FYSMEK1110 Eksamensverksted 31. Mai 2017 (basert på eksamen 2004, 2013, 2014, 2015,)

Transkript

1 YSMEK1110 Eksamensverksted 31. Mai 2017 (basert på eksamen 2004, 2013, 2014, 2015,) Oppgave 1 (2014), 10 poeng To koordinatsystemer og er orientert slik at tilsvarende akser peker i samme retning. System beveger seg med hastighet i forhold til system langs -aksen. Lorentz transformasjonen fra system til system kan da skrives som:,,,. a. En observatør i system måler en konstant hastighet til en partikkel i -retning og finner. En observatør som befinner seg i system måler hastigheten. Vis at sammenhengen mellom og er: (5 poeng) a. I et eksperiment akselereres to protoner til høy hastighet i motsatt retning slik at de kolliderer. I laboratoriesystemet måler vi hastighetene og. Vi definerer systemet slik at det andre protonet er i ro,, målt i dette systemet. Hva er hastigheten til det første protonet i system? Med andre ord, hvis du er et av protonene, hva er hastigheten som du måler for protonet som kommer mot deg? (5 poeng) I system er:, I system er det andre protonet i ro: Relativhastigheten mellom de to systemer er dermed: Vi bruker resultatet fra oppgave a: Page 1 of 11

2 Oppgave 2 (2014), 16 poeng a. En kube med kantlengde og masse som roterer om en hovedakse gjennom sitt massesenter har treghetsmoment. Hva er treghetsmomentet for rotasjon om én av kantene (se figur)? (3 poeng) Vi bruker parallellakseteoremet: hvor vi har flyttet rotasjonsaksen en avstand. En kube med kantlengde og masse beveger seg med hastighet langs et friksjonsfritt bord. Du kan se bort fra luftmotstanden. Når den kommer til kanten til bordet treffer kuben på en list slik at den stanser plutselig og begynner å rotere. b. Del bevegelsen inn i forskjellige faser og diskuter hvilke størrelser som er bevart i de ulike fasene. (4 poeng) ase 1: Kuben sklir langs bordet. Siden overflaten er friksjonsfri og vi kan se bort fra luftmotstanden virker bare gravitasjon og normalkraften, slik at nettokraften er null. Derfor er både energi og bevegelsesmengde bevart. ase 2: Kollisjon med kanten. Vi vet ingen ting om selve kollisjonsprosessen. Kollisjonen er generelt ikke elastisk, og energi kan gå over til deformasjon, lyd og oppvarming. Det oppstår krefter fra listen på kuben og derfor er bevegelsesmengde ikke bevart heller. Siden angrepspunktene for disse kreftene ligger på rotasjonsaksen er kraftmomentet null og spinn er bevart. ase 3: Kuben roterer. Det virker gravitasjon og krefter fra listen på kuben, men sistnevnte gjør ingen arbeid fordi kanten ikke beveger seg. Derfor er energien bevart. På grunn av kreftene fra listen er bevegelsesmengde ikke bevart. Gravitasjon gir et kraftmoment, derfor Page 2 of 11

3 er spinn ikke bevart heller. ase 4: Kuben roterer enten tilbake til eller faller av bordet. c. inn vinkelhastigheten umiddelbart etter kollisjonen med kanten. Uttrykk vinkelhastigheten som funksjon av hastigheten og lengden. (4 poeng) Med argumentene fra b. ser vi at vi kan bruke spinnbevaring. Spinn til kuben om bordkanten umiddelbart før kollisjonen: Etter kollisjonen roterer kuben om kanten: Altså: d. Hva er minimumshastigheten som kuben må ha for å falle av bordet? Uttrykk svaret i form av lengden og tyngdeakselerasjonen. (5 poeng) Vinkelhastigheten må være stort nok for at massesenteret løftes til en høyde ( ) Vi bruker energibevaring: ( ) ( ) ( ) Page 3 of 11

