Løsningsforslag Øving 3

Transkript

1 Løsningsforslag Øving 3 TEP4105 Fluidmekanikk, Høst 2017 Oppgave 3-75 Løsning En sikkerhetsdemning for gjørmeskred skal konstrueres med rektangulære betongblokker. Gjørmehøyden som får blokkene til å begynne å gli samt gjørmehøyden som får blokkene til å velte skal bestemmes. ntagelser utregningene. tmosfæretrykket virker på begge sider av demningen og kan derfor utelates i Egenskaper Tetthetene til gjørme og betongblokkene er henholdsvis 1400 kg/m 3 og 2700 kg/m 3. nalyse (a) Vekten av betongveggen per enhet lengde (L = 1 m) og friksjonskraften mellom veggen og bakken er W blokk = ρgv = (2700 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )( m 3 ) = 7946 N F friksjon = µw blokk = 0.4(7946 N) = 3178 N Den hydrostatiske kraften som virker på demningen fra gjørmen er F H = F x = P avg = ρgh c = ρg(h/2) = (1400 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(h/2)(1 m h) = 6867h 2 N/m 2 Ved å sette den hydrostatiske kraften lik friksjonskraften får vi Ffriksjon F H = F friksjon h = ρg 1 m/2 = 3178 N = 0.68 m 6867 N/m 2 (b) ngrepslinjen til den hydrostatiske kraften går gjennom trykksenteret, som er 2h/3 under den frie overflaten fordi y p = y c + I xx,c y c = h m h3 /12 (h/2) 1 m h = h 2 + h 6 = 2 3 h ngrepslinjen til vekten av demningen går gjennom midtpunktet til demningen. Ved å sette momentet om punkt lik 0 får vi M = 0 W blokk (t/2) = F H (h/3) W blokk (t/2) = (ρg 1 m/2)h 3 /3 1

2 Ved å løse for h finner vi gjørmehøyden ( ) 1/3 ( ) 1/3 3W blokk t Nm h = = 2 ρg 1 m/ N/m 2 = m Diskusjon etongdemningen vil gli før den velter. Derfor er glidning mer kritisk enn velting i dette tilfellet. Oppgave 3-77 Løsning En kvart-sirkulær luke er hengslet om sin øvre kant og kontrollerer strømmen av vann over en vegg i punktet, hvor luken holdes på plass av en fjær. Den minste kraften som kreves for å holde luken lukket når vannets høyde øker til ved den øvre kanten av luken skal bestemmes. ntagelser 1 Hengslene er friksjonsløse. 2 tmosfæretrykket virker på begge sider av luken og kan derfor utelates i utregningene. 3 Vekten av luken er neglisjerbar. Egenskaper Vi lar tettheten til vann være 1000 kg/m 3. nalyse Vi tegner et fritt-legeme diagram av kreftene på væskesøylen avgrenset av den kvart-sirkulære overflaten til luken og de vertikale og horisontale projeksjonene. De hydrostatiske kreftene som virker i vertikal- og horisontalplanet samt vekten av væskesøylen blir: Horisontalkraften på den vertikale flaten: F H = F x = P avg = ρgh C = ρg(r/2) = (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(3/2 m)(4 m 3 m) = N Vertikalkraften på den horisonte flaten (oppover): F y = P avg = ρgh C = ρgh bunn = (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )(3 m)(4 m 3 m) = N Vekten av væskesøylen per 4 m lengde (nedover): W = ρgv = ρg[w πr 2 /4] = (1000 kg/m 3 )(9.81 m/s 2 )[(4 m)π(3 m) 2 /4] = N Summen av kreftene i vertikalretning (oppover) er derfor F V = F y W = N N = N 2

3 Størrelsen og retningen på den hydrostatiske kraften som virker på overflaten til den 4 meter lange kvart-sirkulære seksjonen av luken blir F R = FH 2 + F V 2 = ( N) 2 + ( N) 2 = N tan θ = F V F H = N = θ = N Størrelsen på den hydrostatisk kraften som virker på luken er derfor kn, og angrepslinjen passerer gjennom sentrum til den sirkulære luken og utgjør en vinkel på 23.2 oppover fra horisontalen. Fjærkraften finnes ved å ta momentet om punktet, hvor luken er hengslet, og sette dette lik null M = 0 F R R sin (90 θ) F fjær R = 0 Ved å løse for F fjær finner vi fjærkraften F fjær = F R sin (90 θ) = ( N) sin ( ) = N = 177 kn Diskusjon Mange variasjoner av dette designet er mulig. Kan du tenkte deg noen av dem? Oppgave 3-90 Løsning Tettheten til en væske skal bestemmes ved å tegne målelinjer på et hydrometer når det senkes i vann og i væsken og måle avstanden mellom linjene. Egenskaper Vi lar tettheten til rent vann være 1000 kg/m 3. nalyse Et hydrometer flyter i vann i statisk likevekt, og oppdriften F som virker på hydrometeret fra væsken må alltid være lik vekten av hydrometeret, F = W. F = ρgv sub = ρgh c hvor h er høyden av den nedsenkede delen av hydrometeret og c er tverrsnittsarealet som er konstant. I rent vann: I væsken: W = ρ w gh w c W = ρ væske gh væske c Vi setter uttrykkene over lik hverandre (siden begge er lik vekten av hydrometeret) ρ w gh w c = ρ væske gh væske c 3

4 Deretter løser vi for tettheten til væsken ρ væske = h w h væske ρ w = m ( )m (1000 kg/m3 ) = 1025 kg/m 3 Diskusjon Merk at for et bestemt sylindrisk hydrometer er produktet av fluidets tetthet og høyden av den nedsenkede delen av hydrometeret konstant for alle fluider. Oppgave for forberedelse til Lab Karftmomentet om O: Med klokken: F L + M, mot klokken: F L hvor M er kraftmomenter fra oppdriftskraften, M = (γ V ) arm. Her er V volumet av neddykket legeme, arm er avstanden fra O ut til angrepslinjen. Momentbalanse: F L + (γ V ) arm = F 2L 4

5 a) Kvadratisk kloss, V = L 2, arm = 1 2 L F L + γl L = F 2L eller F γl2 = 2F 1 2 L b) Rettvinklet trekant, V = 1 2 L2, arm = 1 3 L F L γl2 1 3 L = F 2L eller F γl2 = 2F a L 3 c) Kvartsirkel, V = 1 4 πl2, arm = 4L 3π F L γπl2 4L 3π = F 2L eller 90 F γl2 = 2F a 4L 3 5