Eksamen i emnet SIB 5025 Hydromekanikk 25 nov b) Bestem størrelsen, retningen og angrepspunktet til resultantkrafta,.

Transkript

1 Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Oppgave 1. Husk å angi benevninger ved tallsvar. ρ θ I en ny svømmehall er det foreslått montert et vindu formet som en halvsylinder med radius og bredde. Vinduet er plassert som vist på figuren slik at sylinderens akse er horisontal og ligger i avstanden under vannoverflaten. Vannet har tettheten ρ. Over vannoverflaten og utenfor vinduet er trykket lik atmosfæretrykket. Det er gitt at ρ = 1kg/m 3, = 9,8 m/s, = 1,6 m, =,8 m, =,4 m. a) Finn horisontal kraft, og vertikal kraft,, fra vann- og lufttrykk som virker på vindusflaten. b) Bestem størrelsen, retningen og angrepspunktet til resultantkrafta,. c) Bestem det resulterende moment,, fra vann- og lufttrykk mot vindusflaten om en horisontal akse i veggens plan og gjennom.

2 Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Løsning oppgave 1 side 1 av 3 "Free-body-diagram" - standard teknikk: a) Vertikal kraft: Langs buen er det en trykkraft som har vertikalkomponent positiv oppover. Langs buen har trykkraften en vertikalkomponent som virker nedover. Vertikalkomponenten av kraften langs er lik tyngden av "væskevolumet". Vertikalkomponenten av kraften langs buen er lik vekten av "væskevolumet". Dvs vertikalkraften blir vekten av væskevolumet acef - abef som er lik vekten av. Dvs vertikalkraften er lik vekten av vannet inne i halvsylinderen (overraskende?) og kraften er rettet nedover. Vertikalkraften: v = b γ π / =,4 x 985, N/m = 3645 N Horisontal kraft: Lastfordelingen på flaten er gitt som et trapes ( ). Resultanten av denne lasten er lik middeltrykket x arealet. Middeltrykket over flaten er ρ = γ. Dvs = γ = 98 x 1.6 x 1.6 x b= 588 N/m x,4 m = 611 N. Vi kan imidlertid dele opp trykklasten i en uniformt- og en trekant-fordelt last: r/3 + = γ = 1544 N/m 1 = γ () = 98 x,8 x 1,6 = 1544 N/m (kraft pr bredde-enhet) Sjekker horisontalkraften: = ( 1h + ) x = (γ (h-r) r + γ r r) x = γ (OK!) b) Resultant kraft: R = ( + v ) 1/ = 6953 N/m x.4 m = N Retning: tg α = v / =,393. α = 1,4 o "Angrepspunktet" i sylinderaksen: pkt midt mellom endeveggene. α c) Angrepspunktet for vertikalkraften er i flatesenteret for halvsirkelen. Med origo i sylinderaksen. aksen horisontal og -aksen vertikal, får vi fra Tabell C.1 i P&W: Angrepspunktet for vertikalkraften: = 4r/(3π) =.34 m, = m. Angrepspunktet for 1 (uniformt fordelt last): 1 = m, 1 = m. Angrepspunktet for (trekantfordelt last): = m, = -r/3 = -,8/3 = -,67 m Angrepspunktet for : Momentlikhet om : x z = 1 x z 1 + x z z = x z / = - /(3) = m, = -,133 m. Moment om A: = ( 1 x r + x (r + r/3) ) x - x = (1544 x x 1.67) x x b x.34 = 7 Nm/m x.4 m = Nm = ( x (z + ) - x ) = (588 x x (.8 +,133) x x.34) = 7 Nm/m x.4 m = Nm

3 Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Løsning oppgave 1 side av 3 "Free-body-diagram" - mer effektiv teknikk P G R* α Vi betrakter likevekten av det halvsylinderformede væskelegemet som vinduet avgrenser. Kreftene mot de to halvsirkelformede endeflatene er like store, men motsatt rettet og opphver hverandre. Resultanten R* av reaksjonstrykket fra vindusflaten er motsatt rettet den søkte resultanten R mot vindusflaten. Vi forutsetter da at det bare tas hensyn til overtrykket fra vannet siden atmosfæretrykket også virker utenfor vinduet. R* må altså holde likevekt med tyngden G og resultanten P av overtrykket på den plane flaten. a) Horisontal kraft på veggen: 98 1, 6, 4, 8 611, N Vertikal kraft på veggen: 1 1 =, 5 98 π, 8, 4 = 3644,9 N 1 b) Resulterende kraft: = + = γ 4 + π = 64687,5 N 4 Trykkraften på hvert flateelement er rettet normalt sylinderflaten og går derfor gjennom sylinderaksen. Resultanten må derfor virke langs en linje gjennom midtpunktet på sylinderaksen. Vinkelen til linja er gitt ved α = 1 tan = tan 1 (, 393) = 1, 4 c) Resulterende moment om A finnes enklest ved å innse at resultant krafta virker i midtpunktet på sylinderaksen. Vi dekomponerer den i en vertikal komponent og en horisontal komponent. Vertikalkomponenten gir ikke noe moment om A. Horisontalkomponenten gir et moment gitt ved: 48169, Nm

