Rotasjon: Translasjon: F = m dv/dt = m a. τ = I dω/dt = I α. τ = 0 => L = konstant (N1-rot) stivt legeme om sym.akse: ω = konst

Transkript

1 Translasjon: Rotasjon: Bevegelsesmengde (linear momentum): p = m v Spinn (angular momentum): L = r m v L = I ω Stivt legeme om sym.akse N2-trans: F = dp/dt Stivt legeme (konst. m): F = m dv/dt = m a N2-rot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stivt legeme om sym.akse (konst. I ): τ = I dω/dt = I α F = 0 => p = konstant (N1) stivt legeme: v = konst τ = 0 => L = konstant (N1-rot) stivt legeme om sym.akse: ω = konst

2 Kollisjoner Kap. 8: Kollisjoner med translasjonsbevegelse: Ingen ytre krefter F ytre = 0 => p = bevart i kollisjonen Nå: Kollisjoner med translasjon og rotasjon Ingen ytre krefter F ytre = 0 => p = bevart i kollisjonen Ingen ytre kraftmoment => L = bevart i kollisjonen τ ytre = 0 VIKTIG: τ og L beregnet om samme akse

3 Øving 5. Oppgave 4: Kule skytes inn i stav som er hengslet ved A. Er ytre krefter lik null? Er ytre kraftmoment lik null? NEI JA Kraft fra aksling A på staven under kollisjonen Akslingskraft har null moment om A

4 Fra kap.8. Kollisjoner: Oppgave: Ei kule skytes inn i en trekloss som farer opp i lufta (fullst. uelastisk støt). Kula treffer ved A, B eller C. Hvilket treff løfter treklossen til størst høyde h? Eks. 4 h g A B C Kule med høy fart v

5 Fra kap.8. Kollisjoner: Oppgave: Ei kule skytes inn i en trekloss som farer opp i lufta (fullst. uelastisk støt). Kula treffer ved A, B eller C. Hvilket treff løfter treklossen til størst høyde h? Svar: Like høyt for alle. Bevegelsesmengde bevart: Alltid samme fart for klossen: h g mv = (M+m)V cm I tillegg kommer rotasjon ved B og C (mest ved C) M Demonstrert og forklart på YouTube: A B C Kule med høy fart v m

6 Totalt spinn ved rulling og skliing. A r ω (lik eller ulik v/r ) R v (Totalt) spinn om A: L A = r m v + I 0 ω = banespinn + egenspinn Bevis i notatet «Totalspinn». Presentert i Lien og Løvhøiden kap 6.6 og eks Ikke eksplisitt behandlet i Young & Freedman. Brukes i Øving 7, oppgave 1. Nå i et forelesningseksempel.

7 F f Skli: ω = 0 R A Eks. 6. Bowlingkule (L&L Eks. 6.15) v 0 r Skli+rot: ω < v/r Om A: L A = r m v + I 0 ω Ingen krefter har moment => L A = konst. = mrv 0 l Rulle: ω = v rull /R v rull c) Hvor langt, l, før ruller? a) Hva er v (=v rull ) når ruller? b) Hva er aksel, a, når sklir? L start = L slutt => v rull = v 0 5/7 (*) -- uten å kjenne F f!

8 F f F f Skli: ω = 0 R A v 0 Konst.a-likn: Eks. 6. Bowlingkule r Skli+rot: ω < v/r F f sklir F f = μ k mg (uavhengig v) v 2 -v 02 = 2al v = v 0 +at = v 0 μ k gt ω= ω 0 +α t F f Rulle: ω = v rull /R v rull c) Hvor langt, l, før ruller? a) Hva er v (=v rull ) når ruller? b) Hva er aksel, a, når sklir? rulling, konst v F f = 0 t v rull = konst. ω rull = v rull /R = konst.

9 F f Skli: ω = 0 B R A Eks. 6. Bowlingkule (L&L Eks. 6.15) v 0 r Skli+rot: ω < v/r Om A: L A = r m v + I 0 ω Ingen krefter har moment => L A = konst. = mrv 0 l Rulle: ω = v rull /R v rull L start = L slutt => v rull = v 0 5/7 (*) -- uten å kjenne F f! Om B: L B = I 0 ω τ B = F f R d) α under skliing e) Hvor lang tid t før rulling? => L B ikke konst. men I 0 dω/dt = F f R, må kjenne F f

10 Arbeid ved rotasjon om fast akse (Y&F 10.4, L&L 4.4.1) dw = τ dθ W = ΔE k = Δ ½ I ω 2 Arbeid ved translasjon dw = F ds W = ΔE k = Δ ½ m v 2 Effekt: P = τ ω P = F v

11 Effekt = moment vinkelhastighet P = τ ω τ P f = 4000 RPM P = 70 kw τ = 160 Nm Stemmer med P = τ ω 0 Nm RPM= 60ω/2π Saab i 122hk. Effekt og dreiemoment, diagram. Den sorte kurven angir dreiemomentet i newton-meter (Nm), den oransje angir effekten i kw eller hestekrefter (bhp).

