Fiktive krefter. Gravitasjon og ekvivalensprinsippet

Transkript

1 iktive krefter Gravitasjon og ekvivalensprinsippet YS-MEK

2 Sentrifugalkraft inertialsystem S f G N friksjon mellom passasjer og sete sentripetalkraft passasjer beveger seg i en sirkelbane f v m e r roterende system S f G N A i roterende system sitter passasjer i ro kreves en kraft som kompenserer sentripetalkraft (=friksjon) sentrifugalkraft v m S e r sentrifugalkraft oppstår bare i det roterende systemet fiktiv kraft sentripetal- og sentrifugalkraft er ikke kraft-motkraft par YS-MEK

3 Corioliskraft inertialsystem roterende system B B A C A C person B dreier seg ut av skuddlinjen mens ballen beveger seg mot ham det oppstår en fiktiv kraft som avleder ballen Corioliskraft YS-MEK

4 Transformasjon i et roterende koordinatsystem vi antar A 0, 0 ma ma m v m ( r) C S Corioliskraft: C er hastighetsavhengig m v Sentrifugalkraft: m ( r ) S er posisjonsavhengig YS-MEK

5 phi [deg] epetisjon: pendel i inertialsystem radial retning: T mg cos ma v m T tangensial retning: T mgsin ma a T g sin T G pendelen beveger seg på en sirkelbane: v T a T numerisk løsning: t [s] YS-MEK

6 phi [deg] tangensial akselerasjon: Taylorrekke: sin φ = φ φ3 3! + φ5 5! a T g sin g sin 0 T sin φ φ differensialligning g tilnærming for små vinkler: sin 0 g 0 G φ [rad] ansats: ( t) Asin( t) Bcos( t) ( t) Acos( t) Bsin( t) for små vinkler: sin φ φ ( t) Asin( t) Bcos( t) ( t) g 0 g t [s] ( 0) B initialbetingelser: 0 ( 0) A 0 ( t) 0 cos( t) YS-MEK

7 diff. [deg] diff. [deg] phi [deg] phi [deg] numerisk, t = s analytisk med tilnærming sin φ = φ φ 0 = 0 φ 0 = t [s] t [s] t [s] φ = 0 = rad sin (0 ) = differanse: numerisk analytisk t [s] φ = 4 = rad sin (4 ) = YS-MEK

8 Corioliskraft på jorden vi definerer et koordinatsystem for et sted med geografisk bredde : akse: øst y akse: nord z akse: oppover vinkelhastighet: tangensial komponent mot nord radial komponent opp (nordlige halvkule) ned (sørlige halvkule) cos ˆj sin kˆ en masse beveger seg med hastighet v m v C y z m( cos ˆj sin kˆ) ( v iˆ v ˆj v kˆ) m v cos kˆ v cos iˆ v sin ˆj v sin iˆ z y y z YS-MEK

9 ocault pendel C, m v y sin v z cos C, y mv sin C, z mv cos for en lang pendel er v z 0 horisontal Corioliskraft: y C, C, y mv y mv sin sin Corioliskraft på pendelen er avhengig av geografisk bredden θ: maksimal på polen null på ekvator y z YS-MEK

10 access number: Hvor mye tid tar det før pendelen på fysisk institutt har rotert 360? y 1. mindre enn 4 timer. nøyaktig 4 timer 3. mer enn 4 timer YS-MEK

11 jorden bruker 3,9345 timer for en omdreining (siderisk døgn) pendel på Nordpolen: jorden dreier seg under pendelen i timer ĵ y θ z pendel i Oslo (θ = 60): pendel svinger i y planet z sin pendel på ekvator (θ = 0): ingen vertikal komponent z ingen Corioliskraft C, C, y mv y mv sin sin θ vinkelhastighet om z aksen er mindre, perioden lenger: h T sin h YS-MEK

12 Sentrifugalkraft på jorden sentrifugalkraft: S m ( r) sentrifugalakselerasjon: på ekvator: a S a S ( r) S på breddegrad : a S cos tyngdeakselerasjon er rettet mot jordens sentrum den resulterende akselerasjonen er generell ikke radial radial komponent: g r g 0 as cos g0 (cos ) tangensial komponent: g t a s sin cos sin YS-MEK

13 radial komponent: g r g 0 (cos ) tangensial komponent: g t cos sin siderisk døgn: T = h = s 5 s T S jordens radius: m Nordpol: Oslo (59.9): Paris (48.8): Ekvator: gr 9.83 m/s g t 0 g r m/s g t g r m/s g t gr m/s g t m/s m/s tangensialakselerasjon mot ekvator jordens radius er større på ekvator enn på polene ekv pol km km YS-MEK

14 konsekvens av utflatning: gravitasjonskraft fra solen på jorden gir et kraftmoment spinn forandrer seg i retning av kraftmomentet presesjonsbevegelse periode: 5800 a d l dt Polaris solen Vega YS-MEK

15 access number: Månens masse er 1/81 av Jordens masse. Sammenliknet med gravitasjonskraften som Jorden utøver på månen, så er gravitasjonskraften månen utøver på Jorden: A. 81² = 6561 ganger større B. 81 ganger større C. like stor D. 1/81 så stor E. (1/81)² så stor Jorden Månen m m 1 1på G r 3 1 r1 kraft-motkraft par r 1 r 1 YS-MEK

16 Newtons gravitasjonslov mellom ethvert partikkelpar i universet gjelder: r 1 r r hvor 1 1på m1m G r ˆ u r 1 ˆ u r r r 1 1 m m 1 1på G r 3 1 r1 YS-MEK

17 access number: En astronaut med masse m A = 75 kg veier W J = m A g = N på jorden. Hvor mye veier han i en romferje som befinner seg i en orbit 00 km over jordens overflate? A. W = 0 N B. W = N C. W = N på jorden: W J mj ma G m g 75 kg 9.81 m/s N A i romferjen: W J mj ma G 75 kg 9. m/s N (6380 km 00 km) romferjen er i fritt fall rundt jorden en astronaut føler seg vektløs YS-MEK

18 Ekvivalensprinsippet Newtons andre lov: ma gravitasjonskraft: G G for et legeme som befinner seg på jordens overflate: m m r 1 Vi kan bruke NL for å definere masse: m a a inertialmasse G m mg J J mg ekvivalensprinsip: a = g m a m G Vi kan bruke gravitasjonsloven for å definere masse: Alle legemer faller like rask i jordens tyngdefelt (i vakuum). m G g G gravitasjonell masse YS-MEK

19 Tankeeksperiment Hvordan vet du at du befinner deg i jordens tyngdefelt? Hvordan vet du at du at du er vektløs? YS-MEK

20 access number: Kan du bruke en heliumballong for å finne ut om du er på jorden eller i en akselerert rakett? I raketten A. stiger ballongen opp. B. synker ballongen ned. C. er ballongen i ro. YS-MEK

21 YS-MEK