Obligatorisk oppgave 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Obligatorisk oppgave 2"

Transkript

1 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved å bruke Gauss sats kan vi skrive om uttrykket Q slik at det blir lettere å løse. Dermed får vi at Q = F ndσ σ Hvis vi nå løser dette får vi at Q = Fd = Fd. = F d hvor F = x F i + y F j + z F k F = x + 2y + z + x y z F = = 4 z + x2 Q = d hvor d Q = 4 4πr 3 3 Q = 6πr 3 3 = V kule = 4πr 3 3 Vi har med dette funnet at vektorfluksen Q = 6πr 3 gjennom en kuleflate σ, hvor r er radiusen 3 av kulen. b) Da divergensen til vektorfeltet F er konstant, vil ikke resultatet endre seg dersom sentrum av kulen flyttes fra origo til et annet punkt i feltet F. Dette er fordi F uttrykker volumstrømmen, slik at divergensen til vektorfeltet F forblir 4 for alle punkter i vektorfeltet. Dersom σ flyttes til et annet punkt, vil utgående og inngående strømning endre seg, men på en slik måte at divergensen forblir 4 og vektorfluksen Q = 4V = 6πr 3. 3 c) Vi kan beregne sirkulasjonen C = F dr omkring en lukket sirkel i xy-planet ved å parameterisere kurvene. For en sirkel med radius a i xy-planet har vi at r(t) = x t y t z t = acos t asin(t) asin(t) og dr = acos t dt dr = asin(t) acos t dt. Fra dette får vi at

2 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim C = F dr = x 2y + z z + x 2 asin(t) acos t dt = x t 2y(t) + z(t) z(t) + x t 2 asin(t) acos t dt C = acos t 2 asin(t) + + acos 2 t asin(t) acos t dt = acos t asin(t) + 2 asin(t) acos t dt C = a 2 cos t sin(t) + 2a 2 sin(t) cos t dt C = 2 a2 sin(t) cos t + sin(t) cos t dt = a 2 sin(t) cos t dt = 2 a2 sin(t + t) dt = 2 a2 sin(2t) dt C = a 2 2 sin(2t) dt = a 2 2 sin(u) dt, hvor u = 2t slik at du dt = 2 dt = du 2 C = a 2 2 sin(u) du 2 = a 2 4 sin(u) du = a 2 4 cos u = a 2 4 cos 2t C = a 2 4 = a 2 a C = Vi har med dette at sirkulasjonen omkring en lukket sirkel i xy-planet med radius a er. d) Vi kan bruke Strokes sats til å kontrollere resultatet i punkt c). Strokes sats sier at σ F ndσ = Fdr λ slik at C = F ndσ, hvor n = k da k σ F = i j k x y z x 2y + z z + x 2 F = y z + x2 z 2y + z i + z x x z + x2 j + x 2y + z y x k F = i + 2x j + k = i + 2x j + k C = F ndσ = σ 2x dσ = dσ σ σ C = Dette viser at sirkulasjonen C =. 2

3 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 2 a) Vi kan finne hastighetsvektoren v gitt hastighetspotensialet φ slik at v = φ, hvor hastighetspotensialet φ = 2 x2 xy 2 y2. v = φ v = φ + φ + φ x y z v = x 2 x2 xy 2 y2 + y v = x y i + x y j + k v = x y x y 2 x2 xy 2 y2 + z 2 x2 xy 2 y2 Nå som vi har v kan vi lage et pilplott hvor x, y = (,) og x, y = (,) er tegnet inn. Anta at vi skriver et program oppave2a.m for et todimensjonalt felt. % Beregner hastigheter x=linspace(-,,5); [x,y] = meshgrid(x,x); u=x-y; v=-x-y; % Tegner vektorplott av hastighetsfeltet quiver(x,y,u,v); xlabel('x-akse'); ylabel('y-akse','fontsize',); title('oppgave 2a, vektorplott av hastighetsfeltet v','fontsize',); % Marker (,) og (,) xp=[,]; yp=[,]; hold('on'); plot(xp,yp, 'or'); Dersom vi nå kjører dette programmet vil vi få en figur hvor punktene x, y = (,) og x, y = (,) er markert med røde ringer. >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MEK\25 OBLIG2\oppgave2a.m') Figur : Plott av hastighetsvektoren v hvor punktene x, y = (,) og x, y = (,) er markert med røde ringer. 3

