EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard formelsamling

Transkript

1 DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET EKSAMEN I: BIT260 Fluidmekanikk DATO: 15. mai 2007 TID FOR EKSAMEN: kl (4 timer) TILLATTE HJELPEMIDDEL: Bestemt, enkel kalkulator (kode C) Én valgfri standard formelsamling OPPGAVESETTET BESTÅR AV 5 OPPGAVER PÅ 5 SIDER, INKL. DENNE FORSIDEN OG ET KURVEBLAD MERKNADER: OPPGITT: Tabellverdier: g = m/s 2 ρ vann = kg/m 3 ρ luft = kg/m 3 ν vann = m 2 /s ν luft = m 2 /s (verdier ved 20 o C og 1 atm) Formeluttrykk: τ = µ du dy µ u y ΣF = Σ(ρQV ) ut Σ(ρQV ) inn Q = π 4 D2 V h f = f L D V 2 2g O sylinder = 2πrL Re = VD ν P = Γω ν = µ ρ = ( x, y, z ) u = φ u = u x + v y + w z ( u) x = w y v z ( u) y = u z w x ( u) z = x v u y ξ = u 1

2 Oppgave 1 Figuren viser opplagringen av en aksling med diameter d = 2r i et lager med indre diameter D = 2R og lengde L. Klaringen mellom aksling og lager antas å være den samme hele veien rundt, og er mye mindre enn akslingsdiameteren. Lageret er fylt av en smøreolje med viskositet µ. Akslingen roterer med vinkelfrekvensen ω = 2πf. Hastighetsdifferansen mellom overflatene på grunn av rotasjonen er rω. Oppgitte tallverdier: r = 4 cm R = cm L = cm f = 2 s 1 µ = 0.12 Ns/m 2 a) Vis at skjærspenningen ved akslingen blirτ µrω/(r r). (Vis regningen!) b) Forklar hvorfor det totale viskøse dreiemomentet blirγ = µ R r rω 2πr2 L. c) Regn ut P, energitapet pr. tidsenhet på grunn av viskositeten, med benevning W (watt). (Vis regningen!) Oppgave 2 Figuren viser en turbojetmotor sett fra flyet den er festet til. Den tar inn luft horisontalt ved standardatmosfæretrykk og 20 o C ved venstre tverrsnitt, hvor arealet er A 1, og hastigheten V 1 har størrelse lik flyets hastighet. Forholdet mellom massestrømratene for brensel og innstrømmende luft er R. Eksosen går ut av høyre tverrsnitt med hastighet V 2, fremdeles med standardatmosfæretrykk antatt. F x er den horisontale kraften fra flyet på grunn av fastspenningen av motoren, som balanserer motorens skyvkraft. Oppgitte tallverdier: A 1 = m 2 V 1 = 280 m/s V 2 = m/s R = 1 : 26 a) Regn ut vektstrømraten(ρgq) brensel for flybensinen. b) Regn ut eksosens massestrømrate(ρq) ut. c) Regn ut størrelsen av F x. 2

3 Oppgave 3 En seksjon av en modell med høyde H m av et damoverløp er plassert i en renne i et laboratorium, der vannhøyden over demningen er h m, og modellseksjonens bredde er b m. Modellforholdet er λ = H m /H p, men modellseksjonens bredde b m har ikke samme forhold til prototypens bredde b p. Volumstrømraten over demningen i modellen er Q m, og pr. breddeenhet q = Q/b. Tallverdier til bruk i punkt c): b m = 32 cm Q m = 25.6 l/s λ = 1/16 b p = m Π-teoremet gir en funksjonssammenhengφ(π 1,Π 2 ) = 0 mellom 2 dimensjonsløse grupper Π 1 = gh3 q 2, Π 2 = h H a) Vis (ta med regningen!) at volumstrømraten pr. breddeenhet, både for modellen og prototypen, er dermed gitt ved (der Φ 1 er en funksjon som må bestemmes ved eksperimenter) q = gh 3/2 Φ 1 ( h H ) b) Ved dynamisk similaritet er Π 1,p = Π 1,m og Π 2,p = Π 2,m. 1 Vis at det medfører (ta med regningen!) at q p q m = λ 3/2 c) Regn ut q p ogq p for prototypen. Oppgave 4 Et støpejernsrør med lengde L, diameter D og ruhet ǫ skal føre vann med kinematisk viskositet ν vann ved 20 o C, med volumstrømrate Q. Headtapet h f på grunn av friksjon er kjent. I denne oppgaven skal man finne nødvendig rørdiameter D når alle de andre størrelsene er kjent, dvs. et type-3 problem med iterasjon. Oppgitt: L = m ǫ st.jern = 0.25 mm Q = l/s h f = 4.0 m (forts. neste side) 1 Dette gir like Froudetall, liksom i tilsvarende løsning i oppgavesamlingen, men det trenger du ikke tenke på i denne oppgaven! 3

4 a) Finn talluttrykkene for ǫ/d, V og Re uttrykt ved D, når SI-tallverdier er innsatt for de andre størrelsene. b) Finn talluttrykket for D = D(f) når SI-tallverdier er innsatt, på formen D = konstant f 1/5. c) Finn verdien av f ved å iterere D = D(f) og Re = Re(D) sammen med Moodydiagrammet, inntil f ikke forandrer seg. Vis regningen! (Velg f. eks. f start = 0.02, midt i Moody-diagrammet.) d) Hvilken minste rørdiameterd fant du? Oppgave 5 En inkompressibel væske strømmer med et hastighetspotensial gitt i kartesiske koordinater som φ = 1 2 a(x2 +y 2 2z 2 ) (a > 0) a) Finn hastighetskomponenteneu, v og w. b) Oppfyller hastighetene kontinuitetslikningen? (Begrunn svaret ved regning!) c) Er strømmen virvlingsfri? (Begrunn svaret ved regning!) Hvordan kunne du ha forutsett resultatet? På grunn av at v/u = y/x og u 2 +v 2 x 2 +y 2 er det rotasjonssymmetri omkring z- aksen, og i det følgende er det derfor tilstrekkelig å betrakte strømmen i xz-planet: d) Strømlinjene i xz-planet oppfyller likningen dx/u = dz/w. Integrer likningen og finn et uttrykk for strømlinjekurvene i xz-planet, uttrykt ved en generell integrasjonskonstant. e) Tegn en skisse av strømlinjene i xz-planet forz > 0, med pilretninger påsatt. Hva kan det fulle 3D strømfeltet for eksempel representere? 4

5 God sommer 5