Q = π 4 D2 V = π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s = m 3 /s = 3.93 l/s Pa

Transkript

1 35 Løsning C.1 Q π 4 D2 V π 4 (0.1)2 0.5 m 3 /s m 3 /s 3.93 l/s G gsρ vann Q N/s kn/s ṁ G/g 48.4/9.81 kg/s 4.94 kg/s Løsning C.2 Omregning til absolutt trykk: p abs p g + p atm p g + (p atm ) 0 ( ) mbar 4000 mbar Pa Massestrømraten: ṁ ρq π 4 ρd2 V π pm 4 ZR 0 T D2 V π ( ) (0.25)2 10 kg/s 2.36 kg/s Kommentar: Nøyaktigheten til den oppgitte Z-verdien er såpass tvilsom at det kunne egentlig holdt med to gjeldende siffer her. Løsning C.3 Massestrømratene er like hvis strømmen er stasjonær, så siden G gṁ har vi G A G B Med konstant rørtverrsnitt A og antatt ideell gass vil kontinuitetsligningen medføre: V B ρ A ρb V A ρ A A A V A ρ B A B V B p AT B p B T V A A ( ) 105 ( ) ( ) m/s 5.83 m/s ( )

2 36 c) Volumstrømratene: Q A π 4 d2 V A π 4 (0.08) m 3 /s Q B π 4 d2 V B π 4 (0.08) m 3 /s 22.6 l/s 29.3 l/s Løsning C.4 Massestrømraten: ṁ π 4 ρd2 V Strømhastighetene: V 1 π 4 ṁ ρ vann D1 2 4 π V 2 ( D1 D 2 ) 2 V m/s 1.57 m/s 998 (0.18) ( ) m/s 20.4 m/s Løsning C.5 Kontinuitetsbetingelse: Det gir: A 1 V 1 A 2 V 2, A π 4 d2 ( ) 2 ( ) 2 V 1 d2 V d m/s 10 m/s Løsning C.6 Kontinuitetsbetingelsen gir: Q 1 Q 2 + Q 3 Q 3 Q 1 ( π 4 D2 2V π ) 4 (0.2) m 3 /s ( ) m 3 /s 206 l/s Løsning C.7 Antagelsen om radielt rettet strøm, med ren halvkulesymmetri, i avstander 4-6 ganger hulldiameteren, kan være diskutabel. Men hvis vi følger den er angulære komponenter lik 0, og det er ingen vinkelavhengighet: u v r (r)ê r, a a r (r)ê r Vi definerer radien positiv innover i tanken, slik at v r blir eksplisitt negativ mens pr. definisjon Q > 0: Q 2πr 2 v r v r Q 2πr 2

3 37 Den lokalt tidsderiverte bidrar ikke i akselerasjonen, som blir rent konvektiv: Med tallverdier innsatt: a r v r t + v v r r r Q ( Q/2πr 2 ) 2πr 2 r Q 2πr 2 ( 2) Q 2πr 3 2 v2 r r r 60 cm v r m/s, a r m/s 2 r 90 cm v r m/s, a r m/s 2 Løsning C.8 Rent konvektiv akselerasjon siden ingen eksplisitt tidsavhengighet: a (u )u (u + v y )u Øyeblikkelig resultat, siden v og w er konstanter: a y a z 0 Den ikke-forsvinnende komponenten: a (u + v y )u 2a (3 y a ) b y Hastighet i punktet (3b, 4b, 0): 6 a2 b u ( 3 a b 4b ) 2 + (22 148a 12.2a Akselerasjonen er konstant og den samme i alle punkter: ( ) a 6 a2 b, 0, 0 c) Strømlinjebildet blir det samme i alle plan parallelle med y-planet. Strømlinjene er gitt ved a 6 a2 b d 3 a b y dy 2a som integrert gir: 3 4b y2 + C Dette er parabler omkring -aksen i y-planet med åpning mot positive, med C en gitt konstant for hver strømlinje, og tilsvarende i alle plan parallelle med y-planet. Fortegnene for u og v gir at strømretningen langs linjene er mot lavere -verdier for negative y, og mot høyere -verdier for positive y.

