Kap Rotasjon av stive legemer

Transkript

1 Kap Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rask rekap) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rask rekap) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ Rulling Spinn (dreieimpuls): L Spinnsatsen (Newton 2 for rotasjon): τ = dl/dt Stive legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m

2 z Stivt legeme som roterer om z-akse: Sylinderkoordinater (r, φ, z) hensiktsmessig φ

3 Vinkler måles i radianer: φ = s/r s = φr s = r φ Vinkelhastighet: = dφ/dt

4 Vinkelpos. φ = s/r Vinkelhastighet = dφ/dt = v/r Vektorstørrelse: langs akseretning Periode T = tid/omdr = 1/f Frekvens f = 1/T Vinkelfrekvens = vinkelhastighet = = 2πf Vinkelaksel. α = d/dt = d 2 φ /d 2 t Banefart v = v = ds/dt = r Vektorstørrelse: Baneaksel. a t = α r Viktige størrelser (rotasjon) v r Sentr.aksel. a c = v 2 /r = v = 2 r Vektorstørrelse: Total aksel = a a r a ac v ( r) c t

5 Vektorer: v = x r a c = x v = x ( x r) v = x r v = x r φ r a c = x v

6 Lik for hele legemet: Vinkelhastighet = dφ/dt Vinkelaksel. α = d/dt Øker med radien r : Banefart v = ds/dt = r Tang.aksel. a t = α r Sentr.aksel. a c = 2 r v s = rφ φ

7 Translasjon: E k = ½ m v 2 Massens plassering ingen betydning for E k v v Samme v, samme E k Rotasjon: E k = ½ I 2 der I = Σ r i2 m i E k øker med (massens avstand) 2 fra aksen Samme, men ulik E k

8 E k = ½ I 2 r i I = Σ r i2 m i m i Her må vi integrere: r I = r 2 dm dm

9 Sirkelskive som roterer om symmetriakse I = ½ M R 2 r R

10 Halvsirkelskive som roterer om «sirkelsentrum» R I = ½ M R 2 Halvsirkelskive som roterer om c.m. y cm = R 4/(3π) = 0,42 R R I =? r cm Mye vanskeligere å beregne. Skal heller bruke Steiners sats ( kommer) I = 0,320 MR 2

11 Rotasjonshjul som energilager Brukes for å stabilisere rotasjonshastighet i motorer Kan lagre store energimengder (hvis store dimensjoner og stor hastighet)

12 Brukes i motorkjøretøy: KERS = Kinetic Energy Recovery System: en.wikipedia.org/wiki/kers Ett eksempel: R=12 cm, M=5,0 kg, f = rpm => E = 400 kj KERS i sykler (f.eks. lagre bremseenergi) Med KERS kan trolleybusser kjøre uten strøm (Zürich):

13 Kap Rotasjon av stive legemer Vi har sett på: Vinkelhastighet = dφ/dt, vinkelakselerasjon α = d /dt Banehastighet v = r Sentripetalaks. a c = - r 2 = - v = - v 2 / r c Baneakselerasjon a t = r α Rotasjonsenergi E k = ½ I 2 Treghetsmoment I = Σ r i2 m i = r 2 dm (om en gitt akse) Ring om sentrum: I = M R 2 Skive om sentrum: I = ½ M R 2 Lang, tynn stav om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 (Alle disse gjennom massefellespunktet = cm ) Steiners sats (parallellakseteoremet): Treghetsmoment om annen parallell akse i avstand d: I = I 0 + M d 2 dvs. I 0 (akse gjennom cm) er alltid minst mulige treg.moment Vektorer: v r a v r

14 Massiv kule Ex i Y&F Eks. 6.6 i L&L Fotball el.l.

15 Kap Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ (N2-rot) stive legemer: τ = I d/dt Rulling Spinn (dreieimpuls): L (N2-rot) alle legemer: τ = dl/dt Stive legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m

16 Kraftmoment = arm x kraft x sinφ Φ Matematisk: τ = r x F r F τ

17 τ = r x F τ = r F sinφ τ r og τ F Høyrehåndsregelen: τ peker langs tommelen Φ F Evt. skrå kraft F τ plasseres gjerne langs rotasjonsaksen Husk også vektor :

