Løsningsforslag. Midtveiseksamen i Fys-Mek1110 våren 2008

Transkript

1 Side av Løsningsforslag idtveiseksaen i Fys-ek våren 8 Oppgave a) En roer sitter i en båt på vannet og ror ed konstant fart. Tegn et frilegeediagra for roeren, og navngi alle kreftene. Suen av kreftene er null i alle retninger. Kontaktkrefter: Noralkraft fra tofte på ann. Friksjonskraft fra tofte på ann virker bakover. Kraft fra åre på ann virker forover. ulig luftotstand på ann fra luften. Fjernkrefter: Tyngdekraft på ann. b) En liten støvpartikkel ed asse faller loddrett gjenno luften. Finn et uttrykk for hvordan terinalhastigheten avhenger av assen til partikkelen, tyngdens akselerasjon g, sat andre konstanter. Finn et tilsvarende uttrykk for en lastebil so faller loddrett ned gjenno luften Kreftene so virker på støvkornet er kontaktkrefter: Luftotstand proporsjonal ed hastigheten for så partikler: F = bv, hvor b er en proporsjonalitetskonstant. Fjernkrefter: Gravitasjon W = g. Når partikkelen når terinalhastigheten er den ikke lenger akselerert. Newtons andre lov i vertikal retning: Fy = F g = ay = So gir bvt g = g vt = b For terinalhastigheten v T. For en lastebil er luftotstanden proporsjonal ed hastigheten i annen: F = Dv Vi får sae arguent so ovenfor, en nå ed Dv g = v T T = g D c) En stav ed lengden L roterer i et plan ed konstant vinkelhastighet. Finn vinkelhastigheten til staven i tilfellet (i) hvor staven roterer o idtpunktet og ytterste punkt på staven har farten v, og (ii) hvor staven roterer o et endepunkt, og det andre endepunktet har farten v. Vinkelhastigheten ω er relatert til hastigheten v til et punkt i avstanden R fra rotasjonsaksen ved v= ωr. I tilfelle (i) er R= L/ so gir ω = v/( L/ ) = v/ L. I tilfelle (ii) er R = L so gir ω = v/ R= v/ L.

2 Side av d) En kloss ed asse ligger på et friksjonsfritt bord. Klossen er festet i en fjær ed fjærkonstant k og likevektslengde a. Den andre enden av fjæren er festet i bordet i punktet x =. Fjærkraften er horisontal. Tegn et energidiagra for systeet og beskriv klossens bevegelse. Finn likevektspunkter og klassifiser disse. Det er her viktig å innse at fjæren kan være i to ulike posisjoner. Fjæra kan (i) ligge fra x = til x = a, eller den kan (ii) ligge fra x = til x = a. I tilfelle (i) er den potensielle energien til klossen og fjæra: U ( ) ( x) = k x a Og i tilfelle (ii) er den potensielle energien: U ( ) ( x) = k x+ a Vi kan nå enten anta at fjæren er låst i en situasjon, slik at systeet alltid er beskrevet enten av tilfelle (i) eller av tilfelle (ii), eller vi kan anta at systeet kan gå fra tilfelle (i) til tilfelle (ii) idet klossen passerer x =. I dette tilfellet er den potensielle energien gitt so: ( ) kx a, x> ( ) U x = ( ) kx+ a, x Likevektspunktene finner vi ved du dx = Disse inntreffer ved x = a og x = a. Begge disse er stabile, da du > dx Slik at punktene svarer til iniu i den potensielle energien. For det saensatte systeet er også punktet x = er likevektspunkt, en dette punktet er ustabilt, da den potensielle energien har et lokalt aksiu i dette punktet. For så energier, når E likevektspunktet. For større energier, vil klossen oscillere okring x =, ed størst fart i punktene x =± a, og ed vendepunkter gitt av U ( x) og U ( x). < ka, blir klossen låst til en av sidene i systeet, og oscillerer o e) Vis at i en diensjon er enhver kraft so kun er avhengig av posisjonen konservativ. En kraft F er konservativ derso arbeidet utført av kraften er uavhengig av veien. La oss se på arbeidet utført av en kraft F( x) so kun er avhengig av posisjonen. Vi ser på arbeidet fra punktet x A til punktet x B : Hvor xb W = F( x) dx= U( x ) U( x ) xa A B