4 Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Løsning oppgave 1 side 3 av 3 Alternativt kan løsningene finnes ved direkte integrasjon: θ θ Overtrykk: ( cos ) Flateelement: Delkraft fra overtrykket (en vektor): Horisontalkraft: sin ( cos ) sin cos cos / 4 Vertikalkraft: cos ( cos ) cos sin / sin / 4 ( ) Momentet om : ( cos ) sin ( cos ) ( cos ) cos sin sin cossin cossin cos sin cossin cos sin moment fra horisontalkomponent moment fra vertikalkomponent sin cossin cos cos / 4 θ

5 Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Oppgave Illustrasjon av en bølgekam og fasehastighet 6m ytre innseilingskanal b A =1m b B havnen Stasjon A Stasjon B I denne oppgaven skal du utrede bølgeforhold i tilknytning til prosjektering av en havn. Bølgeforholdene på dypt vann utenfor havneområdet gitt ved: Bølgehøyde 5 og bølgeperiode 18. ( er bølgeamplityden på dypt vann). Tyngdens akselerasjon = 9,8 m/s og sjøvannets tetthet ρ = 15 kg/m 3 og kinematisk -6 viskositet 1.31 m / s. Husk å angi benevninger ved tallsvar. a) Bestem bølgelengden, fasehastigheten og gruppehastigheten til bølgene på dypt vann. b) Når bølgene forplanter seg inn mot kysten endres bølgelengde, fasehastighet, gruppehastighet og bølgehøyde, mens bølgeperioden er konstant. Anta at bølgene forplanter seg vinkelrett inn mot innseilingsåpningen. Se skissen. Ved innløpet til havneområdet (Stasjon A) og utenfor er det mudret slik at vanndypet er 15 meter i hele ytre innseilingskanal. Bestem bølgelengden, fasehastigheten og gruppehastigheten til bølgene i dette området. c) Bestem bølgenes midlere energitetthet ved Stasjon A når det er gitt at bølgehøyden der er H A = 8 m. Bestem også hvor mye bølgeenergi totalt som forplanter seg inn i havneområdet pr tidsenhet i gjennomsnitt. d) Utenfor seilingsinnløpet i et område der dybden overalt er 15 m D skal det settes opp seilingsmerker. Disse er stålrørkonstruksjoner utført som en tripod med en vertikal søyle øverst påmontert lys og reflektor. Se skisse. Beregn kraften, D(t), på en liten lengde av den vertikale søylen 5 m under middelvannstand når bølgehøyden er 5,6 m og bølgeperioden 18 s. Hvor stor blir maksimalverdien av kraften? Stålsøylas radius R =,15 m. ikke i skala

6 Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Løsning oppgave side 1 av a) Dypt vann: Bølgelengden: = 98 =, π π 18 = 55,3 m Forplantningshastigheten: = / = 55, 3/ 18 = 8, m / s 1 Gruppehastigheten: = = 14, m / s b) Bølger ved Stasjon A: 15 m vanndyp. Antar grunt vann: = = 9, = 18, m Sjekk: / 15 / 18. = 1/ 14,5. Dvs grunt vann antakelsen ikke gyldig. Beregner inngangsdata til Tabell C-I: / /, = =,97 Fra Tabell C-I: / =, 71 Bølgelengden: = /, 71 = 11,3 m Forplantningshastighet: / 11, 3/ 18 11,7 m / s Gruppehastighet: Fra tabell C-I: =, 3931 =, = 11, m/ s Fra formel: , 3 15,, 1, 99 sinh 11, 3 15 m / s c) Energi: 1 Midlere energitetthet: Formel 7.1:, 5159, J/m Total energitransport inn i havneområdet i gjennomsnitt: Formel 7.14 gir midlere transport pr lengdeenhet bølgekam. Total energitransport blir dermed: 83611, 1 88, 41 6 J/s.

7 Eksamen i emnet SIB 55 Hydromekanikk 5 nov 1999 Løsning oppgave side av d) Ved beregning av krefter må vi sjekke Keulegan - Carpenter tallet,. For bølgelastberegninger benyttes lokal partikkelhastighetamplityde,. cosh sinh,, 97, slår opp i Tabell C-I: cosh,,, slår opp i Tabell C-I: sinh, 446, 46 ( ), , 974, , 446 π 8 14,, 18 =, =, m/s = = 13, 5 46, 3, Siden K> må vi benytte Morisons formel for beregningene. Antar glatt søyle. Må bestemme Reynoldstallet: , 15, 5 Re = = = ν 13, 1 Fra figur 8.6 og 8.7 i kompendiet leser vi av,5 og 18,. I tillegg trengs akselerasjonsamplityden: = ω = π,, = m/s Vi kan nå skrive: () = () = 18, 15 π, 15, 76 cos( ω) +, 5 15, 15, sin( ω) sin( ω = 99, 1 cos( ω) + 37, 1 sin( ω) sin( ω) () Maksimum kraft finnes ved derivasjon: () ( ) = ω 99, 1sin( ω) + 37, 1 sin( ω) cos( ω) ω sin( ω) = eller π () = 99, 1 cos( ω) = =, 133 ω = ± 1, 437 rad 744, Vi ser lett at sin( ) ikke gir størst kraft siden dragleddet dominerer. Max kraft: max = 99, 1 cos( 1, 437) + 37, 1 sin ( 1, 437) = 99, , 1, 98 = 1, , 5 = 378,4 N /m