4 Oppgave 3 (2015) 17 poeng I denne oppgaven skal vi studere et atom på en atomær overflate. Vi beskriver vekselvirkningen mellom atomet og overflaten ved den potensielle energien til atomet som funksjon av posisjonen x langs overflaten: U(x) = U 0 (1 cos ( 2πx x 0 )) Atomet har massen m og beveger seg kun langs x aksen. Du kan neglisjere alle andre krefter. a. inn et uttrykk for kraften som virker på atomet. (3 poeng) = du dx = 2π U x 0 sin ( 2πx ) 0 x 0 b. Vis at når x x 0 kan bevegelsesligningen tilnærmet skrives som: d 2 x dx 2 = ω2 x og finn ω. Beskriv bevegelsen til atomet i dette grensetilfelle. (5 poeng) Det ble kunngjort under eksamen at det var en skrivefeil i oppgaveteksten og at ligningen er: d 2 x dt 2 = ω2 x or små φ kan vi rekkeutvikle sin(φ) = φ + O(φ 3 ) φ d 2 x dt 2 = a = m = U 2 0 m (2π ) x = ω 2 x x 0 hvor ω = 2π U 0 x 0 m Denne ligningen beskriver en harmonisk oscillator. Atomet vil vibrere omkring med en periodetid T = 2π. Amplituden i oscillasjonen er avhengig av initialbetingelsene. ω Tilnærmingen gjelder kun for små utslag. c. Atomet starter i posisjonen x = 0 med hastigheten v 0. Hvor stor må v 0 være for at atomet skal nå posisjonen x = 4x 0? Skisser bevegelsen x(t) og v(t) til atomet i dette tilfellet. (4 poeng) Atomet beveger seg i et potensial og er ikke påvirket av noen ikke-konservative krefter. Den totale mekaniske energien til atomet er derfor bevart. or at atomet skal nå en avstand x = 4x 0 må den ha tilstrekkelig total energi til å komme ut av potensialbrønnen omkring x = 0. Den maksimale potensielle energien er U = 2U 0. Den initielle kinetiske energien må derfor være større enn dette: E = K 0 + U 0 = K 1 + U 1 hvor og K 0 + U 0 = 1 2 mv K 1 + U 1 = 1 2 mv U 0 Den minste kinetiske energien som skal til finner vi ved å sette v 1 = 0 slik at atomet Page 4 of 11

5 Massesenteret akkurat kommer beveger forbi seg med toppen konstant i energilandskapet. hastighet i x retning. Samtidig roterer systemet med konstant vinkelhastighet om massesenteret. 1 2 mv 0 2 = 2U 0 Oppgave 4 (7 poeng) v 0 = 4U 0 m Et pion oppstår i en kollisjon mellom høyenergetiske protoner i en partikkelakselerator. Etter det d. er or skapt å løse beveger bevegelsesligningene pionet seg med konstant for atomet høy hastighet i det generelle nær lysets tilfellet hastighet har før du det utviklet henfaller. et program som finner posisjonen og hastigheten til atomet numerisk ved hjelp av Euler Et pion i sitt hvilesystem har levetiden. inn hastigheten til pionet hvis du som observatør i metode. Du gjør en simulering med realistiske parametere og initialbetingelsene x = laboratoriet detekterer henfallet i en avstand fra kollisjonspunktet. inn et uttrykk for og v = v 0 ved tiden t = 0 og får resultatet i figuren nedenfor. Er resultatet fornuftig? hastigheten som funksjon av avstanden og konstantene og. orklar! (5 poeng) 3 Hendelse ørst 1: svinger pionet oppstår atomet i i kollisjonen, et hendelse 2: pionet henfaller. Tidsperioden mellom de to 2 hendelser potensialminimum, er levetiden til pionet. men I sitt hvilesystem S er pionet i ro og levetiden er. I 1 laboratoriesystemet etterpå klarer atomet S beveger å pionet seg med hastighet og levetiden er lenger på grunn av 0 tidsdilatasjon: komme over toppen i. I laboratoriesystemet S beveger pionet seg en strekning mellom -1 potensialet og bevege seg hendelse 1 og 2 og bruker en tidsperiode for denne strekningen. Hastigheten er derfor: t/t langs overflaten. ordi 0 2 atomet kun er påvirket av 1 kraften som er konservativ, skal den 0 totale energien være -1 bevart. Det er klart fra figuren at energien i t/t 0 simuleringen ikke er bevart. or eksempel ser vi at den maksimale hastigheten ved x = 0 øker med tiden. enomenet vi observerer er derfor ikke en fysisk effekt, men et resultat av at Eulers metode ikke er egnet til å løse dette problemet. Vi ville fått bedre resultater ved for eksempel å bruke Euler-Cromer metoden. Hensikten med denne oppgaven er at du skal bruke din fysiske innsikt om energibevaring til å vurdere et resultat. x/x 0 v/v 0 Oppgave 5 (26 poeng) Oppgave 4 (2013) 26 poeng En sylinder som roterer om massesenteret sitt er satt ned på et skråplan med helningsvinkel. Sylinderen har masse, radius og treghetsmomentet om massesenteret er. Vi definerer aksen langs skråplanet som vist i figuren. Sylinderen roterer med klokken med en initial vinkelhastighet. ( aksen peker ut av papirplanet.) Den dynamiske friksjonskoeffisienten mellom sylinderen og overflaten til skråplanet er. Når den er satt ned på Page 5 of 11

