EKSAMEN i TFY4108 FYSIKK

Transkript

1 Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk BOKMÅL EKSAMEN i TFY4108 FYSIKK Eksamensdato: Fredag 14 desember 01 Eksamenstid: 09:00-13:00 Faglig kontakt under eksamen: Institutt for fysikk, John Ove Fjærestad, tlf / Tillatte hjelpemidler (kode C): Godkjent bestemt enkel kalkulator med tomt minne K Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språkutgaver) Sensurdato: Innen 14 januar 013 Prosenttallet som står i parentes etter hvert oppgavenummer indikerer hvor mye oppgaven i utgangspunktet blir vektlagt i bedømmelsen I mange tilfeller er det fullt mulig å løse etterfølgende punkt selv om et punkt foran skulle være ubesvart Oppgave 1 er om kvantemekanikk Formellista for denne oppgaven følger umiddelbart etter oppgaveteksten Oppgave -5 er om klassisk mekanikk Formellista for denne delen av eksamen er i et vedlegg bakerst i eksamenssettet Noen generelle merknader: - Symboler blir skrevet i kursiv (feks m for en masse), mens enheter blir skrevet uten kursiv (feks m for meter) - Ved tallsvar kreves både tall og enhet

2 TFY desember 01 Side av 6 Oppgave 1 (teller 5 %) En partikkel med masse m er i en potensialbrønn Den potensielle energien er { 0 for 0 x L, U(x) = for x < 0 og x > L Den normerte bølgefunksjonen for den stasjonære tilstanden med lavest energi (grunntilstanden) har romlig del { πx ψ(x) = L sin L for 0 x L, (1) 0 for x < 0 og x > L a) Bestem grunntilstandsenergien b) Bestem sannsynligheten for å finne partikkelen i posisjonsintervallet mellom x = L/4 og x = 3L/4 c) Ḋet blir oppgitt at for grunntilstanden er (i) x = L/ og (ii) p = 0 Uten å eksplisitt regne ut noe integral, gi et argument for å underbygge enten (i) eller (ii) d) Regn ut x og p for grunntilstanden Finn usikkerhetene x og p e) Bestem verdien av produktet x p Kommentér resultatet Oppgitte resultater for kvantemekanikk: Operatorer for observabler: Observabel Posisjon Bevegelsesmengde Total energi Generell observabel F (x, p) Operator ˆx = x ˆp = h i x Ĥ = h m ˆF = F (ˆx, ˆp) x + U(x) Tidsavhengig Schrödingerligning (TASL): ĤΨ(x, t) = i h Ψ(x,t) t Stasjonær tilstand: Ψ(x, t) = ψ(x)e iet/ h Tidsuavhengig Schrödingerligning (TUSL): Ĥψ(x) = Eψ(x) Forventningsverdi: F = dx Ψ (x, t) ˆF Ψ(x, t) Usikkerhet: F = F F Heisenbergs usikkerhetsrelasjon: x p h Egenverdiligning: ˆF Θ α (x) = f α Θ α (x) Noen integraler: sin z dz = 1 (z sin z cos z) + C z sin z dz = 1 4 [4z3 + (3 6z ) sin z 6z cos z] + C

