INTRODUKSJON HYDRODYNAMIKK

Transkript

1 INTRODUKSJON HYDRODYNMIKK

2 Introduksjon Elementær matematikk = π r = π 4 D real () av en sirkel som funksjon av radius (r) og diameter (D) P = π r = π D Omkrets (P) av en sirkel som funksjon av radius (r) og diameter (D) a n a i = a n+i a n ai = an i a n b n = a b n a n b n = a b n y x z = 1 y z y x θ z Sin θ = y x Forslag til algoritme for oppgaveløsing: 1. Les oppgaveteksten. Evt. tegn situasjonen 3. Evt. tegn alle kjente verdier 4. Identifiser hva som er ukjent 5. Identifiser nødvendige likninger a n i = a n i a n = 1 a n a n i = i a n P = x + y + z Pytagoras x = y + z Cos θ = z x Tan θ = y z 6. Evt. kombiner likninger 7. Løs likning for ukjent verdi 8. Sett i tallverdier 9. Regn ut svaret 10. Kontroller svaret

3 Introduksjon Elementær fysikk: Fysiske størrelser 1/3 Størrelse Symbol Enhet Kommentar Tid t 1 s (SI) = 0,017 min = 0,0003 t = 3, år Eksempel: Regnvarighet, overløpstid. Masse Lengde real Volum Hastighet kselerasjon m L, h, b D, d x, y, z V v a, g 1 kg (SI) = 1000 g = 0,001 tonn 1 m (SI) = 100 cm = 1000 mm = 0,001 km 1 m (SI) = cm = 0,0001 ha = 0,001 da 1 m 3 (SI) = 1000 l 1 m/s (SI) = cm/t = m/d = l/(s ha) Eksempel: Vann, jord, luft, betong, stål, plastikk. Eksempel: Rørlengde, høyde, vannsøyle, avstand mellom to punkter. Eksempel: Tverrsnittareal i rør, overflateareal, areal nedbørfelt, vått areal i vassdrag. Eksempel: Vannvolum, rørvolum (rørlengde multiplisert med tversnittareal). Definert som: V = L Eksempel: Vannhastighet, infiltrasjonshastighet, nedbørintensitet. Definert som: v = L t 1 m/s (SI) Eksempel: Hastighetsendring. Ved jordoverflaten virker gravitasjonen med en akselerasjon på ca. 9,81 m/s. Verdien omtales ofte som gravitasjonskonstanten (g).

4 Introduksjon Elementær fysikk: Fysiske størrelser /3 Størrelse Symbol Enhet Kommentar Vannføring Q 1 m 3 /s (SI) = 1000 l/s Eksempel: Vannføring i et rør, overvannsavrenning. Definert som: Q = V t Tetthet ρ 1 kg/m 3 (SI) = 0,001 kg/l = 0,001 g/cm 3 Vekt per volum. Også kalt densitet. Vannets tetthet er ca kg/m 3. ρ uttales «rho». Definert som: ρ = m V Kraft F 1 (kg m)/s (SI) = 1 N = 0,001 kn Eksempel: Gravitasjonskraft (70 kg 9,81 m/s = 687 N) Definert som: F = m a 1 Newton (N) er den kraft som skal til for å akselerere en masse på et kilogram en meter per sekund, per sekund. Trykk p 1 kg m/(s m ) (SI) = 1 N/m = 1 Pa = 0,001 kpa = bar = atm = 1, kp/cm Eksempel: Trykket i et rør, trykket i en vanntank, atmosfærisk trykk (1 atm = 1 bar), trykk i vakuum (0 atm). Pa = Pascale, atm = atmosfære. Definert som: p = F

5 Introduksjon Elementær fysikk: Fysiske størrelser 3/3 Størrelse Symbol Enhet Kommentar Spesifikk vekt γ 1 kg/(m s ) (SI) Definert som: = 1 N/m 3 γ = ρ g Vannets spesifikke vekt er: 1000 kg/m 3 9,81 m/s N/m 3 Dynamisk viskositet μ 1 kg/(s m) (SI) = 1 Pa s = 1000 mpa s Mål på hvor tyktflytende en veske er. Ved 10⁰C har vannet en viskositet på ca. 1, kg/(s m). Ved 0⁰C har vannet en viskositet på ca. 1, kg/(s m). Honning har en viskositet på ca kg/(s m). μ uttales «my». Kinematisk viskositet Energi υ E 1 m /s (SI) Forholdet mellom væskens dynamiske viskositet og dens tetthet :υ = μ ρ 1 kg m /s (SI) = 1 N m = 1 J = 0,4 cal υ uttales «ny». Ved Energi: Stillingsenergi, trykkenergi, kinetisk energi, kjemisk energi. J = Joule, cal = kalori. Kraft anvendt over en strekning

