FORELESNING 4/5 09, REPETISJON Kapittel 2: Bevegelseslære (kinematikk) langs en rett linje

Transkript

1 FORELESNING 4/5 09, REPETISJON Kapittel 2: Bevegelseslære (kinematikk) langs en rett linje Bevegelsen er fullstendig beskrevet av x(t) Gjennomsnittshastighet: 1

2 Hastighet: stigningstall til tangenten til kurven 2

3 Bevegelse med konstant akselerasjon Andre relasjoner: 3

4 Bevegelse med ikke konstant akselerasjon 4

5 FORELESNING 13/1 09 Kap. 3: Bevegelse i 2 eller 3 dimensjoner SER PÅ KOMPONENTENE AV VEKTORFUNKSJONEN HVER FOR SEG!! 5

6 Akselerasjon: NB!! Konstant fart men endring av retningen på hastigheten gir også en akselerasjon forskjellig fra null!! 6

7 Eksempel: skråkast a) Hvor høyt kommer ballen? 7

8 Eks: bil i sirkelbevegelse med VARIERENDE fart ENHETSVEKTORER 8

9 Kap. 4: Newtons lover Kraft vekselvirkning mellom et legeme og et annet eller mellom et legeme og omgivelsene. Enhet for kraft er Newton (N) Eks: kloss henger i en snor 9

10 Dekomponering av krefter: 10

11 Newtons 2. lov: Summen av krefter på et legeme er lik massen til legemet ganger akselerasjonen Dersom Enheter: 11

12 FORELESNING 20/1 09 Masse og tyngde Masse: grunnleggende egenskap til materie Tyngde: kraft som virker på en masse i et tyngdefelt 12

13 Newtons 3. lov Dersom et legeme A virker på et legeme B med en kraft, virker legeme B på legeme A med en like stor kraft, bare motsatt rettet 13

14 Eks: person på en badevekt Newtons 2. lov for personen: Newtons 3. lov: 14

15 15

16 Eks: kloss på skråplan 16

17 17

18 Friksjon friksjonskoeffisient Legemet begynner å bevege seg når Da er friksjonskraften KINETISK friksjon STATISK friksjon 18

19 FORELESNING 27/1 09 Eks: luftmotstand Legeme slippes fra ro. Hva blir v(t)? 19

20 20

21 Eks: karusellvogn kjører i loop a) Hva er normalkraften i bunnen av bevegelsen? 21

22 b) Hva er normalkraften på toppen? c) Hvor stor må hastigheten på toppen være for at vogna ikke skal falle ned? 22

23 FORELESNING 2/2 09 Kap. 6: Arbeid og kinetisk energi Eks: en kraft F virker på en kloss mens den forflytter seg en strekning s Arbeidet W som den konstante kraften F har gjort på klossen er da: 23

24 Enhet for arbeid: Nytt eks: 24

25 Kinetisk energi og arbeid energi teoremet Hvordan relateres arbeid på et legeme til en eventuell hastighetsforandring? 25

26 Arbeidet som kraften utfører er lik endring i kinetisk energi ARBEID ENERGI TEOREMET 26

27 FORELESNING 3/2 09 Arbeid og energi med varierende krefter og/eller ikke lineær bevegelse Antar at kraften F er konstant innenfor små intervall 27

28 Eks: fjær Strekker ut fjæra fra x = x til x = x. Hvor mye arbeid går med? 28

29 Arbeid av varierende kraft langs en ikke rett kurve antar konstant kraft innenfor et lite intervall kraftens komponent langs bevegelsen 29

30 gjelder også når vi har varierende krefter og krumlinjet bevegelse Effekt 30

31 FORELESNING 9/2 09 Kap. 7: Potensiell energi og bevaring av energi 31

32 Arbeid gjort av tyngdekraften: Størrelsen på arbeidet er uavhengig av hvordan personen kommer seg fra 1 til 2. Det er kun avhengig av posisjonene til punktene 1 og 2!!!!!!! Definerer derfor potensiell energi i tyngdefeltet til å være: evne eller potensiale til å utføre et arbeid 32