3 TFY desember 01 Side 3 av 6 Oppgave (teller 15 %) En partikkel med masse m blir skutt inn mot et medium med en fart v 0 Inne i mediet blir farten til partikkelen dempet som v x (t) = v 0 e bt/m der b er en konstant a) Finn et uttrykk for den kraften F x som gir fartsdempningen Kan du fra svaret gi en fysisk tolkning av størrelsen b? b) Finn partikkelens posisjon x(t) i mediet Hvor langt klarer partikkelen å trenge inn i mediet? Oppgave 3 (teller 15 %) Før: 1 v 1 ω 1 Etter: 1 v 1 θ v To identiske sirkulære skiver kolliderer på et friksjonsfritt underlag Kollisjonen er (delvis) uelastisk Før kollisjonen ligger skive i ro mens skive 1 har hastighet v 1 Etter kollisjonen har skive 1 og hastigheter v 1 og v (se figur, der vi ser systemet ovenfra) a) Forklar hvorfor total kinetisk energi E k for de to skivene ikke er bevart i kollisjonen Forklar videre hvorfor total bevegelsesmengde p for de to skivene er bevart b) Ta utgangspunkt i bevaring av bevegelsesmengde (tips: kvadrer ligningen!) og vis at den kinetiske translasjonsenergien Ek trans kan minke, øke, eller forbli uendret som følge av kollisjonen, avhengig av vinkelen θ mellom de to slutthastighetene (se figur) Hvordan vil du forklare at translasjonsenergien kan øke i en slik kollisjon?

4 TFY desember 01 Side 4 av 6 Oppgave 4 (teller 30 %) I denne oppgaven skal du analysere bevegelsen til en bowlingkule på en bowlingbane Kula har masse m og radius r Vi bruker posisjonen x til kulas massesenter for å spesifisere hvor kula er Den kinetiske friksjonskoeffisienten er µ k Etter å ha landet på underlaget (bowlingbana) ved posisjonen x = 0 med en fart v 0 > 0 men med null rotasjonshastighet, sklir kula på underlaget mens rotasjonshastigheten gradvis øker Når kula kommer til posisjonen x = x r er sklifasen over og kula begynner å rulle rent med farten v r (indeksen r står her for ren rulling) a) Finn et uttrykk for akselerasjonen a til kula i sklifasen Bestem hastigheten v som funksjon av tiden t når kula sklir b) Velg z-aksen inn i planet på figuren Finn et uttrykk for vinkelakselerasjonen α z i sklifasen Bestem rotasjonshastigheten ω z som funksjon av tiden t når kula sklir c) Bruk resultatene i a) og b) til å vise at kula begynner å rulle rent ved tiden t r = v 0 /(7µ k g) etter at kula landet på underlaget Bestem avstanden x r Vis at rullehastigheten er v r = (5/7)v 0 d) Se på totalspinnet L til kula, definert med punktet x = 0 på underlaget som referansepunkt Med utgangspunkt i kreftene som virker på kula, vis at L er bevart under kulas bevegelse på underlaget e) La L z (x) være spinnet langs z-aksen når kulas massesenter har posisjon x Bruk spinnbevaring til å sette opp en ligning L z (0) = L z (x), og bruk denne til å gi en alternativ utledning av resultatet v r = (5/7)v 0 Oppgave 5 (teller 15 %) En uniform (jevntykk) tynn stang har lengden L og massen M Den er dreibar om en horisontal, friksjonsløs akse (z-aksen) som går gjennom den ene enden Stanga blir frigjort fra ro (ved å gi den et neglisjerbart puff) i sin vertikale posisjon, og den vil da falle ned med en rotasjonsbevegelse Prinsippet er vist i figuren, men her er ikke akslingen helt på enden av stanga og stanga er ikke tynn Du kan anta som kjent at stangas treghetssmoment om aksen er I = (1/3)ML For det øyeblikket at stanga er i horisontal posisjon: a) Bestem stangas vinkelfart ω L b) Vis at størrelsen på stangas vinkelakselerasjon er α = 3g L