6 Oppsummering Formler Kanalstrømning: Nei Ja h p = 0 h p 0 Er vannet i bevegelse? Q = M R 3 I 1 Mannings Nei h s = 0 Nei Hydrostatikk Ja Hydrodynamikk Type strømning? Stasjonær (endrer seg ikke med tiden) Ja Er det frispeilstrømning? Pumpe? Ja h s = k s v g evaring av energi: Z + p ρ g = Z + p ρ g Ikke-stasjonær (endrer seg med tiden) Nei ernoullis Singulærtap? Ikke en del av kurset evaring av energi: Z + p ρ g + v g + h P = Z + p ρ g + v g + h f + h s Nei Friksjonstap? Ja Darcy Weisbach h f = f L D v g h f = 0

7 Oppsummering Formler ernoulli: Z + p ρ g + v g + h P = Z + p ρ g + v g + h f + h s Hydrostatikk (stillestående): Z + p ρ g = Z + p ρ g Friksjonstap: h f = f L D v g Singulærtap: h s = k s v g Mannings: Q = M R 3 I 1

8 KONTINUITETS- PRINSIPPET

9 Hydrodynamikk Kontinuitetsprinsippet (bevaring av masse) Q = Q v = v Q og Q er vannføringen ved pkt. og [m 3 /s] v og v er vannhastigheten ved pkt. og [m/s] og er tverrsnittsarealet ved pkt. og [m ] Q Q v v

10 Hydrodynamikk Kontinuitetsprinsippet (bevaring av masse) Eksempel 8: Ved punkt er diameteren 10 mm og vannet har en hastighet på 3 m/s. Ved punkt er diameteren 40 mm. Hva er hastigheten på vannet i punkt? Q = Q v = v v π 4 D = v π 4 D

11 Hydrodynamikk Kontinuitetsprinsippet (bevaring av masse) Eksempel 8: Ved punkt er diameteren 10 mm og vannet har en hastighet på 3 m/s. Ved punkt er diameteren 40 mm. Hva er hastigheten på vannet i punkt? v π 4 D = v π 4 D v D = v D v = v D D

12 Hydrodynamikk Kontinuitetsprinsippet (bevaring av masse) Eksempel 8: Ved punkt er diameteren 10 mm og vannet har en hastighet på 3 m/s. Ved punkt er diameteren 40 mm. Hva er hastigheten på vannet i punkt? v = v D v = 3 m/s D (0,01 m) (0,04 m) v = 0, m/s

13 ERNOULLI

14 ernoullis formel Energi-likningen for rør (vannet er ikke i bevegelse) z + p ρ g = z + p ρ g p og p er trykket ved punkt og [N/m ] ρ er vannets tetthet [kg/m 3 ] g er gravitasjonskonstanten (9,81 m/s ) z og z er geometrisk høyde ved pkt. og [m] Z Z

15 ernoullis formel Energi-likningen for rør (vannet er i bevegelse) z + p ρ g + v g = z + p ρ g + v g p og p er trykket ved punkt og [N/m ] v og v er vannhastigheten ved punkt og [N/m ] ρ er vannets tetthet [kg/m 3 ] g er gravitasjonskonstanten (9,81 m/s ) z og z er geometrisk høyde ved pkt. og [m] evaring av energi energi kan verken forsvinne eller oppstå, bare endre form. Vannet i røret har følgende former for energi: 1. Potensiell energi (kinetisk energi). Kinetisk energi (bevegelsesenergi) 3. Trykkenergi lle formene for energi har enhet meter (ekvivalent med meter vannsøyle) Z Z

16 ernoullis formel Trykkhøyde i rør Geometrisk høyde ved punkt Z Z Geometrisk høyde ved punkt

17 ernoullis formel Trykkhøyde i rør Hva skjer hvis vi setter inn små rør på tvers av strømningsretningen? Z Z