4 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim b) Vi kan videre vise at φ oppfyller Laplacelikningen dersom 2 φ =. 2 φ = v = 2 x 2 2 x2 xy 2 y2 + 2 x y 2 2 x2 xy 2 y2 + 2 x y i + x y j + k = y z + + = = = z 2 2 x2 xy 2 y2 = Dette viser at φ oppfyller Laplacelikninge, da 2 φ =, og vi kan med dette si at hastighetsfeltet er et Laplaceisk felt og at selve strømningsformen er potensialstrømning. c) Da φ oppfyller Laplacelikningen, er feltet divergensfritt som betyr at det finnes det en strømfunksjon ψ. Vi kan fra de tidligere resultatene se at at dette dreier seg om et todimensjonalt felt slik at at v = v i, v j T. Fra dette har vi at v i = ψ y og v j = ψ x ψ = v idy og ψ = v j dx. Løser vi fra dette utgangspunktet får vi at ψ = x y dy ψ = y x dy ψ = 2 y2 xy + f x ψ = x y dx ψ = x y dx ψ = 2 x2 xy + f y Hvor f x er en vilkårlig funksjon av x og f(y) er en vilkårlig funksjone av y. Skal disse to uttrykkene for ψ gi identisk resultat må f y = 2 y2 xy f x = 2 x2 xy Dette gir at ψ = 2 y2 xy + 2 x2 xy = 2 x2 xy + 2 y2 xy ψ = 2 y2 xy 2 x2 xy = 2 y2 x 2 2xy ψ = 2 y2 x 2 2xy Vi har med dette funnet at ψ = 2 y2 x 2 2xy. d) Strømmens stagnasjonspunktet kan finnes ved å regne ut x- og y-verdiene der v =. Dette gir v = x y x y =. Dette gir oss to likninger (I) x y = og (II) x y = Løser vi dette likningssettet vil vi finne strømmens stagnasjonspunkt. I x y = 4

5 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim x = y II x y = y y = 2y = y = I x y = x = x = Ved å løse likningssettet har vi funnet at strømmens stagnasjonspunkt er,. Da vi har løst dette kan vi videre finne strømlinjene gjennom dette punktet ved å finne én eller flere funksjoner for y. ψ, = 2 y2 x 2 2xy = 2 y2 2 x2 2xy = y 2 4xy = x 2 Vi legger deretter til 4x 2 for å lettere kunne faktorisere uttrykket. y 2 4xy + 4x 2 = x 2 + 4x 2 y 2 4xy + 4x 2 = 5x 2, hvor y 2 4xy + 4x 2 kan faktoriseres på formen slik at y 2 2xy 2xy + 2x 2 a 2 ab ab + b 2 = a b 2 Hvor y = a og b = 2x slik at y 2 2xy 2xy + 2x 2 = y 2x 2 y 2x 2 = 5x 2 y 2x = ± 5x 2 y = ± 5x + 2x Vi har med dette funnet at strømlinjene er y = 5x + 2x og y = 2x 5x. Vi kan skrive et program oppgave2d.m som sjekker dette. % Beregner hastigheter x=linspace(-,,5); [x,y] = meshgrid(x,x); v=/2*(y.^2 - x.^2)-2.*x.*y; % Beregne data for strømningslinjene som går gjennom (,) xl=linspace(-,,5); l=sqrt(5)*xl+2*xl; l2=2*xl-sqrt(5)*xl; % Tegner konturplott contour(x,y,v); xlabel('x-akse'); ylabel('y-akse','fontsize',); title('oppgave 2d, konturplott av strømningsfeltet','fontsize',); colorbar(); % Konturplott med strømlinjene tegnet inn figure(); contour(x,y,v); xlabel('x-akse'); ylabel('y-akse','fontsize',); title('oppgave 2d, konturplott av strømningsfeltet med strømlinjer','fontsize',); 5

