Kap Rotasjon av stive legemer

Transkript

1 Kap Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn (deieimpuls): L Spinnsatsen (Newton 2 fo otasjon): τ = dl/dt Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Vinkle måles i adiane: θ= s/ ds. s = θ Vinkelhastighet: = dθ/dt Viktige støelse (otasjon) Vinkelpos. θ = s/ Vinkelfat = dθ/dt = / Vektostøelse: langs akseetning Peiode T = tid/omd = 1/f ekens f = 1/T Vinkelfekens = inkelfat = = 2πf Vinkelaksel. α = d/dt = d 2 θ /d 2 t Banefat = = ds/dt = Vektostøelse: = x Baneaksel. a t = α Sent.aksel. a c = 2 / = 2 Vektostøelse: ac = = ( ) Total aksel = a= a + a θ c t Vektoe: = ( ) ac = = = x a c = x 1

2 Lik fo hele legemet: Vinkelhastighet = dθ/dt Øke med adien : Banefat = ds/dt = Tanslasjon: E k = ½ m 2 Massens plasseing ingen betydning fo E k Vinkelaksel. α= d/dt Samme, samme E k Rotasjon: E k = ½ I 2 de I = 2 dm E k øke med (massens astand) 2 fa aksen Tang.aksel. a t = α Samme, men ulik E k Sent.aksel. a c = 2 E k = ½ I 2 Rotasjonshjul som enegilage i I = Σ i2 m i m i Stålskie 10 cm tykk, 1,0 m diamete: He må i integee: dm Poblem: Tung! (600 kg) Defomees: I peifeien e Banefat ==1000 m/s Sentipetalaksel 2 = xg) I = 2 dm Enegi ed RPM (omd. pe min): E k = ½ I 2 = 170 MJ obenningsenegi i bensintank på 40 lite, ed utnyttelse 33%: ca 530 MJ 2

3 Kap Rotasjon a stie legeme Vi ha sett på: Vinkelhastighet = dθ/dt, inkelakseleasjon α= d /dt Banehastighet = Vektoe: = Sentipetalaks. a c = - 2 = - = - 2 / ac = = Baneakseleasjon a t = α Rotasjonsenegi E k = ½ I 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i = 2 dm (om en gitt akse) Ring om sentum: I = M R 2 Skie om sentum: I = ½ M R 2 Lang, tynn sta om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 (Alle disse gjennom massefellespunktet = cm ) Steines sats (paallellakseteoemet): Teghetsmoment om annen paallell akse i astand d: I = I 0 + M d 2 ds. I 0 e alltid det minste mulige teg.moment ( ) Kap Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ (N2-ot) stie legeme: τ = I d/dt Rulling Spinn (deieimpuls): L (N2-ot) alle legeme: τ = dl/dt Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Kaftmoment = am x kaft x sinφ Matematisk: τ = x Φ τ = x Høyehåndsegelen: τ peke langs tommelen τ plassees gjene langs otasjonsaksen Husk også ekto : 3

4 Vektokysspodukt: Y& Kap Enhe kaft på ethet legeme ha kaftmoment om en algt akse. Altså τ ikke bae ed otasjon, men mest nyttig ed otasjon. Buke sjelden komponentfom: i j k A B= [ A, A, A ] [ B, B, B ] = A A A x y z x y z x y z B B B x y z τ = x τ = sinφ τ og τ Ingen anskelige anendelse Tanslasjon: = m d/dt = m a Rotasjon: τ = I d/dt = I α Atwoods (fall)maskin Øing 6 Tinsa med teghetsmoment I skal akseleees i tillegg til akseleasjon a m 2 og m 1 4

5 Rulling (uten å glippe) Teghetsmoment ulike skapninge: Tanslasjon + otasjon = ulling = Rullbae: I = c m R 2 c=1/2 c=1 c=2/5 c=2/3 ½ m 2 + ½ I 2 = ½ m 2 (1+c) Oppgae uendet =0 edusee øke f Hilken ulle fotest: Massi kule massi sylinde, elle hul sylinde? Den med minst c i tegh.momentet I = c m 2 1. Kule 2. Massi sylinde 3. Hul sylinde = ing Uahengig a støelsen (nå ulleadius = legemets adius) Yte kaft (mg sinα) ende gi moment til otasjonen 5

6 Rått egg - kokt egg. Hilket ulle fotest? Alle 6 mulighete fo kombinasjon på skåplan Mest anlig fo bil > (Leksake Mekanik Äggkapplöpning ) Rutsje ned > Rutsje oppoe i etning som pøe å oppnå ein ulling. Slue nedoe < Slue oppoe < Gli nedoe, fosøke komme opp Gli oppoe, fosøke komme nedoe og motsatt etn. og motsatt etn. Rulle / skli / slue på flatt undelag Rulle Skli Slue Rulle / skli / slue på flatt undelag Rulle Skli Slue = > < = =0 > =0 < =0 his konst edusee (og øke ) øke (og edus. ) =0 his konst edusee (og øke ) øke (og edus. ) øke => mot enste fo å øke minke => mot høye fo å edusee øke => mot høye få å øke (akseleee) minke => mot enste fo å minke (bemse) His yte kaft åsak til ending i His bilmoto/hjulotasjon åsak til ending i (me aanset) Retning fo : 1. Sett minste edi lik null. 2. i etning som pøe å oppnå ein ulling. 6

7 Oppsummeing: Rulling Rein ulling: = ; a = α (ds. tanslasjonshastighet = banefat til peifeien) E k = ½ m 2 + ½ I 2 = ½ m 2 (1+c) -med I = c m 2 og = / Statisk fiksjon μ s N gi inkelakseleasjon: = Iα. Ved ein ulling se i bot fa enegitap (ingen ullemotstand). Spinne/skli/utsje:. Kinematisk fiksjon = μ k N i etning som pøe å oppnå ein ulling. Kinematisk fiksjon gjø et fiksjonsabeid som ende kinetisk enegi Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ (N2-ot) stie legeme: τ = I d/dt Rulling Spinn (deieimpuls): L (N2-ot) alle legeme: τ = dl/dt Stie legeme: L = I Eksemple: gyoskop, m.m.m Spinn (angula momentum) Ch Spinn ed otasjon L = m => L = m Spinn ed tanslasjon L = m L = m sin Φ = 0 m L = m 2 = I 90 o mg 0 Φ mg Stit legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i 2 = I A His = 0 e = konst => L=konst. = m 0 His f.eks. = mg e τ 0 => L endes L ahengig a algt oigo A ( 0 og ahengig a A) 7