18 ernoullis formel Trykkhøyde i rør HGL Trykkhøyde ved punkt p ρ g p ρ g Trykkhøyde ved punkt Z Z

19 ernoullis formel Hastighetshøyde i rør Hva skjer hvis vi setter inn små rør med innløp i samme retning som strømningsretningen? HGL p ρ g p ρ g Z Z

20 ernoullis formel Hastighetshøyde i rør EGL Hastighetshøyde ved punkt v g HGL v g Hastighetshøyde ved punkt p ρ g p ρ g Z Z

21 ernoullis formel evaring av energi E = E z + p ρ g + v g = z + p ρ g + v g v g p ρ g EGL HGL v g p ρ g z z

22 ernoullis formel Friksjonstap pga. ruhet i røret Source: lue ison Water (014)

23 ernoullis formel Friksjonstap pga. ruhet i røret Q 1 Q Q < Q 1

24 ernoullis formel Friksjonstap Friksjonstap som følge av friksjon mellom rørveggen og vannstrømmen v g p ρ g EGL HGL v g p ρ g Z Z

25 ernoullis formel Friksjonstap Q = Q v = v v v = v g = v g Friksjonstapet medfører altså et trykktap (reduksjon i trykkhøyden) v g p ρ g EGL HGL v g p ρ g Z Z

26 ernoullis formel Friksjonstap E = E v g p ρ g EGL HGL h f v g Tap mellom punkt og p ρ g Z Z

27 ernoullis formel Friksjonstap Hastighetshøyde ved punkt Trykkhøyde ved punkt v g p ρ g E = E Z + p ρ g + V g = Z + p ρ g + V g + h f EGL HGL h f v g p ρ g Tap mellom punkt og Hastighetshøyde ved punkt Trykkhøyde ved punkt Geometrisk høyde ved punkt Z Z Geometrisk høyde ved punkt

28 ernoullis formel Energi-likningen med friksjon Z + p ρ g + V g = Z + p ρ g + V g + h f Hastighetshøyde ved punkt Trykkhøyde ved punkt v g p ρ g EGL HGL h f v g Tap mellom punkt og Hastighetshøyde ved punkt p ρ g Trykkhøyde ved punkt Geometrisk høyde ved punkt Z Z Geometrisk høyde ved punkt

29 Friksjonstap eregning via Darcy-Weisbachs formel h f = f L D v g h f er friksjonstapet (falltapet) [m] f er friksjonskoeffisienten [ - ] L er rørlengde [m] D er rørdiameter [m] v er vannhastigheten [m/s] g er gravitasjonskonstanten [m/s ] Darcy-Weisbachs formel benyttes til å beregne friksjonstapet i røret mellom to punkter. Friksjonskoeffisienten kan bestemmes ved enten Moodys diagram (metode 1) eller Colebrok-Whites formel (metode )

30 Friksjonstap Metode 1: eregning av f ved Moodys diagram

31 Friksjonstap Metode 1: Ruhet og relativ ruhet Q 1 Q ε = ruhet [mm] ε D = relativ ruhet [ ] ε D D

32 Friksjonstap Metode 1: Eksempler på ruhet for rør av ulike materialer/alder

33 Friksjonstap Metode 1: eregning av Reynolds tall Re = ρ v D μ Reynolds tall sier noe om strømningstypen (< 000 = laminær og > 4000 = turbulent) Re er Reynolds tall [ - ] ρ er tettheten til vannet [kg/m 3 ] v er vannets hastighet [m/s] D er rørdiameter [m] μ er vannets dynamiske viskositet [kg/(m s)] Vannets tetthet (ρ) er ca kg/m 3. Vannets dynamiske viskositet (μ) er ca kg/(m s) ved 0⁰C.

34 ernoullis formel Singulærtap h s = k s v g h s er energitapet på et punkt i vannstrømmen [m] k s er singulærtapskoeffisienten [ - ] v er vannhastigheten [m/s] g er gravitasjonskonstanten [m/s ] Når singulærtapskoeffisienten har en verdi på 1,0 betyr det at hele hastighetshøyden er tapt, og at all energi fra vannets hastighet er omgjort.

35 ERNOULLI EKSEMPEL 1

36 ernoulli Eksempler 1. Les igjennom oppgaveteksten Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap.