6 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim colorbar(); hold('on'); plot(xl,l2, 'black'); plot(xl,l, 'black'); legend('contour','sqrt(5)x+2x','2x-sqrt(5)x'); Dersom vi nå kjører dette programmet vil vi få to figurer. En figur som bare viser konturene til strømningsfeltet, og en figur med strømningsfeltet samt de to strømningslinjene som ble funnet. >> run('c:\users\nicolai Solheim\Desktop\Obliger\MEK\25 OBLIG2\oppgave2d.m') Figur 2: Konturplott av strømningsfeltet Figur 3: Konturplott av strømningsfeltet med strømningslinjene for stagnasjonspunktet Vi kan fra figurene ovenfor se at strømlinjene gjennom stagnasjonspunktet vi har funnet er korrekt. e) Videre kan vi beregne fluksen langs en kurve λ, der kurven er det rette linjestykket langs med x-aksen som ligger mellom x = og x =. Normalvektoren, n, har et positiv komponent i y- retning, slik at n = j = T. Med dette har vi at Q = v nds, hvor ds = dx og y = da vi kun er interessert i fluksen av λ langs λ med x-aksen. Dette gir Q = x y x y dx = x + y dx = 2 x2 + xy = 2 y = 2 Q = 2 Fra dette har vi funnet at fluksen Q = langs linjestykket λ. 2 6

7 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 3 a) Da vi er gitt et hastighetsfelt i sylinderkoordinater ønsker vi å konvertere hastighetsfeltet til kartesiske koordinater. Hastighetsfeltet vi har er v = A ri r + (z + b)k, hvor b og A er konstanter, og r = x 2 + y 2. k-leddet er det eneste som forblir konstant, så det eneste vi trenger å endre er i r. Videre kan vi tenke oss i r = cos θ i + sin θ j slik at ri r = r cos θ i + r sin θ j = xi + yj. Med dette har vi at v = A xi + yj + (z + b)k. Vi kan med disse kartesiske koordinatene finne divergensen og virvlingen til v. Divergensen til feltet er v og virvlingen er v. div v = v = Ax + Ay + x y z div v = 3A Az + Ab = A + A + A curl v = v = i j k x y z Ax Ay A z + b curl v = A z + b Ay i + Ax A z + b j + Ay Ax k y z z x x y curl v = i + j + k curl v = Vi har med dette funnet at div v = 3A og curl v =. b) Vi ønsker nå finne volumstrømmen gjennom σ B ogσ T. Volumstrømmen Q B og Q T er gitt ved Q B = v ndσ og Q σ B T = v ndσ, hvor n = k = σ T. Vi bruker her de polare koordinatene slik at dσ = rdrdθ og Q B = Q T = a a Az + Ab rdrdθ, hvor z = Az + Ab rdrdθ, hvor z = h Dette gir at Q B = πa 2 Ab og Q T = πa 2 A h + b. c) Videre kan vi parameterisere σ s i z og θ slik at volumfluksen ut gjennom Q S kan beregnes som et flateintegral. Vi velger en enhetsnormalen med et positivt i r -komponent. Vi kan 7

8 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim parameterisere til z cos θ + sin θ, hvor z b, h og hvor θ,. Fra dette kan vi regne ut integralet som er Q s = h b v nrdθdz, hvor n i polare koordinater er. Dette gir oss at Q s = Q s = h b h b h b Ar A z + b rdθdz Ar 2 dθdz Q s = Ar 2 θ dz = 2Aπr 2 dz b Q s = 2Aπr 2 h b = 2Aπr 2 h b, hvor r = a Q s = 2Aπa 2 h b Dette viser at Q s = 2Aπa 2 h b. h d) Vi kan ved å bruke Gauss sats finne Q S. Gauss sats er definert ved Q = vd, hvor divergensen og volumet er v = Ax + Ay + x y z Az + Ab = A + A + A = 3A d Q = 3Aπha 2 = V σ = πhr 2, hvor r = a Vi har med dette at volumstrømmen gjennom sylinderen er 3Aπha 2, slik at Q B + Q T + Q S = 3Aπha 2. Fra dette kan vi finne σ S. Q S = 3Aπha 2 Q B Q T Dersom vi setter inn verdiene for Q B og Q T som vi fikk i oppgave 3b) finner vi volumstrømmen gjennom σ S. Dette gir Q S = 3Aπha 2 πa 2 Ab πa 2 A h + b = Aπa 2 3h b h b Q s = Aπa 2 2h 2b Q s = 2Aπa 2 h b Vi har fra dette funnet at Q s = 2Aπa 2 h b. e) 8

