Kap Rotasjon av stive legemer

Transkript

1 Kap Rotasjon av stive legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn (deieimpuls): L Spinnsatsen (Newton 2 fo otasjon): τ = dl/dt Stive legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Vinkle måles i adiane: θ= s/ dvs. s = θ Vinkelhastighet: = dθ/dt Vinkelhastighet: = dθ/dt e lik fo hele legemet Banefat v = ds/dt = (9.13) øke med adien v v = x v a c = x v 1

2 Rotasjonshjul som enegilage Stålskive 10 cm tykk, 1,0 m diamete: Poblem: Tung! (600 kg) Defomees! I peifeien e: Banefat v==1000 m/s Sentipetalaksel 2 = xg) Enegi ved RPM (omd. pe min): E k = ½ I 2 = 170 MJ Fobenningsenegi i bensintank på 40 lite, ved utnyttelse 33%: ca 530 MJ Kap. 9. Rotasjon av stive legeme Vi ha sett på: Vinkelhastighet = dθ/dt, vinkelakseleasjon α= d /dt Sentipetalaks. a c = - 2 = - v= -v 2 / Vektoe: v= Baneakseleasjon a t = α ac = v= Rotasjonsenegi E k = ½ I 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i = 2 dm (om en gitt akse) Ring om sentum: I = M R 2 Skive om sentum: I = ½ M R 2 Lang, tynn stav om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 (Alle disse gjennom massefellespunktet = cm ) Steines sats (paallellakseteoemet): Teghetsmoment om annen paallell akse i avstand d: I = I cm + M d 2 dvs. I cm e alltid det minste mulige teg.moment ( ) Rulling (uten å glippe) Oppgave Tanslasjon v cm + otasjon = ulling v cm = uendet =0 edusee øke F f Yte kaft (mg sinα) ende v gi moment til otasjonen 2

3 Alle 6 mulighete fo kombinasjon v på skåplan Rulle / skli / slue på flatt undelag v > Mest vanlig fo bil Rulle Skli Slue Rutsje ned v > Rutsje oppove Slue nedove v < Slue oppove v < Gli nedove, fosøke komme opp v v Gli oppove, fosøke komme nedove v = =0 hvis konst v mot venste hvis v øke ( øke ) mot høye hvis v minke ( edusee ) mot høye hvis øke (akseleee, v øke) mot venste hvis minke (bemse, v minke) F v > v < edusee v (og øke ) øke v (og edus. ) Hvis yte kaft F åsak til ending i v Hvis bilmoto/hjulotasjon åsak til ending i v Rått egg - kokt egg. Hvilket ulle fotest? Sykloide (et punkt på felgen ved ulling) 2 Sykloide x = (t-sin t) y = (1- cos t) 1,5 y/ 1 0,5 (Leksake Mekanik Äggkapplöpning ) 0 x/ π x/ 2π 3π t 3

4 τ = x F Høyehåndsegelen: τ peke langs tommelen Vektokysspodukt: Y&F Kap τ plassees gjene langs otasjonsaksen Husk også vekto : Buke sjelden komponentfom: i j k A B= [ A, A, A ] [ B, B, B ] = A A A x y z x y z x y z B B B x y z Enhve kaft på ethvet legeme ha kaftmoment om en valgt akse. Altså τ ikke bae ved otasjon, men mest nyttig ved otasjon. τ = x F τ = F sinφ τ og τ F Ingen vanskelige anvendelse (Kot oppsummeing) Snelle med sno Tekkes mot deg ved liten vinkel α Tekkes fa deg ved sto vinkel α Vi fant: Gense ved cos α = /R Kav til statisk likevekt: Ingen tanslasjon => Σ F = 0 Ingen otasjon => Σ τ = 0 ( τ = F )»om enhve valgt akse (Statisk) fiksjon e vesentlig fo ulling, men fiksjonsabeidet e oftest neglisjebat (ullefiksjon null). (Men: Slue/skli => fiksjonsabeidet e vesentlig). 4

5 Fa Angell & Lian: Fysiske støelse og enhete, s. 42. Spinn ved otasjon L = m v v => L = m v L = m 2 = I 90 o Stivt legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i 2 = I Spinn ved tanslasjon Kap Rotasjon av stive legeme L = m v Teghetsmoment I = Σ i2 m i (om en gitt akse) Geneelt: v ikke => L = m v sin Φ mv mv Rotasjonsenegi E k = ½ Σ m i v 2 i = ½ I 2 Kaftmoment: τ = F stive legeme: L Spinn (deieimpuls) L = m v Spinnsatsen (N2-ot): τ = d/dt L = I = I d/dt Ingen yte moment: L = konst. 5

6 Punktpatikkel: L = m v τ = dl/dt Stivt legeme: L = I τ = I d/dt Spinn: L = I = konstant! Pesone inn mot sentum: I = Σ m i 2 i avta må øke! Kinetisk enegi: E k = ½ I 2 =½L L konstant, øke Ikke stivt legeme! E k øke! (hvofa?) v Ubalanset oteende hjul Sentifugalkaft på akslingen d τ = x F F Me sammensatt kaft på akslingen Raskee otasjon om samme akse: + d alle i samme etning (N2-ot): τ dt = I d => τ i samme etning som d => F som i figuen Hva hvis akseetningen skal endes? 6

7 Ending av akseetning Sett ovenfa: Ending akseetning: + d (N2-ot): τ dt = I d => τ i samme etning som d => F nedove + d τ = x F d F Kaft nedove Gyoskop 1. Lodd holde hjulet i balanse 2. I =I holdes konstant nå otee gyokompass 3. Sto motstand mot ending 4. Ending av akseetning ved kaft nomalt på endingen Med vedvaende å vi peseseing Sykkelhjul Ikke-oteende hjul: τ = x F + d d dl dφ= L dφ dl 1 1 F Ω = p dt = dt L =τ L = I Roteende hjul: Sett ovenfa: 7

8 Matematisk foklaing av fysikken ofte eneste mulige Nutasjon Richad Feynman (am. fysike/pedagog, ): many simple things can be deduced mathematically moe apidly than they can eally be undestood in a fundamental o simple sense. This is a stange chaacteistic, and as we get into moe and moe advanced wok thee ae cicumstances in which mathematics will poduce esults which no one has eally been able to undestand in any diect fashon. f = 4000 RPM P = 70 kw τ = 160 Nm Stemme med P = τ? Effekt = moment vinkelhastighet 0 Nm τ P = τ RPM= 60/2π Saab i 122hk. Effekt og deiemoment, diagam. Den sote kuven angi deiemomentet i newton-mete (Nm), den oange angi effekten i kw elle hestekefte (bhp). Oppsummeing: Rulling (dvs. uten glipping) Statisk fiksjon e vesentlig fo ulling, men fiksjonsabeidet e oftest neglisjebat. (Men ved glipp/utsjing e fiksjonen kinematisk og fiksjonsabeidet vesentlig) v = (dvs. tanslasjonshastighet = banefat til peifeien) E k = ½ mv 2 + ½ I 2 Med I = c m 2 og = v/ : E k = ½ mv 2 + ½ c mv 2 = ½ m v 2 (1+c) 8

9 Rulleadius < yte adius R R Eks: Rulling i enne 2d R d θ = ulleadius 2 = R 2 d 2 = R sin θ d = 0 (Rulling på flatt undelag): = R v = E k,ot = 2/5 E k,tans d = (3/5) R = 0,77 R : 2 =2/5 R 2 v = = (2/5) R = 0,63 R E k,ot = E k,tans d R: 0 v = 0 E k,ot >> E k,tans Vektostøelse: v = x (*) L = x p τ = x F a = d/dt( x ) = α x + x v = a t + a c URB = UnRidableBicycle!? Counte-steeing OK URB D.E.H. Jones. Physics Today, Apil

10 Tanslasjon: (konstant akseleasjon a) v = v 0 + a t Konstant-akseleasjonslikninge s = s 0 + v 0 t + ½ at 2 v 2 v 02 = 2as Rotasjon om fast akse: (konstant vinkelakseleasjon α) = 0 + α t θ = θ t + ½ α t = 2αθ Tanslasjon: Bevegelsesmengde (linea momentum): p = m v N2-tans: F = dp/dt Stivt legeme (konst. m): F = m dv/dt= m a Rotasjon: Spinn (angula momentum): L = X m v L = I Stivt legeme N2-ot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stivt legeme (konst. I ): τ = I d/dt= I α s -s 0 = <v>t = ½(v+v 0 ) t θ θ 0 = <>t = ½(+ 0 ) t F = 0 => p = konstant (N1) stivt legeme: v = konst τ = 0 => L = konstant (N1-ot) stivt legeme: = konst Spinn ved tanslasjon L = m v L = m v sin Φ v v v v mg 0 Φ mg Skli: = 0 B R A v 0 L = m v + I Bowlingkule < v/r s Rulle: = v ull /R v ull Tilsvaende oppgave: Eksamen des 2007 Om A: L A = konst. = mv 0 fodi ha null moment om A A Hvis F = 0 e v = konst => L=konst. = mv 0 Hvis f.eks. F = mg e τ 0 => L endes L stat = L slutt => v ull = v 0 5/7 (*) -- uten å kjenne! Om B: L B = I ikke konstant fodi τ f = R => Id/dt = R 10

11 Oppsummeing: Kap Rotasjon av stive legeme Vi ha sett på: Vinkelhastighet = dθ/dt, vinkelakseleasjon α= d /dt Sentipetalakseleasjon a c = - 2 = - v = - v 2 / Baneakseleasjon a t = α Rotasjonsenegi E k = ½ I 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i 2 dm (om en gitt akse) Deiemoment: τ = F Spinn (deieimpuls) = L = m v Fo stivt legeme: L = I Spinnsatsen: τ = dl /dt (Newton 2 fo otasjon) Fo stivt legeme: τ = I d/dt Kap Analogie tanslasjons- og otasjonsbevegelse Eksemple: ulling, gyoskop (sykkelhjul), banekausell, m.m. Teghetsmoment (om en gitt akse): I = Σ i2 m i 2 dm Alle I om massesentum (cm): Ring om sentum: I = M R 2 Ring om diamete: I = ½ M R 2 Sylinde elle skive om sentum: I = ½ M R 2 Kule om diamete: I = (2/5) M R 2 Kuleskall om diamete: I = (2/3) M R 2 Rullende legeme: I = c mr 2 (c=1, ½, 2/5 etc.) Lang, tynn stav om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 Rektangulæ plate om midtpunkt: I = (1/12) M (a 2 + b 2 ) Om annen paallell akse i avstand d ( Steines sats): I = I cm + M d 2 Sentifugehode Maks RPM ( = s -1 ) Sentipetalakseleasjon 2 = x g ved = 8 cm Banefat yttest: v = =550 m/s Enegi E k = ½ I 2 = 245 kj (med I = 2/5 M 2 = kgm 2, kule, 3,9 kg) = 1000 W i 245 s (4 min) (tilsvae v=360 m/s = 1300 km/t ved tanslasjon samme kule) 100 g slenges ut med kaft 38 tonn! Se også Table 9.2 i Young & Feedman. 11