33 Total mekanisk energi: 33

34 Dersom andre krefter enn tyngden utfører arbeid: arbeid fra punkt 1 til punkt 2 utført av de andre kreftene 34

35 Potensiell energi i kloss/fjær system Arbeid som må til for å strekke ut en fjær fra en posisjon x til en posisjon x : Arbeid som fjæra gjør på klossen: 35

36 Potensiell energi i fjæra: 36

37 FORELESNING 10/2 09 Situasjoner der både elastiske krefter og tyngdekrefter virker Total mekanisk energi er bevart når ingen andre krefter gjør arbeid 37

38 Relasjon mellom kraft og potensiell energi Potensiell energi: kraft potensiell energi potensiell energi kraft 38

39 FORELESNING 16/2 09 Kap. 8: Bevegelsesmengde, kraftstøt og kollisjoner Bevegelsesmengde: 39

40 På vektorform: KRAFTSTØT = ENDRING I BEVEGELSESMENGDE 40

41 Bevaring av bevegelsesmengde To legemer/partikler : anta at kun interne krefter virker 41

42 Total bevegelsesmengde: TOTAL BEVEGELSESMENGDE ER BEVART DERSOM SUM AV YTRE KREFTER ER LIK NULL!!! 42

43 Elastiske kollisjoner: kinetisk energi er også bevart Uelastisk kollisjon: kinetisk energi er IKKE bevart Fullstendig uelastisk kollisjon: legemene henger sammen etter kollisjonen Eksempel: ballistisk pendel. Kule skytes inn i en sandkasse Hva er den felles hastigheten v etter støtet? Hvor stor vinkel svinger kassa? 43

44 Massesenter 44

45 45

46 FORELESNING 23/2 09 Kap. 9: Rotasjon av legemer Eks: rotorbladene til et helikopter rotasjonsakse Punktene innerst ved aksen har lavere hastighet enn de ytterste. Hvordan beskriver vi rotasjonsbevegelsen på enklest mulig måte? 46

47 (Absolutt) vinkelhastighet: Positiv vinkelhastighet: MOT klokka Negativ vinkelhastighet: MED klokka Benevning: 47

48 Relasjoner mellom angulære og lineære størrelser 48

49 avstand fra rotasjonsaksen Tangentiell akselerasjon: Sentripetalakselerasjon: 49

50 FORELESNING 24/2 09 Potensiell energi for legeme i tyngdefelt 50

51 Kinetisk energi for rotasjonsbevegelse alle punkter på legemet har samme vinkelhastighet ω 51

52 TREGHETSMOMENT!! 52

53 Parallellakse teoremet Eks: sylinder hva er treghetsmomentet I om denne aksen? Generelt gjelder: avstand fra massesenteraksen til den reelle rotasjonsaksen 53

54 Direkte beregning av treghetsmoment masse per lengdeenhet Uniform stav: 54

55 Kraftmoment er egentlig definert til å være en vektorstørrelse: Eks: r = 1,0 m, F = 10 N, φ 55

56 Kraftmoment og vinkelakselerasjon for et stivt legeme Ser på rotasjon om en z akse Newtons 2. lov på rotasjonsform 56

57 Eks: kloss/trinse Hva blir akselerasjonen til klossen? Trinse: massiv sylinder 57

58 Hva blir akselerasjonen til kloss 2? 58

59 FORELESNING 3/3 09 Rotasjon om bevegelig akse, dvs. en kombinert translasjons og rotasjonsbevegelse Total kinetisk energi: 59

60 Rulling uten glidning Eks: sylinder ruller nedover skråplan Kontaktpunktet mellom sylinderen og underlaget er i ro når sylinderen ruller uten å gli!!!! 60

61 Forløpig oppsummering om dynamikk for kombinert translasjons og rotasjonsbevegelse Bevegelse av massesenter: Rotasjon rundt massesenter: Kinetisk energi: Potensiell energi: 61

