- trykk-krefter. µ. u u u x. u venstre side. Det siste forsvinner fordi vi nettopp har vist x. r, der A er en integrasjonskonstant.

Transkript

1 Løsningsforslag, MPT 1 Fluiddynamikk, vår 7 Oppgave 1 1. Bevarelse av impuls, massefart,..; k ma. Venstre side er ma og høyre side kreftene (pr. volumenhet). Substansielt deriverte: Akselerasjon av fluidpartikkel, tidsderiverte når man følger med strømmen. p - trykk-krefter. u - viskøse krefter (skjærkrefter). Begge virker på overflaten av fluidpartikkelen, fra omliggende fluidum. F - volumkrefter, typisk gravitasjon ( F ρg ). p - trykk. ρ - tetthet. u - hastighet. - viskositet.. Inkompressibelt og Newtonsk (skjærspenning proporsjonalt med hastighetsgradienter) fluidum. u u u. ρ + u + v + w + F t y z + + y z + ρ t. + ( ρu) Oppgave. Uttrykker massebevarelse; masse oppstår ikke og forsvinner ikke. 1. Strømning parallell med røraksen > u r u φ. Ligning 1) forenkles da til. Ligning ): Stasjonært > / t. u r u φ fjerner de to neste leddene på venstre side. Det siste forsvinner fordi vi nettopp har vist. På høyre side forsvinner u / φ av symmetrigrunner (finnes ingenting i problemet som kan framtvinge φ -avhengighet). u / fordi / overalt. F skal sees bort u 1 fra. Altså, ligning ) forenkler til + r r r r. Ved hjelp av hintet omskrives ligningen til r r r. Integrerer: ( p / 1 r konstant): + A r, der A er en integrasjonskonstant. Dividerer med r r 1 r og integrerer en gang til: u + Aln r + B. Hastigheten må være endelig på røraksen ( r ), men ln r når r, altså må A. På rørveggen ( r ) sier 1 heftbetingelsen at u, altså er B. Når dette settes inn, står vi igjen 1 med u ( r ) som svar. 1

2 π. Q πru dr r ( r ) ( negativ) Q u avrg π 8. dr π 1 1 π 8 π 8 Turbulent Laminær (Turbulent profil flatere på midten) I turbulent strømning fluktuerer egentlig hastigheten med tid. I profilen over må den turbulente hastigheten oppfattes som en tidsmidlet hastighet. Nær rørveggen er strømningen laminær (ikke plass til turbulens), selv om hoveddelen av strømningen er turbulent (laminært underskikt). Her må trykkgradienten i -retning være større i turbulent strømning, fordi hastighetsgradienten ( u / r ) er større. Kan se bort fra trykkgradienter på tvers av røraksen, derfor gjelder konklusjonen for røret som helhet. 5. ρu D e avrg Dynamisk similaritet. De dimensjonsløse ligningene for dette problemet inneholder bare e som parameter. Så lenge randbetingelsene er de samme, må den matematiske løsningen av alle problemer med samme eynoldstall være skalerte versjoner av hverandre. Spesielt kan ikke én rørstrømning være turbulent og en annen laminær hvis de har samme eynoldstall. To hovedgrunner til at overgangen til turbulent strømning i praksis likevel ikke skjer ved et fast eynoldstall: 1) Forskjellig (relativ) ruhet på rørveggen. ) Forskjellig hastighetsprofil på inngangen av røret. Disse to momentene ødelegger antagelsen om identiske randbetingelser. 6. Anta overgang til turbulens ved e. Gjennomsnittshastighet i 1 hovedvannledningen: u avrg e* 1. 1 m/s ρ D 1 1. Volumstrøm: Q uavrg * π *.115 * m /s. l/s

3 Q Antall sluttbrukere: sluttbrukere.1 l/s (Det skal ingen verdens ting til før det blir turbulent) 7. u avrg e* ρ D m/s 5 uavrg 8 / / N/m m fra Langevatn til Tjensvoll. Totalt viskøst trykkfall: N/m * m.7 N/m.7 *1-6 bar 8. Hydrostatisk trykkfall: ρ g h 1 kg/m * 9.81 m/s * 65m N/m 6.7 bar Trykkgradient: ( N/m ) / m 15.9 N/m eynoldstall fra: D ρ.5 e 1.7 Innsatt: 15.9 * (1. 1 )/(1 - ).5 e 1.7 e (altså turbulent med massiv margin) 6 ρ uavrgd e.11 1 e uavrg ρ D 1 1. Q.9 π.7.5 m /s 5 l/s.9 m/s (som altså kan betjene noe sånt som 5 sluttbrukere simultant) Oppgave ρu D 1. e med standard betydning av symbolene. eynoldstallet er et mål for forholdet mellom størrelsen av treghetskrefter og viskøse krefter. Ta utgangspunkt i Navier-Stokes ligning. Venstre side er treghetsleddet. Når eynoldstallet er mye større enn 1, er dette leddet mye større enn det viskøse leddet ( u ), som derfor kan Du neglisjeres. Ser bort fra volumkrefter ( F ), og Eulers ligning ρ p resulterer Dt. u r ( r ), altså er impermeabilitetsbetingelsen oppfylt u ( r ) usinφ (bortsett fra i φ, π ). Altså er heftbetingelsen ikke φ oppfylt.. Heftbetingelsen er alltid gyldig, uansett hvor stort eynoldstallet er (eksperimentelt bevist). Grenseskikt ved overflaten av faste legemer. Ved store eynoldstall er

4 Lavt trykk Høyt trykk grenseskiktet tynt, som medfører store hastighetsgradienter og derfor store viskøse krefter. (Alternativt: Lokalt eynoldstall basert på tykkelsen av grenseskiktet. Tynt grenseskikt fører til lavt eynoldstall). Viskøse krefter viktige nær overflater av faste legemer.. D 1 a), D u Krypende strømning (ingen avløsning). ρu e ρu Dominert av viskøse krefter. Hastighetsgradienten ved overflaten proporsjonal med hastigheten ( u ) Skjærspenning på overflaten proporsjonal med hastighet og viskositet, altså D u. b) D ρu k D ρ. Karakteristisk for strømningen er et laminært, u grenseskikt med avløsning, se figur. Avløsningspunktet endrer seg ikke mye med eynoldstall i det aktuelle området. Laminært grenseskikt Mesteparten av draget skriver seg fra trykkeffekter, med lavt trykk i området bak grenseskiktavløsningen, og høyt i forkant av sylinderen. Vi skal vente at trykkdifferansen mellom disse områdene (foran og bak) er omtrent proporsjonal med ρ (Bernoulli). u Uten viskøse krefter ville man ikke ha avløsning, og derfor ikke trykkdifferanse mellom oppstrøms og nedstrøms deler av sylinderen, og derfor intet drag. c) I område c blir grenseskiktet turbulent. Grenseskiktavløsning skjer seinere, slik at området med lavt trykk blir mindre, og tilhørende kraftdifferanse derfor mindre, hvis trykkdifferansen er den samme. Kraftdifferansen forårsaket av trykk dominerer draget. Draget kan bli mindre med økende hastighet hvis denne effekten av flytting av avløsningspunktet er større enn den økning som kommer av at selve trykkdifferansen øker med økende hastighet.

5 Lavt trykk Høyt trykk Laminært grenseskikt ρ u e 1 5 u /(1.*.5) 9 m/s. km/h 5