3 Side 3 av du F( x) = dx Vi ser at for en kraft so kun avhenger av posisjonen er alltid arbeidet kun avhengig av endepunktene, og arbeidet er gitt so det bestete integralet av kraften. Oppgave I denne oppgaven skal vi studere en kule so sklir på en friksjonsfri, konisk flate dvs. inni et kreerhus. Kula har assen, den holder konstant fart v og har konstant høyde h. Konens åpningsvinkel er θ so illustrert i figuren. Tyngden virker nedover, i negativ z -retning, og tyngdens akselerasjon er g. a) Tegn et frilegeediagra for kulen og gjør rede for kreftene so virker på den. Det er kun noralkraften og tyngdekraften so virker på kulen. Vi ser bort fra luftotstanden. Frilegeediagraet kan se slik ut. erk at z-koponenten av noralkraften balanserer tyngdekraften. b) Vis at noralkraften på kulen er N = g sinθ Newtons andre lov i z-retningen gir: Fz = Nz W = N sin( θ) g = az = Den kineatiske betingelsen so er gitt i oppgaven er at kulen har konstant høyde, derfor beveger den seg ikke i z-retningen, og derfor er akselerasjonen i z-retningen null. Vi får derfor at: g N = sin( θ )

4 c) Finn høyden h til kulen. Side 4 av La oss se på kulen idet den er i posisjonen x =, y = R, z = h. Da er Newtons lov i y-retningen: F = N = Ncos( θ ) = a y y Fordi kulen beveger seg i en sirkelbane ed radius R, vil kulen være akselerert innover, og akselerasjonen er gitt ved sentripetalakselerasjonen: v ay = R Vi setter inn for noralkraften og finner: g g v Ncos( θ) = cos( θ) sin( θ) = tan( θ) = R R Vi ser at = tan( θ ), slik at R = htan( θ ), og dered: h g = v = v tan( θ ) R htan( θ ) y So gir: v h = g Vi ser at dette uttrykket er uavhengig av θ! Oppgave 3 Vi ser på et syste av N partikler. Posisjonen til assesenteret er R. Posisjonen til partikkel j er r j i laboratoriesysteet og rc, j = rj R i assesentersysteet. N a) Vis at den totale bevegelsesengden i assesentersysteet, Pc = v i c, i, alltid er null. Vi har at: N N N d d P = v = r = r c i ci, i ci, i ci, i= i= dt dt i= Vi kjenner igjen det siste uttrykket so posisjonen til assesenteret i forhold til assesenteret, og det er alltid null. Dered har vi at: i= P c N d d = r i c, i = = dt dt i= Du vil kunne trenge følgende resultat i oppgaven nedenfor: For en elastisk kollisjon ello to partikler er absoluttverdien av bevegelsesengden i assesentersysteet til hver av partiklene den

5 sae før og etter kollisjonen. Side 5 av I denne oppgaven skal vi studere en elastisk kollisjon ello en α -partikkel ed asse og et proton ed asse. Før kollisjonen er protonet i ro i laboratoriesysteet, og α -partikkelen har hastigheten V i laboratoriesysteet. b) Finn hastigheten til assesenteret i laboratoriesysteet. assesenteret er definert so: R = r i i Dered er hastigheten til assesenteret, U, gitt so: U = ivi i Her er hastigheten til protonet v = og hastigheten til α -partikkelen V, slik at hastigheten til assesenteret blir: U = ( V + v) = V i c) Tegn figur og finn partiklenes hastigheter i assesentersysteet før støtet. Vis at relasjonen i oppgave a er tilfredsstilt. Hastigheten til assesentersysteet ålt i laboratoriesysteet er U = V Hastigheten til α -partikkelen i assesentersysteet er: Vc, = V U = V V = V Hastigheten til protonet i assesentersysteet er v c, : vc, = v U = U = V Vi ser at bevegelsesengdene i assesentersysteet er: For α -partikkelen er bevegelsesengden i assesentersysteet P c, :