37 ernoulli Eksempler. Tegn situasjonen (trenger ikke være i målestokk) Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap. Tønne

38 ernoulli Eksempler 3. Tegn størrelser Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap. Z = m D = 0,01 m Q =? Z = 0,1 m

39 ernoulli Eksempler Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? 4. Sett opp ernoullis formel Z + p ρ g + v g + h P = Z + p ρ g + v g + h f + h s Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap. Z = m D = 0,01 m Q =? Z = 0,1 m

40 ernoulli Eksempler Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap. 5. Fjern ledd som blir 0 eller uaktuelle.. Z + 0 ρ g + 0 g + 0 = Z + 0 ρ g + v g Z = Z + v g Z = m D = 0,01 m Q =? Z = 0,1 m

41 ernoulli Eksempler Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? 6. Skriv inn likning for ukjente ledd Z = Z + v g v = Q og = π 4 D Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap. Z = Z + Q π 4 D g Z = m D = 0,01 m Q =? Z = 0,1 m

42 ernoulli Eksempler Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap. 7. Løs for ukjent parameter Z = Z + Q π 4 D Q π 4 D g = g Z Z Q π 4 = g Z D Z Q = π 4 D g Z Z Z = m D = 0,01 m Q =? Z = 0,1 m

43 ernoulli Eksempler Eksempel 1: En tønne er fylt med vann. Vannspeilet i tønnen er,0 m over bakken. Det er et hull i tønnen 0,1 m fra bunnen. Diameteren på hullet er 10 mm. Hva er vannføringen ut av tønnen? Du kan anta at vannspeilet i tønnen er konstant og at det ikke foregår noe tap. 8. Sett inn tallverdier (alt i SI) og regn ut Q = π 4 D g Z Z Q = π (0,01 m) 9,81 m/s 4,0 m 0,1 m Q = π 4 (0,01 m) m /s Q = π 4 0,01 m 6,106 m/s Q = 0,0005 m 3 /s Z = m D = 0,01 m Q =? Z = 0,1 m Q = 0,5 l/s

44 ERNOULLI EKSEMPEL 15

45 ernoullis formel Pumper Eksempel 15: To basseng har vannspeil på henholdsvis kote 10 og 97 m.o.h. Mellom bassengene går det en dykket 500 mm betongledning med ruhet,5 mm og lengde 00 m. Innløp og utløp fra bassengene har singulærtap på 0,6. Det skal plasseres en pumpe på ledningen for å pumpe 00 l/s fra det lavtliggende bassenget opp til det høytliggende bassenget. Hvilken løftehøyde må pumpen ha? nta at vannspeilene i bassengene ikke endrer seg og en dynamisk viskositet på Pa s. 1. Les igjennom oppgaveteksten

46 ernoullis formel Pumper Eksempel 15: To basseng har vannspeil på henholdsvis kote 10 og 97 m.o.h. Mellom bassengene går det en dykket 500 mm betongledning med ruhet,5 mm og lengde 00 m. Innløp og utløp fra bassengene har singulærtap på 0,6. Det skal plasseres en pumpe på ledningen for å pumpe 00 l/s fra det lavtliggende bassenget opp til det høytliggende bassenget. Hvilken løftehøyde må pumpen ha? nta at vannspeilene i bassengene ikke endrer seg og en dynamisk viskositet på Pa s.. Tegn situasjonen..

47 ernoullis formel Pumper Eksempel 15: To basseng har vannspeil på henholdsvis kote 10 og 97 m.o.h. Mellom bassengene går det en dykket 500 mm betongledning med ruhet,5 mm og lengde 00 m. Innløp og utløp fra bassengene har singulærtap på 0,6. Det skal plasseres en pumpe på ledningen for å pumpe 00 l/s fra det lavtliggende bassenget opp til det høytliggende bassenget. Hvilken løftehøyde må pumpen ha? nta at vannspeilene i bassengene ikke endrer seg og en dynamisk viskositet på Pa s. 3. Sett på mål.. k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

48 ernoullis formel Pumper 4. Sett opp ernoulli: Z + p ρ g + v g + h P = Z + p ρ g + v g + h f + h s k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

49 ernoullis formel Pumper 5. Stryk ledd som er 0 eller ikke aktuelle Z + 0 ρ g + 0 g + h P = Z + 0 ρ g + 0 g + h f + h s k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

50 ernoullis formel Pumper 5. Stryk ledd som er 0 eller ikke aktuelle Z + h P = Z + h f + h s k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