12 Eks. 7. Slurende snelle, med snor på underside Øv.6, opg.3: snor på overside R F N + mg sinθ + mg cosθ θ

13 Konstant-akselerasjonslikninger Translasjon: (konstant akselerasjon a) Rotasjon om fast akse: (konstant vinkelakselerasjon α) v = v 0 + a t ω = ω 0 + α t s = s 0 + v 0 t + ½ a t 2 φ = φ 0 + ω 0 t + ½ α t 2 v 2 v 02 = 2as s s 0 = <v>t = ½(v+v 0 ) t ω 2 ω 02 = 2αφ φ φ 0 = <ω>t = ½(ω+ω 0 ) t

14 Kap Rotasjon. Oppsummering. Vinkelhastighet ω = dφ/dt, vinkelakselerasjon α = dω /dt Sentripetalakselerasjon a c = - r ω 2 = - ωv = - v 2 / r Baneakselerasjon a t = r α Rotasjonsenergi E k = ½ I ω 2 Treghetsmoment I = Σ r i2 m i r 2 dm (om en gitt akse) Dreiemoment: τ = r F Spinn (dreieimpuls) = L = r m v (om en gitt akse) Stivt legeme om sym. akse: L = I ω Spinnsatsen: τ = dl /dt (N2-rot) Stivt legeme om sym.akse: τ = I dω/dt Friksjon er vesentlig for rulling: rein rulling: statisk friksjon F f μ s F N. Friksjonsarbeidet neglisjerbart slure/gli: kinetisk friksjon F f = μ k F N. Friksjonsarbeidet viktig Eksempler: rulling, gyroskop (sykkelhjul), barnekarusell, m.m.

15 Treghetsmoment (om en gitt akse): I = Σ r i2 m i r 2 dm Alle I 0 om massesentrum (cm): Ring om sentrum: I 0 = M R 2 Ring om diameter: I 0 = ½ M R 2 Sylinder eller skive om sentrum: I 0 = ½ M R 2 Kule om diameter: I 0 = (2/5) M R 2 Kuleskall om diameter: I 0 = (2/3) M R 2 Legemer som kan rulle: I 0 = c MR 2 (c=1, ½, 2/5 etc.) Lang, tynn stav om midtpunkt: I 0 = (1/12) M L 2 Rektangulær plate om midtpunkt: I 0 = (1/12) M (a 2 + b 2 ) Om annen parallell akse i avstand d ( Steiners sats): I = I 0 + M d 2 Se også Table 9.2 i Young & Freedman.

16 Kap Analogier translasjons- og rotasjonsbevegelser

17 Fra eksamen des 2014:

18 Fra eksamen des 2014: Samme problem i øving 5, oppgave 4: Svar avgitt: A 5 B 96 C 4 D 75 E 17 blank 3 Tot. 200 Snitt 38%, dvs. F

19 Fra eksamen des 2014:

20 Fra eksamen des 2014: τ = r x mg r Svar avgitt: A 9 B 26 C 108 D 28 Snitt 56%, dvs. D mg E 8 blank 21 Tot. 200

21 Fra eksamen des 2014:

22 Fra eksamen des 2014: Ω τ L dl Svar avgitt: A 43 B 15 C 52 D 26 E 12 blank 52 Tot. 200 Snitt 27%, dvs. F

23 Fra en eksamensoppgave annet fysikkemne: a) Hvordan vil vinkelen θ endre seg hvis motorsyklisten i svevet gir mer gass (øker turtallet til motoren og bakhjul)? Begrunn svaret. Se bort fra luftmotstanden. b) Hvordan vil vinkelen θ endre seg hvis motorsyklisten i svevet i stedet trykker inn handbremsa på framhjulet? Begrunn svaret. Se bort fra luftmotstanden.

24 Fra en eksamensoppgave annet fysikkemne: Artist + sykkel (unt. hjul) har i utgangspunkt spinn L artist = 0 Hjulene har (positivt) spinn L hjul ned i papirplanet. L tot = L hjul + L artist er bevart. a) Dersom L hjul øker må L artist peke opp av planet (steiler) b) Dersom L hjul avtar må L artist peke ned i planet (stuper) a) Hvordan vil vinkelen θ endre seg hvis motorsyklisten i svevet gir mer gass (øker turtallet til motoren og bakhjul)? Begrunn svaret. Se bort fra luftmotstanden. b) Hvordan vil vinkelen θ endre seg hvis motorsyklisten i svevet i stedet trykker inn handbremsa på framhjulet? Begrunn svaret. Se bort fra luftmotstanden.

25 Fra eksamen des 2014:

26 Fra eksamen des 2014: Tipper ved θ = 45 o (når kubens tyngdepunkt utenfor høyre nedre hjørne) Glir idet mg sin θ = F f = μ s mg cos θ, dvs. tan θ = μ s = 0,65 (θ = 33 o ) Svar avgitt: A 16 B 115 C 7 D 21 E 12 blank 29 Tot. 200 Snitt 60%, dvs. D

27 Rotasjon om akse ikke-parallell med symmetriakse (Ikke pensum) L 2 = I 2 ω 2 Symmetriakse I 1 ω 2 ω L = L 1 + L 2 Rotasjonsakse ω 1 ω dekomponeres langs symmetriakser Symmetriakse 2 I 2 L 1 = I 1 ω 1 Anta: I 2 > I 1 Da er ikke L parallell med ω L endrer altså retning under rotasjonen

28 Eks. 8. Spinn for akselererende/bremsende bil (H&S kap og 5.4.4) Detaljer på «Forelesningsplan» på web, eksempel: Bil N b l b N f l f = h m a Spinn om fast bakkepunkt A A N b r B mv N f y z x F f x Alternativt: Spinn om bilens c.m. B mg

29 Vist til meg av student i forrige time: Rotasjon om ikke-fast akse i vektløs tilstand: Dancing T-handle in zero-g: Forklaring:

30 Legeme med tre ulike treghetsmoment om tre akser normalt på hverandre og I 1 < I 2 < I 3 L 2 = I 2 ω 2 ω 2 L 1 = I 1 ω 1 L 3 = I 3 ω 3 Intermediate axis theorem (tennis racket theorem): Rotasjon om akse 1 og 3 er stabil, rotasjon om akse 2 er ustabil. Teori: