Kap Rotasjon av stive legemer

Transkript

1 Kap Rotasjon av stive legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ Rulling Spinn (deieimpuls): L Spinnsatsen (N2-otasjon): τ = dl/dt N2-otasjon: τ = I d/dt Stive legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Denne uka Spinn (angula momentum) Y&F L&L 5.5, 5.9, 6 1 Spinn punktlegeme 1.1 Spinn ved otasjon L = m v v => L = m v L L = m 2 = I 90 o 1 Spinn punktlegeme 1.2 Spinn ved vilkålig bevegelse L = m v v ikke => L = m v sin Φ L mv mv 1 Spinn punktlegeme 1.3 Spinn ved ettlinjet bevegelse L = m v L = m v sin Φ = 0 mv v v v v mg 0 mg Φ Hvis F = 0 e v = konst => L=konst. = mv 0 Hvis f.eks. F = mg e τ 0 => L endes L avhengig av valgt oigo ( 0 og avhengig av ) 1

2 1 Spinn punktlegeme 1.3 Spinn ved ettlinjet bevegelse Med patikkelbanen gjennom (oigo), e v og: L = m v = 0 v v v v Φ 2 Spinn ved otasjon av stive legeme L i = i m i v i v i => L i = i m i v i L i = m i i2 alle L i 90 o Stivt legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i2 = I Rotasjon av stive legeme Teghetsmoment I = Σ i2 m i (om en gitt akse) Rotasjonsenegi E k = ½ Σ m i v 2 i = ½ I 2 Kaftmoment: τ = F stive legeme: Spinn (deieimpuls) L = m v L = I Spinnsatsen (N2-ot): τ = d/dt L τ = I d/dt (N2-ot) Ingen yte moment (N1-ot): L = konst. Tanslasjon: Bevegelsesmengde (linea momentum): p = m v N2-tans: F = dp/dt Stivt legeme (konst. m): F = m dv/dt = m a F = 0 => p = konstant (N1) stivt legeme: v = konst Rotasjon: Spinn (angula momentum): L = mv L = I Stivt legeme N2-ot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stivt legeme (konst. I ): τ = I d/dt= I α τ = 0 => L = konstant (N1-ot) stivt legeme: = konst 2

3 d τ = x F Gyoskop F 1. Lodd holde hjulet i balanse 2. L =I holdes konstant nå otee gyokompass Raskee otasjon om samme akse: + d alle i samme etning (N2-ot): τ dt = I d => τ i samme etning som d => F som i figuen Hva hvis akseetningen skal endes? 3. Sto motstand mot ending 4. Ending av akseetning ved kaft nomalt på endingen Ending av akseetning Sett ovenfa: τ = x F Med vedvaende å vi pesesjon + d d F Kaft nedove τ = x F + d d Ending akseetning: + d (N2-ot): τ dt = I d => τ i samme etning som d => F nedove dl df= L df dl 1 1 d d F W = p t = t L =t L = I w 3

4 Sykkelhjul Ikke-oteende hjul: Matematisk foklaing av fysikken ofte eneste mulige Richad Feynman (am. fysike/pedagog, ): Roteende hjul: Sett ovenfa: many simple things can be deduced mathematically moe apidly than they can eally be undestood in a fundamental o simple sense. This is a stange chaacteistic, and as we get into moe and moe advanced wok thee ae cicumstances in which mathematics will poduce esults which no one has eally been able to undestand in any diect fashon. Nutasjon Spinn: L = I = konstant! Pesone inn mot sentum: I = Σ m i 2 i avta må øke! Kinetisk enegi: E k = ½ I 2 =½ L L konstant, øke E k øke! (hvofa?) Ikke stivt legeme! v 4

5 Ex i Y & F: Punktpatikkel: L = m v = m 2 = I τ = dl/dt Stivt legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i 2 = I τ = I d/dt L = I = konstant Rotasjon om akse ikke-paallell med symmetiakse (Ikke pensum) Me i LL kap 6.11 Ubalanset oteende hjul Sentifugalkaft på akslingen L 2 = I 2 2 Symmetiakse I L = L 1 + L 2 Rotasjonsakse Rotasjonen kan dekomponees i to otasjone: = Me sammensatt kaft på akslingen Symmetiakse 2 I 2 L 1 = I 1 1 nta: I 2 > I 1 Da e ikke L paallell med L ende altså etning unde otasjonen 5

6 Tanslasjon: F = m dv/dt = m a Rotasjon: τ = I d/dt = I α Tidligee punkte: 1 Spinn punktlegeme 1.1 Spinn ved otasjon 1.2 Spinn ved vilkålig bevegelse 1.3 Spinn ved ettlinjet bevegelse L = m v L = 0 mv 2 Spinn ved otasjon av stive legeme L = I Nå: 3 Spinn ved otasjon og tanslasjon av stive legeme (ikke i YF( 10.5); LL 6.6, Notat 2) L = cm m v cm + I 0 = banespinn + egenspinn Skli: = 0 Bowlingkule (L&L Eks. 6.15) < v/r Rulle: = v ull /R Skli: = 0 Bowlingkule < v/r Rulle: = v ull /R v 0 B R l Om : L = m v + I 0 Ingen kefte ha moment => L = konst. = mrv 0 v ull Tilsvaende oppgave: Eksamen des 2007 L stat = L slutt => v ull = v 0 5/7 (*) -- uten å kjenne! Om B=cm: L B =I 0 (banespinn = 0) τ f = R => L B ikke konst. men I 0 d/dt = R, må kjenne R v 0 sluing = μ k mg (uavhengig v) Konst. aks: v = v 0 +at = v 0 μ k gt = 0 +α t v 2 v 02 = 2ax v ull ulling, konst v = 0 x ks. = 0: v ull = konst. ull = v ull /R = konst. 6