6 skråplanet ruller og sklir sylinderen samtidlig i en blandet bevegelse. I denne oppgaven er vi interessert i den første perioden fram til det blir en ren rullebevegelse. Du kan se bort fra luftmotstanden. a) Tegn et frilegemediagram for sylinderen og uttrykk alle kreftene ved hjelp av,,, og. (3 poeng) Gravitasjonskraft Normalkraft riksjonskraft Med koordinatsystem som vist i figuren: Ingen bevegelse i y retning: Siden sylinderen roterer med klokken er friksjonskraften rettet i positiv x retning. Siden sylindere sklir må vi bruke dynamisk friksjon: b) inn posisjonen til sylinderen som funksjon av tiden fra det øyeblikket sylinderen settes ned til den begynner å rulle uten å skli. (5 poeng) Newtons andre lov i x retning: Akselerasjonen i x retning er konstant og vi integrerer: Initialbetingelse: Vi integrerer igjen for å finne posisjonen: Page 6 of 11

7 Initialbetingelse: (i) c) Diskuter bevegelsen for forskjellige verdier for vinkelen. Hvordan beveger sylinderen seg hvis (i), (ii), (iii)? (3 poeng) Sylinderen beveger seg i positiv x retning opp på skråplanet. Det kan hende hvis vinkelen er liten eller friksjonskoeffisienten er stor. (ii) Sylinderen sklir ned skråplanet i negativ x retning. Det hender hvis vinkelen er stor eller hvis friksjonskoeffisienten er liten. (iii) Sylinderen roterer uten at massesenteret beveger seg. Dette gjelder bare så lenge sylinderen sklir og det virker en friksjonskraft som kompenserer komponenten av gravitasjonskraften ned langs skråplanet. d) inn vinkelhastigheten til sylinderen som funksjon av tiden fra det øyeblikket sylinderen settes ned til den begynner å rulle uten å skli. Vær oppmerksom på rotasjonsretningen og retning av vinkelakselerasjonen. (6 poeng) Gravitasjon angriper i massesenteret og gir ingen kraftmoment. Normalkraften er parallell med posisjonsvektoren til angrepspunktet og gir ingen kraftmoment. Bare friksjonskraften gir et kraftmoment: Spinnsats: Vi integrerer for å finne vinkelhastigheten: Initialbetingelse: Page 7 of 11

8 Vinkelhastigheten blir mindre over tiden på grunn av friksjon. e) Vi betrakter en situasjon hvor Vis at tiden det tar for sylinderen å rulle uten å skli er. Vær igjen oppmerksom på at sylinderen roterer i negativ - retning. (6 poeng) Siden beveger sylinderen seg oppover på skråplanet med positiv hastighet. Sylinderen roterer med klokken (i negativ z retning). Vi kan derfor formulere rullebetingelse som: Vi setter inn resultatene fra b) og d) for å finne tiden når sylinderen begynne å rulle uten å skli: f) Ved hvilken vinkelhastighet begynner sylinderen å rulle uten å skli hvis? Diskuter bevegelsen i dette tilfellet. (3 poeng) I dette tilfelle er og Denne tiden setter vi inn i resultatet fra d) Sylinderen roterer uten at massesenteret beveger seg opp eller ned skråplanet. På grunn av friksjonen blir vinkelhastigheten mindre og på tiden er sylinderen fullstendig i ro. Etterpå vil sylinderen rulle ned skråplanet. Page 8 of 11