18 Kap Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ (N2-rot) stive legemer: τ = I d/dt Rulling Spinn (dreieimpuls): L (N2-rot) alle legemer: τ = dl/dt Stive legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler/demonstrasjoner: gyroskop, m.m.m Forrige uke I dag Torsdag

19 Translasjon: F = m dv/dt = m a Rotasjon: τ = I d/dt = I α

20 Liknende eksempel: Atwoods (fall)maskin Øving 5 Trinsa med treghetsmoment I skal akselereres i tillegg til akselerasjon av m 2 og m 1

21 Rulling (uten å glippe) YF 10.3, LL 6.7 Translasjon v + rotasjon = rulling v cm = r ½ m v 2 + ½ I 2 = ½ m v 2 (1+c)

22 Treghetsmoment ulike skapninger: Rullbare: I = c m R 2 c =1/2 + R 1 2 /2R 2 2 c=1/2 c=1 c=2/5 c=2/3

23 Oppsummering: Rulling (dvs. uten glipping) Statisk friksjon er vesentlig for rulling, men friksjonsarbeidet er oftest neglisjerbart. (Men ved glipp/rutsjing er friksjonen kinetisk og friksjonsarbeidet vesentlig) v = r (dvs. translasjonshastighet = banefart til periferien) E k = ½ mv 2 + ½ I 2 Med I = c mr 2 og = v/r : E k = ½ mv 2 + ½ c mv 2 = ½ m v 2 (1+c)

24 Eks. 2. Hvilken ruller fortest: massiv kule ring? hul sylinder hul kule massiv sylinder stor eller liten? A Y & F, Ex B

25 Eks. 2. Hvilken ruller fortest: massiv kule ring? hul sylinder hul kule massiv sylinder stor eller liten? raskest seinest A E k = ½ m v 2 (1+c) = lik alle Størst v for den med minst c i tregh.momentet I = c mr 2 1. vannfylt flaske c =? 2. massiv kule c = 2/5 3. massiv sylinder, c = 1/2 4. kuleskall, c = 2/3 5. hul sylinder = ring, c = 1 Uavhengig av størrelsen (når rulleradius = legemets radius) Y & F, Ex B

26 Oppsummering: Rulling Rein rulling: v = r ; a = αr (dvs. translasjonshastighet = banefart til periferien) E k = ½ mv 2 + ½ I 2 = ½ m v 2 (1+c) - med I = c mr 2 og = v/r Statisk friksjon F f μ s F N vesentlig for rulling og gir vinkelakselerasjon α: F f r = Iα Spinne/skli/rutsje (ikke rein rulling): v r. Kinetisk friksjon F f = μ k F N.

27 Rulle / skli / slure på flatt underlag A B C Rulle Skli Slure v = r v > r v < r F F f F f F f =0 hvis konst v F f reduserer v (og øker ) F f øker v (og redus. ) Finne retning for F f : 1. F f i retning som prøver å oppnå rein rulling. eller 2. Sett minste verdi lik null.

28 Alle 6 muligheter for kombinasjon v på skråplan v > r Mest vanlig for bil/sykkel v ned F f Rutsje ned v < r F f v og motsatt retn. v v > r Slure nedover F f Gli nedover, forsøke komme opp v opp Rutsje oppover F f v < r F f Slure oppover v Gli oppover, forsøke komme nedover v og motsatt retn. F f i retning som prøver å oppnå rein rulling. F f

29 Rulleradius r legemets radius R M 2R = legemets diameter m 2r = rullediameter OBS: rulling: v = r E k = ½ M v 2 + ½ I 2 = ½ M v 2 + ¼ M R 2 (v/r) 2 = ½ M v 2 ( 1 + ½ (R/r) 2 ) I ½ M R 2 (hvis r << R og m << M ) c = ½ (R/r) 2 >> 1 E k,rot >> E k,trans Ruller veldig langsomt

30 Rulleradius r legemets radius R Utrulling av jojo, øving 5 rullediameter «ut»rulling om snora: v = r m M I ½ M R 2 (hvis r << R og m << M ) E k = ½ M v 2 ( 1 + ½ (R/r) 2 ) = ½ M v 2 ( 1 + c ) c = ½ (R/r) 2 >> 1 E k,rot >> E k,trans Rulles langsomt ut om snora

31 Test

32 Test r 45 o v Eksamensstatistikk: A) 4 B) 9 C) 67 Riktig D) 6 E) 83 blank 1 Tot 170 Periferihastighet r = rullehastighet v

