Løsningsforslag Øving 4

Transkript

1 Løsningsforslag Øving 4 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 2016 Oppgave Løsning En halvsirkelformet tunnel skal bygges på bunnen av en innsjø. Vi ønsker å finne den totale hydrostatiske trykkraften som virker på taket av tunnelen. Antagelser Atmosfæretrykket virker på begge sider av taket og man kan dermed se bort fra dette. Egenskaper lik 1000 kg/m 3. Vannets tetthet er antatt å være konstant, og Analyse Vi ser på kontrollvolumet som har dimensjoner lik tunnelens horisontale og vertikale projeksjoner. De hydrostatiske kreftene som virker på de vertikale og horisontale overflatene, og tyngden av vannet inne i kontrollvolumet, kan da finnes som følger: Horisontalkraft på vertikal flate (på hver side): F H = F x = P C A = ρgh C A = ρg(h R/2)A = (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(45 m 6 m/2)(6 m 240 m) = N (på hver side av tunnelen) Vertikalkraft på horisontal flate (nedover): F y = P C A = ρgh C A = ρgh topp A = (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(45 m 6 m)(12 m 240 m) = N Tyngde av væske inne i kontrollvolumet (nedover): W = mg = ρgv = ρg(2r 2 πr 2 /2)(240 m) = (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(6 m) 2 (2 π/2)(240 m) = N Netto vertikalkraft nedover blir dermed F V = F y + W = ( )N = N 1

2 Ettersom de horisontale kreftene er av samme størrelse og motsatt rettet, vil netto vertikalkraft være nettokraften på tunnelen. Diskusjon Tyngden av vannet inne i kontrollvolumet utgjør kun 3.3 % av den totale vertikalkraften på tunnelen. Som et rimelig estimat for tunneler i dype innsjøer, kan man derfor neglisjere denne tyngden, og dermed få F V = N. Et mer konservativt estimat får man ved å beregne kraften ved bunnen av innsjøen. Dette gir F V = N. Som forventet, ligger den beregnede kraften mellom disse to estimatene. Oppgave Løsning En halvkuleformet kuppel som står på en plan flate og er fylt med vann skal løftes ved å feste et langt rør til toppen og fylle det med vann. Vannhøyden i røret som kreves for å løfte kuppelen skal bestemmes. Antagelser 1 Atmosfæretrykket virker på begge sider av kuppelen, og kan derfor utelates i utregningene. 2 Vekten av røret og vannet i røret er neglisjerbar. Egenskaper Vi lar tettheten av vann være 1000 kg/m 3. Analyse Vi lar systemet omfatte kuppelen og vannet den inneholder. Når kuppelen skal til å stige, vil reaksjonskraften mellom kuppelen og bakken være lik null. Vi tegner et fritt legeme-diagram av kreftene til systemet, og vekten av kuppelen og vannet balanseres av den hydrostatiske trykkraften nedenfra. Ved å sette disse kreftene lik hverandre får vi Fy = 0 : F V = W kuppel + W vann = ρg(h + R)πR 2 = m kuppel g + m vann g Vi løser for h og setter inn verdier h = m kuppel + m vann ρπr 2 R = m kuppel + ρ[4πr 3 /6] ρπr 2 R = (30000 kg) + 4π(1000 kg/m3 )(2 m) 3 /6 (1000 kg/m 3 )π(2 m) 2 (2 m) = 1.72 m Kuppelen kan derfor løftes ved å feste på et rør som er omtrent 172 cm langt. Diskusjon Merk at vanntrykket i kuppelen kan forandres kraftig med en liten mengde vann i det vertikale røret. To signifikante sifre er nok for dette problemet. 2

