge x-renng før eksplosjonen: p mv eer eksplosjonen: p m v m v ngen yre krefer horsonal renng horsonal bevegelsesmenge er bevar mv m v m v Massesener: Massesenere: samme parabelbane som legeme vl a uen eksplosjon YS-MEK.4.6 8

9 hp://pngo.upb.e/ access number: 8989 Legeme me masse m og legeme me masse 3m sår på en horsonal frksjonsfr overflae. En masseløs fjær yer legemene fra hveranre. orhole mellom energene er: M m 3m 3M ngen yre krefer påvrker syseme bevegelsesmenge er bevar: mv 3mv v 3v mv m9v 3 3mv K 3K nre krefer: a 3m a ngen yre krefer: m 3a (N3L) massesenere forblr på samme se M YS-MEK.4.6 9

10 y Massesenersysem y x y x x v kan separere bevegelsen bevegelsen av massesenere bevegelsen relav l massesenere r ( ) R( ) r, ( ) cm massesenersysem S : koornasysem som beveger seg me massesenere P cm mvcm, m r cm, m r cm, MR cm R cm P cm en oale bevegelsesmengen massesenersyseme er null uavhengg av yre krefer YS-MEK.4.6

11 Knesk energ flerparkkelsysem r R r cm, R rcm, R rcm, V vcm v, y x hasghe l massesenere: V hasghe l massepunk relav l massesenere: y v cm, x K N m v N m ( V v cm, ) N m ( V V v cm, vcm, ) V N m V N m v cm, N m v cm, MV V P cm N m v cm, N MV m vcm, K cm K cm bevegelse relav l massesenere bevegelse l massesenere YS-MEK.4.6

12 ngen bevegelse relav l massesenere: v cm, K MV v cm, K MV N m v cm, knesk energ bevegelsen l massesenere (parabelbane) bevegelsen relav l massesenere (roasjon) hvs legeme er kke sv: anre frhesgraer for relavbevegelse f.eks. vbrasjoner YS-MEK.4.6

13 Poensell energ flerparkkelsysem hver konservav kraf har e lhørene poensal konservav yre kraf: U ( r ) eksempel: gravasjon på joren hvs e er også nre krefer: U o U( r ) U ( r ) m g y U o ne m g y j MgY hvs krefer er konservave: U ( r ) U r, r ) j k j j jk j ( j k j k kj k j j U U ( r ) U ( r, r ) o j j j U U n E o K cm K cm U U n YS-MEK.4.6 3

14 Energbevarng flerparkkelsysemer konservave krefer E o er bevar E o K cm K cm U U n K cm og U er ofe relav le lgjenglg, men e kan være vanskelg å fnne K cm og U n energbevarng kan g nformasjon om nre knesk og poensell energ: hvor høy spreer ballongen opp gjen? spesalfall: sv legeme parkler beveger seg kke relav l hveranre parkler kan bevege seg relav l massesenere bevegelsen beskrves ve ranslasjoner og roasjoner ngen vbrasjoner eller eformasjoner YS-MEK.4.6 4

15 Eksempel (kke sv) yre kraf: gravasjon nre kraf: fjærkraf G G mg ˆj k( x x b) ˆj k( x x b) ˆj parkkel kollerer elassk me gulve v har e moell og v kan løse probleme numersk (Ex. 3.5 boken) mx massesener: mx X ( x x) m YS-MEK.4.6 5

16 X x x Kcm MV N Kcm mv cm, U mg( x x ) U n k( x x b) obs: mer realssk moell bør a hensyn l roasjoner! YS-MEK.4.6 6

17 v separere bevegelsen: bevegelsen l massesenere bevegelsen relav l massesenere r ( ) R( ) r, ( ) cm bevegelsen l massesenere bevegelsen relav l massesenere bevegelsen besemmes av yre krefer som vrker på saven jevn roasjon om massesenere l saven YS-MEK.4.6 7

18 Roasjonsbevegelse bevegelsesagram v karakerserer roasjonsbevegelser: roasjonsakse roasjonsvnkel z akse som roasjonsakse (u av avlen) roasjon posv renng negav z akse som roasjonsakse (nn avlen) roasjon negav renng v ser også: roasjon går raskere: vnkelen foranrer seg mer samme YS-MEK.4.6 8

19 Vnkelhasghe gjennomsnlg vnkelhasghe: ( ) ( ) momenan vnkelhasghe: lm konsan vnkelhasghe:.5 ra/s renger kke være konsan: (momenan) vnkelakselerasjon: konsan vnkelhasghe: 4 ra/s YS-MEK.4.6 9

20 ranslasjon roasjon possjon x () () hasghe v( ) x ( ) akselerasjon a( ) v x ( ) v kan negrere bevegelseslgnnger: () ( ) ( ) ( ) for konsan vnkelhasghe: ( ) YS-MEK.4.6

21 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) for konsan vnkelakselerasjon: ( ) for en g vnkelakselerasjon () og nalbengelser og kan v beregner vnkel og vnkelhasghe. analysk ve negrasjon eller numersk: ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (Euler-Cromer) YS-MEK.4.6