9 Oppgave 5 (2015) (6 poeng) Romskipet Enterprise er forfulgt av et fiendtlig Klingon Bird-of-Prey romskip. En observatør på jorden (i system S) måler at hastigheten til Enterprise er v E = 0.4 c i retning bort fra jorden og hastigheten til Klingon skipet er v K = 0.5 c i samme retning. Hva er hastigheten v K til Klingon skipet som Captain Kirk måler fra Enterprise (i system S )? Relativhastighet mellom system S og S : u = v E Det søkes hastighet v K til Klingon skipet i system S. Vi bruker Lotrentz transformasjon: v K = x x x u t = t t u x = t u c 2 1 u x = v K v E 0.1 c 1 1 = = c v c 2 t c 2 K v E Oppgave 6 (2004) Et balltre hviler på en friksjonsfri horisontal flate. Balltreet har en lengde L = m, en masse M = kg, og massesenteret er L = m fra håndtak-enden av balltreet (se figur). Treghetsmomentet til balltreet om massesenteret er kg m 2. Balltreet blir truffet av en baseball L som beveger seg på tvers av balltreets lengderetning. I sammenstøtet virker ballen på balltreet med en horisontal kraft (gjerne tidsavhengig) i et punkt som er en avstand x fra håndtak-enden av balltreet. or hvilken verdi av x vil håndtak-enden av balltreet bli liggende omtrent i ro idet balltreet begynner å bevege seg? L x Det forutsettes at bevegelsen skjer i et horisontalt plan og at også kraften virker horisontalt. Da vil de to vertikale krefter som virker på balltreet (tyngden og normalkraften fra underlaget) alltid være like store slik at vi ikke vil ha noen bevegelse i vertikal retning. I horisontal retning antas det at friksjonen er så liten at vi kan se bort fra den (for vårt problem). Den eneste kraften som virker på balltreet, er da kraften ballen trykker på balltreet med. Dette vil være en tidsavhengig kraft, og vi kjenner ikke tidsforløpet, men det vil ikke spille noen rolle for beregningene. Idet ballen virker på balltreet, vil balltreet bli påvirket av en netto kraft, og denne vil gi en netto akselerasjon av massesenteret (Newtons 2. lov for stive legemer). Videre vil kraften ha et kraftmoment omkring f.eks. massesenteret, og da vil balltreet ifølge spinnsatsen få en vinkelakselerasjon omkring massesenteret. Page 9 of 11

10 Dersom håndtak-enden av balltreet skal bli liggende omtrent i ro idet bevegelsen starter, må vi justere translatorisk akselerasjon (Newtons 2. lov) med vinkelakselerasjon (spinnsats) slik at man får ønsket effekt. Vi har i prinsippet to uavhengige bevegelser, translasjon og rotasjon, som vist på skissen til høyre. Ved den translatoriske bevegelsen vil håndtaket bevege seg nedover på skissen, mens ved rotasjonsbevegelsen vil håndtaket bevege seg oppover (rel. ). Når disse to bevegelsene matcher hverandre i starten av bevegelsen, vil håndtaket i starten bli liggende omtrent i ro. Translatorisk akselerasjon Vinkelakselerasjon (rotasjon om ) α a Den translatoriske bevegelsen er gitt ut fra Newtons 2. lov: a = ---- M Dette blir også akselerasjonen til håndtakenden dersom vi bare tar med translatorisk bevegelse. Rotasjonsbevegelsen er gitt ut fra spinnsatsen anvendt om massesenteret. Den gir: τ = ( x L ) = I α hvor α er vinkelakselerasjonen om. (τ er kraftmoment - øvrige størrelser er forklart i oppgaveteksten.) Men dersom balltreet hadde en vinkelakselerasjon omkring alene, ville håndtakenden ha en tangentiell akselerasjon gitt ved: a t = rα = L α siden avstanden fra til håndtakenden nettopp er lik L. Den tangentielle akselerasjonen er rettet rett oppover på skissen helt i starten av bevegelsen, det vil si motsatt retningen den translatoriske akselerasjonen har dersom vi bare hadde translasjon alene. or å få null akselerasjon innledningsvis i balltreets håndtakende når både translasjon og rotasjon finner sted, må vi da ha: a tot = a translatorisk + a pga rotasjon = a L α = 0 hvor akselerasjon nedover er regnet som positiv. ølgelig: a = L α Innsatt for uttrykk funnet tidligere: Page 10 of 11

11 ( x L ) ---- = L M I Vi ser at kraften kan forkortes bort (ikke så rart siden både translatorisk akselerasjon og vinkelakselerasjon er proporsjonale med kraften), og vi ender opp med følgende uttrykk for x: x = I L M L Innsatt for våre tall: x = m = m Dette er lykkeligvis innenfor balltreets lengde, ellers ville vi hatt problemer! Page 11 of 11