Kap Rotasjon av stive legemer

Transkript

1 Kap Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn (deieimpuls): L Spinnsatsen (Newton 2 fo otasjon): τ = dl/dt Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m z Stit legeme som otee om z-akse: Sylindekoodinate (, θ, z) hensiktsmessig θ Vinkle måles i adiane: θ= s/ ds. s = θ Vinkelhastighet: = dθ/dt Viktige støelse (otasjon) Vinkelpos. θ = s/ Vinkelhastighet = dθ/dt = / Vektostøelse: langs akseetning Peiode T = tid/omd = 1/f ekens f = 1/T Vinkelfekens = inkelhastighet = = 2πf Vinkelaksel. α = d/dt = d 2 θ /d 2 t Banefat = = ds/dt = Vektostøelse: = x Baneaksel. a t = α Sent.aksel. a c = 2 / = 2 Vektostøelse: ac = w = w ( w ) Total aksel = a=- a + a q c t 1

2 Vektoe: = x a c = x = x ( x ) Lik fo hele legemet: Vinkelhastighet = dθ/dt Vinkelaksel. α= d/dt Øke med adien : Banefat = ds/dt = = x = x a c = x Tang.aksel. a t = α Sent.aksel. a c = 2 Tanslasjon: E k = ½ m 2 Massens plasseing ingen betydning fo E k E k = ½ I 2 i Samme, samme E k I = Σ i2 m i m i Rotasjon: E k = ½ I 2 de I = 2 dm E k øke med (massens astand) 2 fa aksen He må i integee: I = 2 dm dm Samme, men ulik E k 2

3 Rotasjonshjul som enegilage Stålskie 10 cm tykk, 1,0 m diamete: I = ½ MR 2 = 77 kg m 2 Poblem: Tung! (600 kg) Defomees! I peifeien e: Banefat ==1000 m/s Sentipetalaksel 2 = xg) Bukes i motokjøetøy: KERS = Kinetic Enegy Recoey System: en.wikipedia.og/wiki/kers Ett eksempel: R=12 cm M=5,0 kg f= pm E = 400 kj KERS i sykle: Med KERS kan tolleybusse i Züch også kjøe uten støm: Enegi ed RPM (omd. pe min): E k = ½ I 2 = 170 MJ obenningsenegi i bensintank på 40 lite, ed utnyttelse 33%: ca 530 MJ Kap Rotasjon a stie legeme Vi ha sett på: Vinkelhastighet = dθ/dt, inkelakseleasjon α= d /dt Banehastighet = Vektoe: =w Sentipetalaks. a c = - 2 = - = - 2 / ac = w = w ( w ) Baneakseleasjon a t = α Rotasjonsenegi E k = ½ I 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i = 2 dm (om en gitt akse) Ring om sentum: I = M R 2 Skie om sentum: I = ½ M R 2 Lang, tynn sta om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 (lle disse gjennom massefellespunktet = cm ) Steines sats (paallellakseteoemet): Teghetsmoment om annen paallell akse i astand d: I = I 0 + M d 2 ds. I 0 (akse gjennom cm) e alltid minst mulige teg.moment Kap Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ (N2-ot) stie legeme: τ = I d/dt Rulling Spinn (deieimpuls): L (N2-ot) alle legeme: τ = dl/dt Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m 3

4 Kaftmoment = am x kaft x sinφ Matematisk: τ = x Φ τ = x τ = sinφ τ og τ Høyehåndsegelen: τ peke langs tommelen Φ Et. skå kaft τ plassees gjene langs otasjonsaksen Husk også ekto : Vektokysspodukt: Y& Kap Tanslasjon: = m d/dt = m a Rotasjon: τ = I d/dt = I α Buke sjelden komponentfom: i j k B= [,, ] [ B, B, B ] = x y z x y z x y z B B B x y z 4

5 Liknende eksempel: twoods (fall)maskin Øing 5 Tinsa med teghetsmoment I skal akseleees i tillegg til akseleasjon a m 2 og m 1 Kap Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ (N2-ot) stie legeme: τ = I d/dt Rulling Spinn (deieimpuls): L (N2-ot) alle legeme: τ = dl/dt Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Rulling (uten å glippe) Y 10.3, LL 6.7 Test Tanslasjon + otasjon = ulling cm = uendet f =0 f edusee f øke f f ½ m 2 + ½ I 2 = ½ m 2 (1+c) Yte kaft (mg sinα) ende f gi moment til otasjonen 5