33 Test

34 Test uendret F f =0 F f reduserer F f øker F F f f Ytre kraft (mg sinα) endrer v F f gir moment til rotasjonen

35 Oppsummering: Rulling Rein rulling: v = r ; a = αr (dvs. translasjonshastighet = banefart til periferien) E k = ½ mv 2 + ½ I 2 = ½ m v 2 (1+c) - med I = c mr 2 og = v/r Statisk friksjon F f μ s F N vesentlig for rulling og gir vinkelakselerasjon α: F f r = Iα Spinne/skli/rutsje (ikke rein rulling): v r. Kinetisk friksjon F f = μ k F N i retning som prøver å oppnå rein rulling Kinetisk friksjon gjør et friksjonsarbeid som endrer kinetisk energi Rein rulling: ser vi bort fra energitap (ingen rullemotstand). Slure/skli : friksjonsarbeidet er vesentlig.

36 Kap Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ Rulling Spinn (dreieimpuls): L Spinnsatsen (N2-rotasjon): τ = dl/dt N2-rotasjon: τ = I d/dt Stive legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m Spinn (angular momentum) Y&F L&L 5.5, 5.9, 6

37 1 Spinn for punktlegemer 1.1 Spinn ved sirkelbevegelse L = r m v v r => L = r m v L 90 o A L = mr 2 = I

38 1 Spinn for punktlegemer 1.2 Spinn ved vilkårlig bevegelse L = r m v v ikke r mv mv => L = r m v sin Φ L L A r

39 1 Spinn for punktlegemer 1.3 Spinn ved rettlinjet bevegelse L = r m v L = r m v sin Φ = r 0 mv v v v v r 0 mg r mg Φ A Hvis F = 0 er v = konst => L=konst. = mvr 0 Hvis f.eks. F = mg er τ 0 => L endres L avhengig av valgt origo A (r 0 og r avhengig av A)

40 1 Spinn for punktlegemer 1.3 Spinn ved rettlinjet bevegelse Med partikkelbanen gjennom A (origo), er r v (r 0 =0) og: L = r m v = 0 ( = fortsatt konst. hvis v konst.) v v v v A r Φ

41 2 Spinn ved rotasjon av stive legemer om sym.akse L i = r i m i v i v i r => L i = r i m i v i L i = m i r i2 90 o alle L i Stivt legeme, rot. om symmetriakse: L = Σm i r i2 = I

42 Rotasjon av stive legemer Treghetsmoment I = Σ r i2 m i (om en gitt akse) Rotasjonsenergi E k = ½ Σ m i v i 2 = ½ I 2 Kraftmoment: τ = r F stive legemer om sym.akse: Spinn (dreieimpuls) L = r m v Spinnsatsen (N2-rot): τ = dl /dt L = I τ = I d/dt (N2-rot) Ingen ytre moment (N1-rot): L = konst.

43 Eks. 5. Snelle med snor Finn aksel. a når S og θ er gitt S F N θ R + r y x 3 ukjente: F N, F f, a(=rα) F f 3 likninger: (N1y) S sin θ + F N = mg (1) (N2x) F f S cos θ = ma (2) (N2-rot) Sr F f R = Iα = (c mr 2 ) a/r (3) Trekkes mot deg ved liten vinkel θ Trekkes fra deg ved stor vinkel θ I ro ved en viss vinkel θ (cos θ = r/r) mg

44 Eks. 5. Snelle med snor S θ r F N R F f Trekkes mot deg ved liten vinkel θ Trekkes fra deg ved stor vinkel θ I ro ved cos θ = r/r mg Stive legemer i ro (statisk likevekt): Ingen translasjon => Σ F = 0 Ingen rotasjon => Σ τ = 0 ( τ = r F )» om enhver valgt akse

45 Translasjon: Rotasjon: Bevegelsesmengde (linear momentum): p = m v Spinn (angular momentum): L = r m v L = I Stivt legeme om sym.akse N2-trans: F = dp/dt Stivt legeme (konst. m): F = m dv/dt = m a N2-rot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stivt legeme om sym.akse (konst. I ): τ = I d/dt = I α F = 0 => p = konstant (N1) stivt legeme: v = konst τ = 0 => L = konstant (N1-rot) stivt legeme om sym.akse: = konst