51 ernoullis formel Pumper 6. Finn likninger for ukjente ledd.. Z + h P = Z + f L D v g + k s1 v g + k v s g k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

52 ernoullis formel Pumper 6. Finn likninger for ukjente ledd.. Z + h P = Z + f L D v g + k s v g k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

53 ernoullis formel Pumper 6. Finn likninger for ukjente ledd.. Z + h P = Z + (f L D + k s) Q π 4 D g k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

54 ernoullis formel Pumper 7. Løs for ukjent parameter.. h P = Z Z + (f L D + k s) Q π 4 D g k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

55 ernoullis formel Pumper 8. estem friksjonsfaktoren f k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

56 ernoullis formel Pumper Eksempel 15: To basseng har vannspeil på henholdsvis kote 10 og 97 m.o.h. Mellom bassengene går det en dykket 500 mm betongledning med ruhet,5 mm og lengde 00 m. Innløp og utløp fra bassengene har singulærtap på 0,6. Det skal plasseres en pumpe på ledningen for å pumpe 00 l/s fra det lavtliggende bassenget opp til det høytliggende bassenget. Hvilken løftehøyde må pumpen ha? nta at vannspeilene i bassengene ikke endrer seg og en dynamisk viskositet på Pa s. 10. eregner relativ ruhet: relativ ruhet = ε D relativ ruhet =,5 mm 500 mm 9. eregner Reynolds tall (Re): Re = ρ v D μ = ρ π 4 Q D D μ = 4 ρ Q μ π D relativ ruhet = 0,005 Re = kg/m3 0,m 3 /s kg/(m s) π 0,5m Re = 5,1 10 5

57 ernoullis formel Pumper 11. Leser av friksjonsfaktoren i Moodys diagram for Re = 5, og relativ ruhet = 0,00 f = 0,030

58 ernoullis formel Pumper 1. Sett inn verdier h P = Z Z + (f L D + k s) Q π 4 D g k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

59 ernoullis formel Pumper 1. Sett inn verdier h P = 97m 10m + (0,030 00m 0,5m + 0,6) 0, m 3 /s π 4 (0,5m) 9,81 m/s k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

60 ernoullis formel Pumper 13. Regner ut h P = 87.7 m k s = 0,6 Z = 97 m k s1 = 0,6 h p =? Z = 10 m

61 ernoullis formel Pumper Eksempel 16: Tegn linjer for geometrisk høyde, trykkhøyde og hastighetshøyde for eksempel 15 og angi hvor løftehøyden til pumpen virker. h P = 87,7 m

62 ERNOULLI EKSEMPEL 6

63 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 1. Les igjennom oppgaveteksten

64 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha?. Tegn opp situasjonen

65 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 3. Sett på størrelser Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

66 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 4. Sett opp ernoullis formel Z + p ρ g + v g + h P = Z + p ρ g + v g + h f + h s Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

67 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 5. Fjern ledd som har verdi 0 eller ikke er aktuelle Z = Z v g + h f + h s Z = Z + v g + h f + h s Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

68 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 6. Skriv inn likninger for ukjente ledd Z = Z + v g + h f + h s v = Q π 4 h f = f L D D v g h s = k s v g Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

69 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 6. Skriv inn likninger for ukjente ledd Z = Z + v g + h f + h s v = Q π 4 h f = f L D D v g h s = k s v g Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? v = 0,01 m3 /s π = 1,7 m/s (0,10 m) 4 D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

70 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 6.1. Inngangsverdiene i Moodys diagram er Reynolds tall (Re) og relativ ruhet ( ε ). eregner D Reynolds tall: 6. Skriv inn likninger for ukjente ledd

71 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 6. Skriv inn likninger for ukjente ledd 6.1. Inngangsverdiene i Moodys diagram er Reynolds tall (Re) og relativ ruhet ( ε ). eregner D Reynolds tall: Re = ρ v D μ Re = 1000 kg/m3 1,7m/s 0,1m kg/(m s) Re = eregner relativ ruhet: relativ ruhet = ε D relativ ruhet = 4 mm 100 mm relativ ruhet = 0, Leser av friksjonsfaktoren i Moodys diagram for Re = 1, og relativ ruhet = 0,040 Re = 1,7 10 5

72 ernoulli Eksempler 6.3. Leser av friksjonsfaktoren i Moodys diagram for Re = 1, og relativ ruhet = 0,040