3 Oppgave Løsning Et u-rør som inneholder vann i den høyre armen og en annen væske i den venstre armen roteres om en akse nærmest den vesntre armen. For en kjent rotasjonsfrekvens hvor væskehøydene i de to armene er lik hverandre skal tettheten til væsken i den venstre armen bestemmes. Antagelser 1 Både væsken og vannet er inkompressible fluider. 2 De to fluidene møtes ved rotasjonsaksen, og det er derfor bare vann til høyre for rotasjonsaksen. Egenskaper Vi lar tettheten til vann være 1000 kg/m 3. Analyse Trykkforskjellen mellom to punkter 1 og 2 i et inkompressibelt fluid roterende i en stivt-legeme bevegelse (i samme fluid) er gitt ved hvor ω = 2πṅ = ( 2π rad rev P 2 P 1 = ρω2 2 (r2 2 r 2 1) ρg(z 2 z 1 ) )( ) 50 rev 60 s = rad/s (for begge armene i u-røret). Trykket i punkt 2 er det samme i begge fluidene, det er også trykket i punkt 1 og 1 (P 1 = P 1 = P atm ). Derfor er P 2 P 1 det samme for begge fluider. Vi ser at z 2 z 1 = h for begge fluider og uttrykker P 2 P 1 for hvert fluid V ann : P 2 P 1 = ρ vannω 2 (0 R 2 2 2) ρ vann g( h) = ρ vann ( ω 2 R2/2 2 + gh) V æske P 2 P 1 = ρ væskeω 2 (0 R 2 2 1) ρ væske g( h) = ρ væske ( ω 2 R1/2 2 + gh) Vi setter de lik hverandre og løser for ρ væske ρ væske = ω2 R2 2 /2 + gh ω 2 R1 2/2 + ghρ vann = (5.236 rad/s)2 (0.15 m) 2 /2 + (9.81 m/s 2 )(0.18 m) (5.236 rad/s) 2 (0.05 m) 2 /2 + (9.81 m/s 2 )(0.18 m) (1000 kg/m3 ) = kg/m 3 = 842 kg/m 3 Diskusjon Merk at denne innretningen kan brukes til å bestemme relative tettheter, selv om den ikke er veldig praktisk. 3

4 Oppgave 4-4 Løsning For et gitt hastighetsfelt skal vi finne ut om det eksisterer et stagnasjonspunkt. Hvis det eksisterer skal vi finne posisjonen. Antagelser Analyse 1 Strømningen er stasjonær. 2 Strømngen er todimensjonal i x-y-planet. Hastighetsfeltet er V = (u, v) = ( a 2 (b cx) 2) i + ( 2cby + 2c 2 xy ) j Ved et stagnasjonspunkt er både u og v lik null. Ved ethvert punkt (x, y) i strømningsfeltet er hastighetskomponentene u og v funnet fra ligningen over Hastighetskomponenter : u = a 2 (b cx) 2 v = 2cby + 2c 2 xy Ved å sette disse til null og løse de samtidig får vi Stagnasjonspunkt : 0 = a 2 (b cx) 2 x = b a c 0 = 2cby + 2c 2 xy y = 0 eller x = b + a c For a 0 finnes to stagnasjonspunkter som har posisjon x = (b a)/c, y = 0 og x = (b+a)/c, y = 0. For a = 0 er alle punkter på linjen x = b/c, y R stagnasjonspunkter. Diskusjon Hvis strømningen er tredimensjonal må vi sette w = 0 i tillegg for å finne posisjonen til stagnasjonspunktet. For løsning av MatLaboppgave, se MatLab LF4.m på It s Learning Oppgave 4-17 Løsning Vi skal regne ut akselerasjonen i et gitt hastighetsfelt. Antagelser 1 Strømningen er stasjonær. 2 Strømningen er inkompressibel. 3 Strømningen er todimensjonali i x-y-planet. Analyse Hastighetsfeltet er oppgitt som V = (u, v) = (U 0 + bx) i by j Akselerasjonsfeltet finner vi fra den substansielt deriverte, her i kartesiske koordinater a x = u t + u u x + v u y + w u z = 0 + (U 0 + bx)b + ( by)0 + 0 a y = v t + u v x + v v y + w v z = 0 + (U 0 + bx)0 + ( by)( b) + 0 4

5 Den tidsderiverte er her null, siden vi har stasjonær strømning. Leddene som inneholder w er også null, fordi strømningen er todimensjonal. Akselerasjonen kan skrives som akselerasjonskomponentene Eller som en vektor, Akselerasjonskomponenter : a x = b(u 0 + bx) a y = b 2 y Akselerasjonsvektor : a = b(u 0 + bx) i + b 2 y j Diskusjon Vi ser at en fluidpartikkel vil akselerere i x-retning for positive verdier av x og b. Akselerasjonsfeltet er altså ikke lik null, selv om strømningen er stasjonær. 5

6

7