9 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 4 a) Vi kan uttrykke potensialene φ u = Ux og φ k = m ln x2 + y 2 i polarkoordinater gitt at x = r cos θ og y = r sin θ. Dette gir φ u = Ux φ u = Ur cos θ φ k = m ln x2 + y 2 φ k = m ln r2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ φ k = m ln r2 cos 2 θ + sin 2 θ φ k = m ln r2 φ k = m ln r Vi får med dette at φ u = Ur cos θ og φ k = m ln r. b) Bygger vi videre på dette kan vi finne den totale utstrømningen fra origo ved å integrere volumstrømmen over en sirkel om origo med radius r. Potensialfunksjonen, φ k, for kilden er gitt slik at φ k = m ln x2 + y 2 = m ln r. Vi kan med dette integrere med polare koordinater over en sirkel for å finne den totale utstrømningen. Q = v r da, hvor da = rdθ slik at Q = A v r rdθ, hvor vi finner volumstrømmen gitt at v = φ k v = φ k = φ k m r + φ k r θ v = ln r i r r + r v = m i r r + i θ v r = m, v r θ = θ m ln r i θ Q = Q = Q = m m r m dθ rdθ = m θ Vi har med dette vist at den totale utstrømningen fra kilden er lik m. c) Videre kan vi regne ut hastighetsfeltet v = φ u + φ k. v = φ u + φ k = φ u +φ k r + r φ u +φ k θ, hvor φ u + φ k er φ u + φ k = Ux + m ln x2 + y 2 = Ur cos θ + m ln r v = U cos θ + m r v = U cos θ + m r i r + r Ur sin θ + i θ i r U sin θ i θ 9

10 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim For å kunne bestemme strømstyrken U som en funksjon av kildestyrken m slik at stagnasjonspunktet ligger i x = og y =, må vi se på informasjonen rundt et stagnasjonspunkt. For et stagnasjonspunkt har vi at: v = U cos θ + m r i r U sin θ i θ = v r = U cos θ + m r = og v θ = U sin θ = Vi kan nå konvertere til det kartesiske systemet gitt at r = x 2 + y 2, x = r cos θ og y = r sin θ. v r = Ux + x 2 +y 2 m x 2 +y 2 = og v θ = Uy x 2 +y 2 = Da vi ønsker stagnasjonspunktet i x = og y =, får vi at U + m U = og = = U = m Vi har med dette at strømstyrken U = m dersom stagnasjonspunktet ligger i = og y =. d) For å finne strømfunksjonen ψ, sjekker vi først divergensen for å se om det eksisterer en strømfunksjon. Vi har fra tidligere at v r = U cos θ + m r og v θ = U sin θ slik at divergensen er v = r r rv r + r θ rv θ. v = r v = r v = r r ru cos θ r ru cos θ + r m r ru cos θ + m U cos θ v = U cos θ U cos θ v = r θ r θ ru sin θ ru sin θ Vi ser fra dette at hastighetsfeltet er divergensfritt. Det finnes med andre ord en strømfunksjon ψ for feltet v. Denne strømfunksjonen kan vi finne på samme måte som når vi bruker kartesiske koordinater, da divergensen er lik, men siden vi nå bruker polare må vi gjøre følgende endring i uttrykket vårt: v x = ψ y v y = ψ x ψ v r = r θ v θ = ψ r Med dette er det mulig å finne strømfunksjonen da vi får to uttrykk. ψ = v θ r og ψ = v r rθ

11 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim ψ = v θ r = U sin θ r ψ = Ur sin θ + f v r ψ = v r rθ = U cos θ + m r ψ = Ur sin θ m θ + f v θ rθ = Ur cos θ + m θ Dette gir to uttrykk for ψ, hvor hvert uttrykk har et konstantledd. ψ = Ur sin θ m θ + f v θ og ψ = Ur sin θ + f v r For at disse uttrykkene for ψ skal være like, må f v θ = og f v r = m θ Dette gir at oss at strømfunksjonen ψ = Ur sin θ m θ. Vi kan videre vise at kurven som skiller de to strømningen er gitt ved θ + r sin θ = π. Vi kan anta at kurven er konstant, slik at ψ = Ur sin θ m θ = k, hvor k er en konsant. Vi har også tidligere regnet ut at U = m. Dette gir oss r sin θ θ = k m r sin θ + θ = k m = k, bytter vi fortegn får vi at m Altså må k være lik m 2. Dette viser at kurven som skiller de to strømningen er gitt ved r sin θ + θ = π.

12 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Oppgave 5) a) Vi kan forklar kort hvorfor varmeledningslikningen i dette tilfellet forenkler seg til T = κ 2 T t x 2 gitt at varmeledningslikningen er T t = κ 2 T, hvor 2 T = 2 T + 2 T x 2 y T 2 slik at = κ 2 T t + 2 T. x 2 y 2 Da temperaturen ikke varierer på tvers av staven i y-retningen, har vi at 2 T y 2 =. Dette gir at T = κ 2 T + t x 2 T = κ 2 T t x 2 Dette viser at T = t κ 2 T = κ 2 T x 2. Vi kan også finne en tidsuavhengig løsning T s x som overholder betingelsene ovenfor og de gitte randbetingelsene. Da løsningen T s x er tidsuavhengig har vi at T = κ 2 T = t x 2 κ 2 T = κ x 2 k 2 T s x 2 = Dersom vi nå integrerer uttrykket to ganger får vi at T S = Ax + B, hvor A og B er integrasjonskonstanter. Setter vi inn for x = og x = l får vi at T s = A + B = T B = T T s = Al + T = T l A = T l T l T s x = T l T l + T. Fra dette har vi at T s x = T l T l + T. b) c) Vi kan bestemme α, gitt et tidsavhengig temperaturfelt T x, t = T s x + A sin βx e αt der T s x er løsningen fra a) og A, k og α er konstanter. Vi antar at temperaturfeltet må oppfylle 2

13 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim T = κ 2 T t x 2 slik at T x, t er en løsning av varmeledningslikningen. Dette gir T t = αa sin βx e αt og 2 T t 2 = β2 A sin βx e αt. Dette gir oss at T = κ 2 T t x 2 αa sin βx e αt = κ β 2 A sin βx e αt αa sin βx e αt = κβ 2 A sin βx e αt α = κβ 2 Vi har med dette bestemt at α = κβ 2. d) 3

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 21. desember 21 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator ottmanns formelsamling

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave)

Løsningsforslag til Øving 9 Høst 2014 (Nummerne refererer til White s 6. utgave) TEP45: Fluidmekanikk Oppgave 8. Løsningsforslag til Øving 9 Høst 4 (Nummerne refererer til White s 6. utgave Vi skal finne sirkulasjonen Γ langs kurven C gitt en potensialvirvel i origo med styrke K. I

Detaljer

Løsningsforslag Øving 12

Løsningsforslag Øving 12 Løsningsforslag Øving 1 TEP4100 Fluidmekanikk, Vår 013 Oppgave 9-89 Løsning Vi skal finne et uttrykk for trykket som funksjon av x og y i et gitt hastighetsfelt. Antagelser 1 Strømningen er stasjonær.

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum Integrasjon Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 5 Areal ved Riemann sum... 5 Areal ved trapesmetoden... 6 Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 8 Volum ved rotasjon...