73 ernoulli Eksempler 6.3. Leser av friksjonsfaktoren i Moodys diagram for Re = 1, og relativ ruhet = 0,040

74 ernoulli Eksempler 6.3. Leser av friksjonsfaktoren i Moodys diagram for Re = 1, og relativ ruhet = 0,040

75 ernoulli Eksempler 6.3. Leser av friksjonsfaktoren i Moodys diagram for Re = 1, og relativ ruhet = 0,040 f = 0,065

76 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 7. Løs for ukjent parameter Z = Z + v g + f L D v g + k s v g Z = Z f L D + k s v g ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) Z = 10 m g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

77 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 7. Løs for ukjent parameter Z = Z f L D + k s v g Z Z = 1 + f L D + k s v g ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) Z = 10 m g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

78 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 7. Løs for ukjent parameter Z Z = 1 + f L D + k s v g g Z Z = 1 + f L D + k s v ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) Z = 10 m g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

79 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 7. Løs for ukjent parameter g Z Z = 1 + f L D + k s v g Z Z v = 1 + f L D + k s Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

80 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 7. Løs for ukjent parameter g Z Z v = 1 + f L D + k s g Z Z v 1 k s = f L D Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

81 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 7. Løs for ukjent parameter g Z Z v = 1 + f L D + k s D f g Z Z v 1 k s = L ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) Z = 10 m g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

82 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 7. Løs for ukjent parameter D f g Z Z v 1 k s = L L = D f g Z Z v 1 k s Z = 10 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

83 ernoulli Eksempler Eksempel 6: Et høydebasseng har en konstant vannhøyde på 10 m. 50 cm fra bunnen av bassenget er det plassert et utløpsrør med diameter 100 mm. Utløpsrøret er av dårlig forfatning med en antatt ruhet på 4 mm. Når vannet transporteres fra bassenget til utløprøret kan det antas at det virker et singulærtap med koeffisient 0,50. Vannets densitet er 1000 kg/m 3 og vannets dynamiske viskositet er kg/(m s). Hvis vannføringen ut av utløpsrøret skal være minimum 10 l/s, hva er da den lengste distansen utløpsrøret kan ha? 8. Regn ut L = D f g Z Z v L = 174,577 m 1 k s L = 175 m ρ = 1000 kg/m 3 μ = 0,001 kg/(m s) Z = 10 m g = 9,81 m/s L =? D = 0,1 m ε = 0,004 m k s = 0,50 Q = 0,01 m 3 /s Z = 0,5 m

84 MNNINGS FORMEL

85 Mannings formel Rektangel Q = M R 3 I 1 Q er vannføringen i kanalen [m 3 /s] «vått» tverrsnittsareal i kanalen [m ] M er Mannings tall [m 1/3 /s] R er hydraulisk radius [m] I er helningen / lengdefallet [m/m] h b

86 Mannings formel Rektangel Q = M R 3 I 1 I = y x R = P R = h b h + b y x Q = M h b h b h + b 3 I 1 h h h b b P = h + b b = h b

87 Mannings formel Trapes Q = M R 3 I 1 I = y x R = P R = 1 h b 1 b + h = 4 h b 1 b + h y I = y x x Q = M 1 h b 4 h b 1 b + h 3 I 1 h 1 1 h h b b b P = 1 b + h = 1 h b

88 Mannings formel Sirkulære rør Q = M R 3 I 1 I = y x R = P y I = y x x R = 1 8 π D = 1 π D Q = M 1 π D 3 D 4 D 4 3 I 1 Q = M 4 π D 8 3 I 1 1 D D 1 D D 1 D D P = 1 π D = 1 8 π D

89 Mannings formel Delfyllingskurver for sirkulære rør

90 MNNINGS FORMEL EKSEMPLER

91 Mannings Eksempler Eksempel 17: Et gjenåpnet bekkeløp skal dimensjoneres for å videreføre en vannføring på 1790 l/s. ekkebunnen er steinlagt og har et Mannings tall på 45 m 1/3 /s. Når bekkeløpet er fult har bekken en våtperiferi på 4 m og tverrsnitt på 1 m. Hvilket fall må bekken ha for å kunne videreføre dimensjonerende vannføring? Foto: Dronninga Landskap