62 FORELESNING 9/3 09 Bevegelsesmengdemoment (spinn) bevegelsesmengde 62

63 Det viser seg: Spinn av et kontinuerlig legeme Spinn rundt aksen: Benevning: rotasjonsakse 63

64 Bevaring av spinn: Dersom 64

65 FORELESNING 10/3 09 Kap. 13: Periodisk bevegelse Eks: kloss/fjærsystem 65

66 Løsning på denne 2. ordens diff. likning: gitt av initialbetingelsene amplitude 66

67 67

68 Energi i harmonisk (svinge ) bevegelse Kinetisk energi: Potensiell energi: Mekanisk energi er bevart i et kloss/fjærsystem (uten friksjon)!! 68

69 FORELESNING 16/3 09 Matematisk pendel 69

70 HARMONISK BEVEGELSE 70

71 Fysisk pendel rotasjonsakse avstand fra rotasjonsaksen til massesenteret 71

72 HARMONISK SVINGNING 72

73 Dempede svingninger Eks: kloss/fjærsystem i en viskøs væske 73

74 Denne likningen har tre mulige løsninger, avhengig av størrelsen på konstantene b, k og m. 1) Liten (underkritisk) dempning: 74

75 FORELESNING 17/3 09 Kap. 14: Fluidmekanikk I dag: fluidstatikk (væsker/gasser i ro) Neste gang: fluiddynamikk (væsker/gasser i bevegelse) Tetthet Benevning: 75

76 Eks: person med bena nede i et svømmebasseng Fiktiv overflate: Enhet: 76

77 Trykk som funksjon av dybde i en væske Kar med en væske i: areal av overflaten til karet Væsken er i ro: 77

78 Vanlig konvensjon: ved overflaten dybde atmosfærisk trykk 78

79 FORELESNING 23/3 09 I dag: fluiddynamikk (væsker i bevegelse) Ideell væske: ikke komprimerbar (forandrer ikke volum, tettheten er den samme overalt og til alle tidspunkt) uten viskositet (dvs. ingen intern friksjon) Strømlinje: veien som en væskepartikkel følger under strømningen 79

80 KONTINUITETSLIKNINGEN 80

81 Bernoullis likning langs en strømlinje. NB! Gjelder kun for ideelle væsker!! 81

82 FORELESNING 26/3 09 Kap. 17: Temperatur og varme Temperatur T: har med kinetisk energi til molekylene i et materiale å gjøre mange målbare egenskaper av materialer/gasser er avhengig av temperatur temperatur måles med termometer Varme Q: strøm av energi forårsaket av temperaturforskjell 82

83 Termisk ekspansjon (utvidelse) Stav: lineær, termisk utvidelse koeffisient for termisk utvidelse, avhengig av materialtypen 83

84 FORELESNING 30/3 09 Varme Q: energioverføring fra ett system til et annet grunnet temperaturforskjell Varmekapasitet Anta at det trengs varmen Q for å varme opp et materiale med masse m en temperatur ΔT. 84

85 Da gjelder: (spesifikk) varmekapasitet, avhengig av typen materiale Enhet: J/(kg K) 85

86 Faseoverganger Fast stoff væske gass Smeltevarme: varme som kreves for at et stoff skal gå over fra fast fase til væske Fordampningsvarme: varme som kreves for at et stoff skal gå over fra væskeform til gass Is vann vanndamp 86

87 Mekanismer for overføring av varme 1) Varmeledning Eks: metallstav mellom systemer med forskjellig temperatur Varmestrøm H: 87

88 Konveksjon: varmeoverføring ved bevegelse av fluid Eks: vifteovn, blodgjennomstrømning 3) Stråling: varmeoverføring ved elektromagnetiske bølger overflate av legeme som stråler emittivitet (0 < e < 1) Stefan Boltzmanns konstant STEFAN BOLTZMANNS LOV 88

89 Coulombs lov Coulomb konstanten 89

90 Elektrisk felt Hva skaper elektriske krefter mellom ladninger? q 1 skaper et ELEKTRISK FELT i rommet rundt seg det elektriske feltet virker på q 2 med kraften elektrisk felt i punktet hvor ladning q 2 befinner seg 90

91 Elektrisk felt fra punktladning det elektriske feltet fra en positiv punktladning peker radielt utover fra ladningen enhetsvektor (lengde = 1) som peker i radiell retning utover fra ladningen q 91