7 Effekt = moment vinkelhastighet τ P = τ f = 4000 RPM P = 70 kw τ = 160 Nm Stemme med P = τ 0 Nm RPM= 60/2π Saab i 122hk. Effekt og deiemoment, diagam. Den sote kuven angi deiemomentet i newton-mete (Nm), den oange angi effekten i kw elle hestekefte (bhp). Vektostøelse: v = x (*) L = x p τ = x F a = d/dt( x ) = α x + x v = a t + a c Spinn om fast bakkepunkt Spinn om bilens c.m. B: inngå i likn. Spinn fo akseleeende/bemsende bil N b B Mv N f N b l b N f l f = M a h y z x Hva bety gyoeffekten fo å holde sykkel oppe? M. Jones testet dette med hjul som otete motsatt etning, dvs. motsatt gyoeffekt. => En URB (UnRidableBicycle)? Sykkelba! x Mg D.E.H. Jones. Physics Today, pil

8 URB = UnRidableBicycle!? Counte-steeing OK URB Sykkelens stabilitet, efeanse: D.E.H. Jones. Physics Today, pil 1970, pp (lenke i foelesningsplan) Lowell, J. and McKell, H. D., "The Stability of Bicycles", m. J. Phys. 50 (1982), pp Fa en eksamensoppgave annet fysikkemne: tist + sykkel ha i utgangspunkt spinn L atist = 0 Hjulene ha (positivt) spinn L hjul ned i papiplanet. L tot = L hjul + L atist e bevat. a) Desom L hjul øke må L atist peke opp av planet (steile) b) Desom L hjul avta må L atist peke ned i planet (stupe) a) Hvodan vil vinkelen θ ende seg hvis motosyklisten i svevet gi me gass (øke tutallet til motoen)? Begunn svaet. Du kan se bot fa luftmotstanden. b) Hvodan vil vinkelen θ ende seg hvis motosyklisten i svevet i stedet tykke inn handbemsa på famhjulet? Begunn svaet. Du kan se bot fa luftmotstanden. Kap Rotasjon. Oppsummeing. Vinkelhastighet = dθ/dt, vinkelakseleasjon α= d /dt Sentipetalakseleasjon a c = - 2 = - v = - v 2 / Baneakseleasjon a t = α Rotasjonsenegi E k = ½ I 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i 2 dm (om en gitt akse) Deiemoment: τ = F Spinn (deieimpuls) = L = m v (om en gitt akse) Fo stivt legeme: L = I Spinnsatsen: τ = dl /dt (N2-ot) Fo stivt legeme: τ = I d/dt Fiksjon e vesentlig fo ulling: ein ulling: statisk fiksjon μ s F N. Fiksjonsabeidet neglisjebat slue/gli: kinetisk fiksjon = μ k F N. Fiksjonsabeidet viktig Eksemple: ulling, gyoskop (sykkelhjul), banekausell, m.m. 8

9 Tanslasjon: (konstant akseleasjon a) v = v 0 + a t Konstant-akseleasjonslikninge s = s 0 + v 0 t + ½ a t 2 v 2 v 02 = 2as Rotasjon om fast akse: (konstant vinkelakseleasjon α) = 0 + α t θ = θ t + ½ α t = 2αθ Tanslasjon: Bevegelsesmengde (linea momentum): p = m v N2-tans: F = dp/dt Stivt legeme (konst. m): F = m dv/dt = m a Rotasjon: Spinn (angula momentum): L = mv L = I Stivt legeme N2-ot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stivt legeme (konst. I ): τ = I d/dt= I α s -s 0 = <v>t = ½(v+v 0 ) t θ θ 0 = <>t = ½(+ 0 ) t F = 0 => p = konstant (N1) stivt legeme: v = konst τ = 0 => L = konstant (N1-ot) stivt legeme: = konst Kap nalogie tanslasjons- og otasjonsbevegelse Teghetsmoment (om en gitt akse): I = Σ i2 m i 2 dm lle I om massesentum (cm), dvs. I 0 : Ring om sentum: I = M R 2 Ring om diamete: I = ½ M R 2 Sylinde elle skive om sentum: I = ½ M R 2 Kule om diamete: I = (2/5) M R 2 Kuleskall om diamete: I = (2/3) M R 2 Legeme som kan ulle: I = c mr 2 (c=1, ½, 2/5 etc.) Lang, tynn stav om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 Rektangulæ plate om midtpunkt: I = (1/12) M (a 2 + b 2 ) Om annen paallell akse i avstand d ( Steines sats): I = I 0 + M d 2 Se også Table 9.2 i Young & Feedman. 9

10 Spinn fo fallende katt bevat? Katte lande - alltid på føttene! Sentifugehode Maks RPM ( = s -1 ) Sentipetalakseleasjon 2 = x g ved = 8 cm L = 0 ved stat og ved slutt L = 0 undeveis!? Banefat yttest: v = =550 m/s Enegi E k = ½ I 2 = 245 kj (med I = 2/5 M 2 = kgm 2, kule, 3,9 kg) = 1000 W i 245 s (4 min) (tilsvae v=360 m/s = 1300 km/t ved tanslasjon samme kule) «Sentifugalkaft» fo 100 g e 38 tonn! Massemidtpunkt i Øv.7, TDT4105 IT-GK tyngdepunkt vektmoment = Massemedian [Tyngdepunkt = 1 (0,5) + 2 (1,5) + 3 (2,5)+ 4 (3,5)]/10 = 2,50 FEIL, hvis de med massemidtpunkt mene det samme som massesente(tyngdepunkt). Men de mene kanskje MEDIN? 10