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Elementær utledning av uidmekanikkens grunnligninger

Elementær utledning av uidmekanikkens grunnligninger Energi og prosessteknikk NTNU Kompendium i fluidmekanikk Elementær utledning av uidmekanikkens grunnligninger Skrevet av: Iver Håkon TEX et av: Brevik Sigbjørn Løland Siste endring: 29. januar 2013 Bore

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette? OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Statiske magnetfelt. Thomas Grønli og Lars A. Kristiansen Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 19. mars 2012

Statiske magnetfelt. Thomas Grønli og Lars A. Kristiansen Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 19. mars 2012 Statiske magnetfelt Thomas Grønli og Lars A. Kristiansen Institutt for fysikk, NTNU, N-79 Trondheim, Norge 9. mars Sammendrag I dette eksperimentet målte vi med en aksial halleffektprobe de statiske magnetfeltene

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister

Detaljer

Notater til eksamensforelesning i TMA4105

Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Åsmund Eldhuset Definitivt ikke ferdig! Dette er ikke ment som en frittstående tekst, men kun som supplement til læreboken. Hvis det er uoverensstemmelse mellom

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MEK1100 Differensiallikninger Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning i formel 3-4 spesielle

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer) 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Feltteori og vektoranalyse. Forelesninger og oppgaver i MEK1100

Feltteori og vektoranalyse. Forelesninger og oppgaver i MEK1100 Feltteori og vektoranalyse Forelesninger og oppgaver i MEK11 av Bjørn Gjevik og Morten Wang Fagerland Avdeling for mekanikk Matematisk institutt Universitetet i Oslo 214 Forord Dette kompendiet er utarbeidet

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

ü Omkrets ü Rotasjonsflate oblig1 Ma 3B h 2007 fasit.nb 2 Ldq. Vi må passe på at cos H ÅÅÅÅL>0 når 0 Relasjonen cosh ÅÅÅÅ

ü Omkrets ü Rotasjonsflate oblig1 Ma 3B h 2007 fasit.nb 2 Ldq. Vi må passe på at cos H ÅÅÅÅL>0 når 0 Relasjonen cosh ÅÅÅÅ oblig Ma 3B h 7 fasit.nb Oblig Ma 3B h 7 fasit ü Oppgave Det er ikke umiddelbart klart hvordan vi eliminerer parameteren t, men prøv å summere de kvadrerte uttrykkene og se hva det fører til: x + y = -

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

KONTIUNASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

KONTIUNASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet ide 1 av 7 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:

Detaljer

3.2. VEKTOR IDENTITETAR 45

3.2. VEKTOR IDENTITETAR 45 3.2. VEKTOR IDENTITETAR 45 (φa) = φ a + φ a, (3.16) (φa) = φ a + φ a, (3.17) (a b) = a b + b a, +a ( b)+b ( a), (3.18) (a b) = b a a b, (3.19) (a b) = a b b a a b + b a, (3.20) ( a) = a 2 a, (3.21) φ =

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Separable differensiallikninger.

Separable differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden

Detaljer

Vektorvärda funktioner

Vektorvärda funktioner Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x

Detaljer

Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk

Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Kristian Etienne Einarsrud 1 Vektorer, grunnleggende matematikk og bevegelse 1.1 Introduksjon Fysikk er en vitenskap som har som mål å beskrive verden rundt

Detaljer

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen For å tegne grafen til en likning, skal vi bruke kommandoen Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen with plots Gjør det (altså: trykk linjeskift med

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA65 -.6.7 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

Nei, jeg bare tuller.

Nei, jeg bare tuller. Eksempel En medisin skilles ut fra kroppen med en hastighet proporsjonal med mengden i kroppen. Halveringstiden er timer. Anta at en dose injiseres i en pasient hver sjette time fra et visst tidspunkt.

Detaljer

Øving 4. Kanskje litt mye å gjøre på denne øvingen, men mange av spørsmålene tar kort tid å besvare.

Øving 4. Kanskje litt mye å gjøre på denne øvingen, men mange av spørsmålene tar kort tid å besvare. FY/TFY445 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 24. Veiledning: 23. - 26. september. Innleveringsfrist: Mandag 29. september kl 4. Øving 4 Kanskje litt mye å gjøre på denne øvingen, men mange

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PRØVE 2 I FYS135 - ELEKTRO- MAGNETISME, 2004.