92 Homogent elektrisk felt feltet er like stort og pekeri samme retning i et område Eks: bevegelse av et elektron i homogent felt 92

93 FORELESNING 14/4 09 Superposisjon av elektriske felt Hva blir det totale elektriske feltet i dette punktet? finnes på standard måte ved dekomponering av de elektriske feltene 93

94 Elektriske feltlinjer måte å visualisere elektriske felter på peker vekk fra positive ladninger er alltid tangentielle til det elektriske feltet 94

95 Kap. 23: Elektrisk potensial Elektrisk potensiell energi Eks: homogent, elektrisk felt Potensiell energi: 95

96 Vanlig konvensjon: 96

97 FORELESNING 20/4 09 Elektrisk potensial Elektrisk potensial: potensiell energi per ladning Enhet: 97

98 Punktladning: 98

99 Flere punktladninger: Gjelder generelt for et vilkårlig antall N ladninger. Uavhengig av HVA som blir puttet inn i feltet! Potensial fra kontinuerlig ladningsfordeling 99

100 Totalt potensial er et integral av SKALAR størrelse ikke vektor!! Generelt derfor enklere å finne totalt elektrisk potensial enn totalt elektrisk felt!! Eks: homogent, elektrisk felt 100

101 "felt ganger avstand" Bevegelse MOT feltets retning er en bevegelse mot stigende potensial!! 101

102 Eks: koaksialkabel. Hva er spenningen mellom sentrum og en ytre sylinderflate? Ladningstetthet, dvs. ladning per lengdeenhet av den ladde metalltråden i midten av kabelen 102

103 radius av kabeltråd radius av sylinderen 103

104 Elektrisk felt utregnet fra elektrisk potensial Anta at vi kjenner V(r) 104

105 FORELESNING 21/4 09 Kap. 25: Strøm, resistans (motstand) og elektromotorisk spenning Elektrisk leder (materiale som kan lede elektrisk strøm): drifthastighet areal av tverrsnitt ΔQ: mengde ladning som passerer et tverrsnitt av lederen i løpet av tiden Δt Strøm: 105

106 Strøm skapes av elektrisk felt i en leder Relasjon gyldig for en del materialer: RESISTIVITET (materialavhengig) Konkret del av en leder: 106

107 resistans eller motstand Enhet: Batterier kraft fra kjemiske reaksjoner inne i batteriet som flytter ladningene fra bunnen til toppen av batteriet elektromotorisk spenning, ems 107

108 Energi og effekt i elektriske krefter Hvilket arbeid må de kjemiske reaksjonene i batteriet gjøre for å flytte en ladning dq fra b til a? Effekt: 108

109 FORELESNING 27/4 09 Kap. 27: Magnetiske felt og magnetiske krefter Magnetisme Permanente magneter virker på hverandre med krefter Magneter har alltid to poler, en sørpol og en nordpol Like poler frastøter hverandre, mens ulike poler tiltrekker hverandre 109

110 Magnetisk felt På samme måte som elektrisk felt er magnetisk felt et VEKTORFELT virker med en kraft på en ladning som beveger seg i feltet. Det viser seg: retning innover i tavleplanet 110

111 Kraft på ladning når både elektriske og magnetiske felt er til stede: homogent Hvilken retning og størrelse må et elektrisk felt i samme område ha for at q skal fortsette rett fremover med konstant hastighet? 111

112 FORELESNING 28/4 09 Bevegelse av ladde partikler i et magnetfelt kraften gjør ikke noe arbeid på q! kinetisk energi forandres ikke, dermed forandres heller ikke absoluttverdien av hastigheten SIRKELBEVEGELSE!!! 112

113 RADIUS I SIRKELBEVEGELSEN Eks: masse spektrometer (instrument som måler masse) 113

114 Magnetisk kraft på strømleder I løpet av tiden Δt passerer den totale ladningen Δq gjennom en lengde Δx av ledningen 114

115 vektor av lengde l som peker i samme retning som strømmen kraft som virker på et utsnitt av lengde l av en ledning som leder strømmen I og som er plassert i et magnetfelt B. 115