6 P = c, V = c, V For protones er bevegelsesengden i assesentersysteet p c, : p = c, v = c, V Vi ser derfor at P = p Og dered er: P c, c, c, + pc, = Bevegelsesengden i assesentersysteet er derfor null før kollisjonen. Side 6 av d) Finn partiklenes hastigheter i assesentersysteet etter støtet og illustrer disse i figuren. Anta at retningen til α -partikkelens hastighet i assesentersysteet etter støtet er gitt ved enhetsvektoren e. Fordi støtet er elastisk er den kinetiske energien før og etter støtet bevart. Dette gjelder også i assesentersysteet, fordi vi vet at den kinetiske energien kan skilles i en del so har ed bevegelsen av assesenteret å gjøre og en del so har ed bevegelsen relativt til assesenteret. Siden det ikke er noen ytre krefter so påvirker systeet, vil ikke bevegelsesengden og dered heller ikke hastigheten og den kinetiske energien til assesenteret blir forandret i støtet. Da er også den kinetiske energien for bevegelsen relativt til assesenteret bevart. Vi kan bruke dette til å utlede resultatet so er gitt ovenfor i teksten, en vi kan også bruke resultatet direkte. Fordi absoluttverdien av bevegelsesengden i assesentersysteet til hver av partiklene er bevart, vet vi at bevegelsesengden til α -partikkelen er: Vc, = Vc,e Hvor enhetsvektoren e angir retningen til hastigheten til α -partikkelen i assesentersysteet etter støtet. Det gir: V = c, V e Siden den totale bevegelsesengden i assesenteret er null, finner vi at: p = c, v = c, P = c, V = c, V e So gir: vc, = Ve Dette er illustrert i figuren. e) Tegn figur og vis at partiklenes hastigheter etter støtet i laboratoriesysteet er:

7 V V For α -partikkelen: + e + V V V For protonet: e + V Side 7 av Vi finner hastighetene i laboratoriesysteet ved å transforere tilbake: V = U + V c Det gir for α -partikkelen: V = U + V c, = V + Ve V V = + e V Og for protonet: v = U + v c, = V Ve V V = e V So var det vi skulle vise. f) Vis at disse hastighetene steer ed bevaringssatsene i laboratoriesysteet. For en elastisk kollisjon hvor det ikke virker noen ytre krefter på systeet i kollisjonen, er bevegelsesengden til systeet i laboratoriesysteet og den kinetiske energien til systeet bevart. La oss vise at denne løsningen tilfredsstiller dette: Bevaring av bevegelsesengde:

8 Side 8 av Før støtet er bevegelsesengden: P = V Etter støtet er bevegelsesengden: pi = P+ p V V V V = + e + e V V V V V V = ( + ) + e V = V Bevegelsesengden er derfor bevart i laboratoriesysteet. Bevaring av kinetisk energi: Før støtet er den kinetiske energien: K = V Etter støtet er den kinetiske energien: K = V + v V V V V = + e + e V V V V V = + e+ + e+ V V V = ( + + ) = V g) Finn den aksiale avbøyingen for α -partikkelen, det vil si den største vinkelen partikkelen kan bøyes vekk fra sin opprinnelige bane. Vi ser av uttrykket for hastigheten til α -partikkelen etter kollisjonen: V V V = + e V at den aksiale avbøyingen oppnår vi når e står noralt på V. La oss anta at V = Viˆ, dvs at hastigheten peker langs x-aksen. Da får vi aksial avbøying når e = ˆj. Da er retningen gitt ved:

9 Vinkelen θ blir da gitt ved: Slik at: V ˆ V ˆ = i + j θ = tan( θ ) = arctan( ) Side 9 av Oppgave 4 I denne oppgaven skal vi studere et ato på en atoær overflate. Vi beskriver vekselvirkningen ello atoet og overflaten ved den potensiell energien til atoet so funksjon av posisjonen x langs overflaten: U( x) = U( cos( π x/ x) ). Atoet har assen og beveger seg kun langs x - aksen. a) Finn et eksplisitt uttrykk for akselerasjonen til atoet. Kraften på atoet er gitt ved: du d π F = = ( U( cos( πx/ x) ) = U sin( πx/ x) dx dx x Newtons andre lov for atoet gir: π F = a = U sin( π x / x ) x U π a = sin( π x / x ) x b) Vis at når x << x kan bevegelseslikningen tilnæret skrives so: Beskriv bevegelsen til atoet i denne grensen. a = ω x og finn ω. For så u kan vi rekkeutvikle sin( u) og finner da: sin( u) = u+ O( u ). Det gir: Hvor vi ser at: U π U π a = sin( π x/ x ) x= ω x x x π U ω = x

10 Side av Denne likningen beskriver en haronisk oscillator. Atoet vi vibrere okring x = ed en periodetid T = π / ω. Aplituden i oscillasjonen er avhengig av initialbetingelsene. Tilnæringen gjelder kun for så utslag. (erk at her er ω kun er konstant so ikke har noe ed en vinkelhastighet for en rotasjon å gjøre.) c) Atoet starter i posisjonen x = ed hastigheten v. Hvor stor å v være for at atoet skal nå posisjonen x = 4x? Skisser bevegelsen x() t til atoet i dette tilfellet. Atoet beveger seg i et potensial og er ikke påvirket av noen ikke-konservative krefter. Den totale ekaniske energien til atoet er derfor bevart. For at atoet skal nå en avstand x = 4x å den ha tilstrekkelig total energi til å koe ut av potensialbrønnen okring x =. Den aksiale potensielle energien er U = U. Den initielle kinetiske energien å derfor være større enn dette: E = K + U = K+ U Hvor K + U = v + Og K+ U = v + U Den inste kinetiske energien so skal til finner vi ved å sette v = slik at atoet akkurat koer forbi toppen i energilandskapet. v = U 4U v = Atoet vil bevege seg ed en tilnæret konstant hastighet ed så oscillasjoner okring denne hastigheten, slik vi ser på slutten av figur. d) (Denne oppgaven teller dobbelt). For å løse bevegelseslikningene for atoet i det generelle tilfellet i oppgave a har du utviklet et progra i Python so finner posisjon og hastighet til atoet ved hjelp av Eulers etode. Du gjør en siulering ed realistiske paraetere og initialbetingelsene x = og v= v ved tiden t = og får resultatet i figur nedenfor. Forklar resultatet. Fordi atoet kun er påvirket av kraften F so er konservativ, skal den totale energien være bevart. Det er klart fra figur at energien i systeet ikke er bevart da både den potensielle energien og den kinetiske energien øker ed tiden. For eksepel ser vi at hastigheten er

11 Side av aksial idet x =, dvs. når den potensielle energien er null. Vi ser at i figuren øker hastigheten idet x = ed tiden. Dette tyder på at energien i siuleringen ikke er bevart. Fenoenet vi observerer er derfor ikke en fysisk effekt, en et resultat av at Eulers etode ikke er egnet til å løse dette probleet. Vi ville fått bedre resultater ved for eksepel å bruke en Runge-Kutta etode. Hensikten ed denne oppgaven er at du skal bruke din fysiske innsikt o energibevaring til å vurdere et resultat. Oppførslene so systeet går gjenno er dog hver for seg fysisk ulige, og siuleringen viser avviket fra den enkle haroniske oscillatoren for så utslag. For større hastigheter vil atoet unnslippe, og utføre en oscillerende bevegelse ed svingninger okring en konstant hastighet so illustrert i figuren. Figur : Resultat av siulering av bevegelseslikningen i oppgave a. *** Dette er siste ark i oppgavesettet. Lykke til ed oppgavene!