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PRØVE 2 I FYS135 - ELEKTRO- MAGNETISME, 2004. NOGES LANDBUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PØVE 2 I FYS3 - ELEKTO- MAGNETISME, 2004. Dato: 20. oktober 2004. Prøvens varighet: 08:4-09:4 ( time) Informasjon: Alle

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Eksamen Fag: AA6516 Matematikk 2MX Eksamensdato: 7. desember 2005 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg

Detaljer

Vektorvaluerte funksjoner

Vektorvaluerte funksjoner Versjon per 8.09.05. Parametriserte kurver Vektorvaluerte funksjoner Hans Petter Hornæs Forelesningsnotat til Matematikk 0 ved HiG, høst 005. Grafen til en kontinuerlig funksjon f av en variabel kan som

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 05.12.2008 AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elevar og privatistar / Elever og privatister Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1.

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematik 2 våren 2011 Maple-øving 1 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid med maksimalt

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009

Løsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009 Løsningsforslag til eksamen i EA04 - Fysikk, 5..009 Oppgae a) Klossen er i kontakt med sylinderen så lenge det irker en normalkraft N fra sylinderen på klossen og il forlate sylinderen i det N = 0. Summen

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M

Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 4. juni 2007. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 4. juni 2007. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA6524 Matematikk 3MX Eksamensdato: 4. juni 2007 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Oppgåva ligg føre på begge

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

INNFØRING I FLUIDMEKANIKK MEK3230/4230. Forelesninger av Bjørn Gjevik

INNFØRING I FLUIDMEKANIKK MEK3230/4230. Forelesninger av Bjørn Gjevik INNFØRING I FLUIDMEKANIKK MEK3230/4230 Forelesninger av Bjørn Gjevik Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Januar 2009 Innhold 1 Fluider og felt 1 1.1 Væsker, gasser og faste stoffer. Fluider...............

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsning eksamen R1 høsten 2009

Løsning eksamen R1 høsten 2009 Løsning eksamen R høsten 009 Oppgave a) b) f( ) 5e 3 f ( ) 5 e (3 ) 5e 35e 3 3 3 3 ( ) ln( ) g 3 3 3 g( ) ln( ) ln( ) 3 ln( ) ( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) (3ln( ) ) c) La 3 f( ) 0 0. Da er 3 f () 0 0 0 0 0 Dermed

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Matematikk 1000. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver

Matematikk 1000. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Matematikk 1000 Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Som kj er numeriske metodar ein sentral del av dette kurset. Dette vil også sette preg på eksamen. Men vi kjem ikkje til å bruke datamaskin på sjølve

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF300 Løsningsforslag 23. januar 205 Tidsfrist: 30.januar 205 Oppgave a) Gjør om til kanoniske polarkoordinater, d.v.s. (r, θ)-koordinater innenfor området r 0 og 80 < θ < 80.

Detaljer

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013

Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg eksamen TFY45/FY6 Innføring i Kvantemekanikk vår 3 Oppgåve Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154

EKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Vektorer. En overflate i et tredimensjonalt rom kan skrives som funksjonen:

Vektorer. En overflate i et tredimensjonalt rom kan skrives som funksjonen: og vektorregning Halvor Aarnes, UiO, 2014 Vektorer Innhold Vektorer... 1 Kule og kulekoordinater... 3 Skalarprodukt... 4 Vektorprodukt... 7 Vektorfelt... 9 Gradient... 10 Divergens... 11 Sirkulasjon...

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Skalar-til-farge korrespondanse. Del 5 Visualisering av skalarfelt. Regnbue-skalaen

Skalar-til-farge korrespondanse. Del 5 Visualisering av skalarfelt. Regnbue-skalaen Skalar-til-farge korrespondanse Del 5 Visualisering av skalarfelt Skalar-intervallet i datasettet korresponderer med en fargeskala s max egnbue ød til Gråtoner s min Sort/hvitt utskrift! INF340/ V04 For

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Eksamen 29.11.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 29.11.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 9..03 REA304 Matematikk R Nnorsk/Bokmål Nnorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del skal leverast inn etter timar. Del skal leverast inn seinast

Detaljer

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser?

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? I flere tilfeller er et vindu som ikke er standard ønskelig. I dette tilfellet skal vinduet under lages. Prinsippene er de samme for andre sammensatte

Detaljer