4 38 d) For et stasjonært hastighetsfelt i en inkompressibel fluid er u u + v y + w z 0 Det oppgitte hastighetsfeltet oppfyller denne relasjonen, så det kan altså i prinsippet beskrive en inkompressibel fluid. Løsning C.9 Det er ingen z-avhengighet, så strømlinjebildet blir det samme i alle plan parallelle med y-planet. Integrer strømlinjeligningen: d dy V cos θ V sin θ dy d tan θ y tan θ + C I y-planet er dette en skare parallelle linjer med stigningsvinkel θ, en linje for hver C-verdi: Løsning C.10 Hastighetsfeltet er ikkestasjonært, så de lokale tidsderiverte bidrar til akselerasjonen: u t Kî Kyĵ u Kt Kyt y (u )u K 2 t 2 (u )v K 2 yt 2 a u t + (u )u (1 + Kt2 )Kî + ( 1 + Kt2 )Kyĵ

5 39 Også her får vi samme strømlinjebilde i alle plan paralle med y-planet. Strømlinjene er gitt ved: d dy Kt Kyt ln y ln + ln C (C konstant) y C Strømlinjene er hyperbler. Strømlinjebildet er konstant i tiden og altså det samme for alle verdier av t. Hastigheten i hvert punkt øker imidlertid lineært med tiden: Løsning C.11 Fra den generelle strømlinjeligningen: d 2 y 2 dy d dy 2y y 2 ( y ) 2 1 Alle strømlinjene har samme verdi av den deriverte i krysningspunktene med linjen y c, med c en gitt konstant (som ikke er integrasjonskonstanten i strømlinjeligningen). Spesielt er kurvetangenten vertikal for c 1: krp 2c d 1 c 2 c 0 + krp 0 d c 1 krp d c 1 + krp + d c krp 0 + d

6 40 Strømlinjemønsteret må være speilsymmetrisk om y-aksen, fordi slik speiling (y y, ) medfører at dy/d skifter fortegn, men ellers ingen forandringer. Basert på ovenstående overlegninger kan vi tegne følgende skisse: Løsning C.12 Innsatt i strømlinjeligningen, og integrert, med C en konstant: 1 d dy 1 + 2t y 1 ln 1 + 2t ln y ln C y C 1/(1+2t) Bestemmelse av integrasjonskonstanten C ved å sette (, y) ( 0, y 0 ) viser at den er tidsavhengig: C y 0 1/(1+2t) 0 Ligningen for den tidsavhengige strømlinjen gjennom det vilkårlige punktet ( 0, y 0 ) blir da Strømlinjebildet er altså skalainvariant. Skissert: ( ) 1 y 1 + 2t y 0 0

7 41 Banelinjer på t-parameterform finnes ved integrasjon av hastighetskomponentene samt bestemmelse av integrasjonskonstantene C og C y : Grenseverdier og ekstremalegenskaper: u d dt (1 + 2t) d (1 + 2t)dt ln t + t 2 + ln C (t 0, 0 ) 0 e t+t2 v dv dt y dy y dt ln y t + ln C y (t 0, y y 0 ) y y 0 e t t : 0 + y y 0 + t 0 : 0 1 y y 0 1 t : 0 + y y 0 + ( ) d (1 + 2t)e t+t2 0 t 1 dt 0 2 t 1 ( ) ln ekstr ( ) y ln 1 y 0 2 Bli kvitt tidsparameteren ved å eliminere t mellom (t) og y y(t). Resultatet er ekstr ln ln y ) 2 + (ln yy0 0 y 0 eller y ln y 2 e y 0 0 y 0 I log-log-plott er altså banelinjen som går gjennom ( 0, y 0 ) ved t 0 en parabel, og også i lineært plott en krum kurve. Se figuren på neste side. 1 1 Bemerk forskjellen fra tilsvarende strømlinje gjennom ( 0, y 0 ) ved t 0, som i lineært plott er en rett linje!

8 42 Til Oppgave C.12b