92 Mannings Eksempler Q = M R 3 I 1 Q I = M R 3 R = P stein = 1 m P stein = 4 m I = M Q P stein 3 Eksempel 17: Et gjenåpnet bekkeløp skal dimensjoneres for å videreføre en vannføring på 1790 l/s. ekkebunnen er steinlagt og har et Mannings tall på 45 m 1/3 /s. Når bekkeløpet er fult har bekken en våtperiferi på 4 m og tverrsnitt på 1 m. I = 1,790m 3 /s 45m 1 3/s 1m 3 1m 3 4m 3 Hvilket fall må bekken ha for å kunne videreføre dimensjonerende vannføring? Foto: Dronninga Landskap I = 0,010m/m = 10

93 Mannings formel Kompositt-overflater Q = M ekv R 3 I 1 M ekv = P 1 3 M 1 P 1 + P + + P n + P 3 M + + P n 3 M n 3

94 Mannings Eksempler P gress = 0 m M ekv = Q flom = M ekv R 3 I 1 P stein + P gress P stein 3 M stein + P gress 3 M gress 3 M ekv = 4m + 0m 4m 0m 45m 1 3/s 3 + 5m 1 3/s 3 3 = 30 m P stein = 4 m M ekv = M ekv = 6,8m 1 3/s R = P Eksempel 18: Det antas at bekkedalen (over bekkeløpet) består av jord med lett vegetasjon og har et Mannings tall på 5 m 1/3 /s. Når bekkedalen er full har bekken en våtperiferi på 0 m + 4 m = 4 m og tverrsnitt på 30 m. R = 30m 0m + 4m R = 1,3m Hvilken flomvannføring kan bekkedalen tåle? Foto: Dronninga Landskap Q flom = l/s

95 Mannings formel Eksempler 1. Les igjennom oppgaveteksten Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s?

96 Mannings formel Eksempler. Tegn opp situasjonen Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s?

97 Mannings formel Eksempler 3. Sett på størrelser Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s? = 0,40 m h = 0,10 m M = 60 m 1/3 /s Q = 0,05 m 3 /s b = 0,0 m I =?

98 Mannings formel Eksempler 4. Sett opp Mannings Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s? = 0,40 m Q = M R 3 I 1 h = 0,10 m M = 60 m 1/3 /s Q = 0,05 m 3 /s b = 0,0 m I =?

99 Mannings formel Eksempler 5. Løs for ukjent Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s? = 0,40 m Q = M R 3 I 1 h = 0,10 m M = 60 m 1/3 /s Q = 0,05 m 3 /s b = 0,0 m I =?

100 Mannings formel Eksempler 5. Løs for ukjent Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s? = 0,40 m Q = M R 3 I 1 Q M R 3 = I 1 h = 0,10 m M = 60 m 1/3 /s Q = 0,05 m 3 /s I = Q M R 3 b = 0,0 m I =?

101 Mannings formel Eksempler 6. Finn tverrsnittsarealet Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s? = b h + 1 h b + 1 h b = 0,40 m = b h + h b = 0,0m 0,10m + 0,10m 0,40m 0,0m h = 0,10 m z = b b = 0,0 m M = 60 m 1/3 /s Q = 0,05 m 3 /s I =? = 0,03 m

102 Mannings formel Eksempler 7. Finn hydraulisk radius Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s? = 0,40 m R = P P = b + P = b + b b + h + + h b + h h = 0,10 m z = b b = 0,0 m M = 60 m 1/3 /s Q = 0,05 m 3 /s I =? P = 0,0m + 0,40 m 0,0 m + (0,1 m) P = 0,488 m R = 0,03 m 0,488 m R = 0,061 m

103 Mannings formel Eksempler 8. eregner nødvendig helning Eksempel 5: Kanalens bredde i bunn er 0,0 m og bredden i vannoverflaten er 0,40 m. Vanndybden er 0,10 m. Mannings tall for kanalen er 60 m 1/3 /s. Tverrsnittet er symmetrisk om midtlinjen. Hvilket fall i lengderetningen må kanalen ha for å kunne transportere 50 l/s? I = I = Q M R 3 0,050 m 3 /s 60 m 1/3 /s 0,03 m (0,061 m) 3 I = 0,1771 h = 0,10 m z = b = 0,40 m b = 0,0 m M = 60 m 1/3 /s Q = 0,05 m 3 /s I =? I = 0,031 m/m I = 31