5 TFY desember 01 Side 5 av 6 Vedlegg: Formelliste for klassisk mekanikk Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas å være kjent Noen fysiske konstanter: g = 9, 81 m/s c =, m/s h = 6, Js SI-enheter: Noen fundamentale SI-enheter: meter (m) sekund (s) kilogram (kg) Noen avledete SI-enheter : newton (N) joule (J) watt (W) hertz (Hz) Varianter: kwh = 3,6 MJ m/s = 3,6 km/h Ångström = Å= m Klassisk mekanikk: d p dt = F ( r, t) der p( r, t) = m v = m r F = m a Konstant a: v = v 0 + at r = r 0 + v 0 t + 1 at v v 0 = a ( r r 0 ) Konstant α: ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t + 1 αt ω ω 0 = α (θ θ 0 ) Newtons gravitasjonslov: F = G m 1m r ˆr E p (r) = G M r m G = 6, Nm /kg Arbeid: dw = F d s W 1 = 1 F d s Kinetisk energi: E K = 1 mv E p ( r) = potensiell energi (tyngde: mgh, fjær: 1 kx ) E = 1 m v + E p ( r) + friksjonsarbeid = konstant Konservativ kraft: F = Ep ( r) feks F x = x E p(x, y, z) Hookes lov (fjær): F x = kx Tørr friksjon: F f µ s F eller F f = µ k F Våt friksjon: F f = k f v eller F f = bv ˆv Kraftmoment (dreiemoment): τ = ( r r 0 ) F, med r 0 som valgt referansepunkt Arbeid: dw = τdθ Betingelser for statisk likevekt: ΣF i = 0 Σ τ i = 0, uansett valg av referansepunkt r 0 i τ i Massesenter (tyngdepunkt): R 1 = mi r i 1 r dm M = m i M M Kraftimpuls: t F (t)dt = m v Alle støt: p i = konstant Elastisk støt: E i = konstant Vinkelhastighet: ω = ω ˆk ω = ω = ϕ Vinkelakselerasjon: α = d ω/dt α = dω/dt = ϕ Sirkelbev: v = rω Sentripetalaks: a = vω ˆr = v r ˆr = rω ˆr Baneaks: a θ = dv dt = r dω dt = r α Spinn (dreieimpuls) og spinnsatsen: L d = r p τ = L, dt stive legemer: L = I ω τ = I d ω dt Rotasjonsenergi: E k,rot = 1 I ω, der treghetsmoment I def = m i r i r dm med r = avstanden fra m i (dm) til rotasjonsaksen Med aksen gjennom massemiddelpunktet: I I 0, og da gjelder: kule: I 0 = 5 MR kuleskall: I 0 = 3 MR sylinder/skive: I 0 = 1 MR Åpen sylinder/ring: I 0 = MR lang, tynn stav: I 0 = 1 1 Ml Parallellakseteoremet (Steiners sats): I = I 0 + Mb

6 TFY desember 01 Side 6 av 6 Spinn (dreieimpuls): Lbane = M( R r 0 ) V, der r 0 er det felles referansepunkt for L og τ, og tyngdepunktsbevegelsen er gitt av ( R, V = dr/dt) Egenspinn: L egen = I 0 ω Med (sylinder)symmetriske faste legemer: L tot = L bane + L egen τ tot = d L tot /dt Udempet svingning: ẍ + ω0x = 0 T = π f 0 = 1 ω 0 T = ω 0 π Tyngdependel: θ + ω mgd 0 sin θ = 0, der sin θ θ Fysisk: ω 0 = I k Masse/fjær: ω 0 = m g Matematisk: ω 0 = l Dempet svingning: ẍ + γẋ + ω 0x = 0 Masse/fjær: ω 0 = k/m γ = b/(m) γ < ω 0 Underkritisk dempet: x(t) = A e γt cos(ω d t δ) med ω d = ω 0 γ γ > ω 0 Overkritisk dempet: x(t) = A + e α(+)t + A e α( ) t med α (±) = γ ± γ ω 0 Tvungne svingninger: ẍ + γẋ + ω 0x = f 0 cos ωt, med (partikulær)løsning når t γ 1 : x(t) = x 0 cos(ωt δ), der x 0 (ω) = f 0 tan δ = γω (ω 0 ω ) + 4γ ω ω0 ω Rakettlikningen : m(t) d v dt = F Y + β u ex der β = dm dt og u ex = hast utskutt masse relativ hovedmasse