6 h Hilken ulle fotest: Massi kule massi sylinde, elle hul sylinde? (Y &, Ex. 10.5) E k = ½ m 2 (1+c) = lik alle Støst fo den med minst c i tegh.momentet I = c m 2 1. Vannfylt flaske 2. Kule 3. Massi sylinde 4. Hul sylinde = ing Uahengig a støelsen (nå ulleadius = legemets adius) ned lle 6 mulighete fo kombinasjon på skåplan f Rutsje ned > > Slue nedoe < f f Mest anlig fo bil og motsatt etn. Gli nedoe, fosøke komme opp B opp Rutsje oppoe f i etning som pøe å oppnå ein ulling. f < f Slue oppoe Gli oppoe, fosøke komme nedoe og motsatt etn. f Rulle på flatt undelag Rulle Rulle / skli / slue på flatt undelag Rulle Skli Slue = = f > < f f =0 his konst his: øke => f mot enste fo å øke minke => f mot høye fo å edusee øke => f mot høye fo å øke (akseleee) minke => f mot enste fo å minke (bemse) His yte kaft åsak til ending i His bilmoto/hjulotasjon åsak til ending i (me aanset) f =0 his konst inne etning fo f : f edusee (og øke ) f øke (og edus. ) 1. f i etning som pøe å oppnå ein ulling. elle 2. Sett minste edi lik null. 6

7 Oppsummeing: Rulling Rein ulling: = ; a = α (ds. tanslasjonshastighet = banefat til peifeien) E k = ½ m 2 + ½ I 2 = ½ m 2 (1+c) -med I = c m 2 og = / Statisk fiksjon f μ s N gi inkelakseleasjon: f = Iα. Ved ein ulling se i bot fa enegitap (ingen ullemotstand). Spinne/skli/utsje:. Kinematisk fiksjon f = μ k N i etning som pøe å oppnå ein ulling. Kinematisk fiksjon gjø et fiksjonsabeid som ende kinetisk enegi Teghetsmoment (om en gitt akse): I = Σ i2 m i 2 dm lle I 0 om massesentum (cm): Ring om sentum: I 0 = M R 2 Ring om diamete: I 0 = ½ M R 2 Sylinde elle skie om sentum: I 0 = ½ M R 2 Kule om diamete: I 0 = (2/5) M R 2 Kuleskall om diamete: I 0 = (2/3) M R 2 Rullende legeme: I 0 = c MR 2 (c=1, ½, 2/5 etc.) Lang, tynn sta om midtpunkt: I 0 = (1/12) M L 2 Rektangulæ plate om midtpunkt: I 0 = (1/12) M (a 2 + b 2 ) Om annen paallell akse i astand d ( Steines sats): I = I 0 + M d 2 Se også Table 9.2 i Young & eedman. Eksamensstatistikk: ) 4 B) 9 C) 67 Riktig D) 6 E) 83 blank 1 Tot 170 Test 45 o Peifeihastighet = ullehastighet Oppsummeing: Rulling Rein ulling: = ; a = α (ds. tanslasjonshastighet = banefat til peifeien) E k = ½ m 2 + ½ I 2 = ½ m 2 (1+c) -med I = c m 2 og = / Statisk fiksjon f μ s N esentlig fo ulling og gi inkelakseleasjon α: f = Iα Spinne/skli/utsje:. Kinetisk fiksjon f = μ k N i etning som pøe å oppnå ein ulling Kinetisk fiksjon gjø et fiksjonsabeid som ende kinetisk enegi Rein ulling: se i bot fa enegitap (ingen ullemotstand). Slue/skli : fiksjonsabeidet e esentlig. 7

8 Kap Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ Rulling Spinn (deieimpuls): L Spinnsatsen (N2-otasjon): τ = dl/dt N2-otasjon: τ = I d/dt Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Denne uka Spinn (angula momentum) Y& L&L 5.5, 5.9, 6 1 Spinn punktlegeme 1.1 Spinn ed otasjon L = m => L = m L L = m 2 = I 90 o 1 Spinn punktlegeme 1.2 Spinn ed ilkålig beegelse L = m ikke => L = m sin Φ L m m 1 Spinn punktlegeme 1.3 Spinn ed ettlinjet beegelse L = m L = m sin Φ = 0 m mg 0 mg Φ His = 0 e = konst => L=konst. = m 0 His f.eks. = mg e τ 0 => L endes L ahengig a algt oigo ( 0 og ahengig a ) 8

9 1 Spinn punktlegeme 1.3 Spinn ed ettlinjet beegelse Med patikkelbanen gjennom (oigo), e og: L = m = 0 Φ 2 Spinn ed otasjon a stie legeme L i = i m i i i => L i = i m i i L i = m i i2 alle L i 90 o Stit legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i2 = I Rotasjon a stie legeme Teghetsmoment I = Σ i2 m i (om en gitt akse) Rotasjonsenegi E k = ½ Σ m i 2 i = ½ I 2 Kaftmoment: τ = stie legeme: Spinn (deieimpuls) L = m L = I Spinnsatsen (N2-ot): τ = d/dt L τ = I d/dt (N2-ot) Ingen yte moment (N1-ot): L = konst. Tanslasjon: Beegelsesmengde (linea momentum): p = m N2-tans: = dp/dt Stit legeme (konst. m): = m d/dt = m a = 0 => p = konstant (N1) stit legeme: = konst Rotasjon: Spinn (angula momentum): L = m L = I Stit legeme N2-ot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stit legeme (konst. I ): τ = I d/dt= I α τ = 0 => L = konstant (N1-ot) stit legeme: = konst 9