GRUNNLAG HYDROSTATIKK

Transkript

1 RUNNLA HYDROSTATIKK Dette dreier seg om stille vann, (ingen strømning) I stille vann er det ingen skjærkrefter i væsken, bare trkk Hdrostat. trkkrefter står normalt på de flater de virker på Trkket i et gitt punkt er likt i alle retninger Trkk relativt til p atm brukes ofte: p rel =p- p atm ( gage pressure ) Trkket er likt for alle punkt på samme dp z=z 0 (Nemlig p rel = ρgz 0 ) 1

2 Resultant av hdrostatisk trkk KRUMME FLATER Vi kan som for faste legemer bruke likevektsbetraktninger for deler av væsken. Må da velge ut de aktuelle delene på en snedig måte! Figuren viser en væskeflt tank. (Bredde: 1 m) H H H R R R Vi skal finne kreftene på luka. Den danner en kvart sirkel. Vertikal kraft mot luka finnes da ved likevektsbetraktning. F v =(vekten av væska)=γ (HR-π R 2 /4) Horisontal kraft mot luka finnes ved å betrakte likevekt av det antdete nederste væskevolumet i figuren. Trkk ved bunnen: γ H, Trkk øverst i aktuelt volum: γ (H-R), F H = 0.5{γ H+γ(H-R)}R= γ R (H-R/2) 2

3 KRAFT & AREALSENTER, (plane flater) matematisk metode Hvis bredden av flaten vinkelrett på papirplanet varierer, så lønner det seg oftest å bruke en mer matematisk preget metode. da måles langs flaten, med origo i vannoverflaten. -aksens vinkel med horisontalen er Trkket for en gitt -verdi: p= γ sin Arealet av en liten del av flaten på dp til (+d): da Kraft på dette arealet: df = p da = γ sin da Kraft på hele flaten: F = γ sin da = γ sin S (hvor A S = da ) A Arealsentret ca er definert ved S= ca A slik at F= γ sin ca A Trkket i arealsentret er: p ca =γ ca sin Dermed: F=p ca A 3

4 TYKKSENTER, matematisk metode da Avstanden til trkksentret: cp (Måles fra =0, dvs. fri overflate) Momentet om fri overflate (Husk p= γ sin ) 2 M0 = df = pda= γ sin da = γ sini A A A hvor I = A 2 da er andre arealmoment 2. arealmoment om fri overflate, I, kan uttrkkes via cp og I 0 hvor I 0 som er 2. arealmoment om egen akse, kan finnes fra tabeller, o.l. I følge parallellakseteoremet (Steiners sats): I=I 0 + cp2 A Trkksentret er gitt ved M 0 = cp F, slik at vi kan finne cp av cp 2 ( I0 + caa) M γ sin I = = = + F A A 0 0 ca γ sin ca ca 4

5 OPPSUMMERIN: Kraft og angrepspunkt på en plan flate Kraft på plan flate: F=p ca A p ca :trkk i arealsentret A: platens areal Avstanden til resultantens angrepspunkt (trkksentret) cp = + ca Ica A ca cp : avstand fra vannflate til trksentret I ca : 2. arealmoment om egen tngdeakse 5

6 OPPDRIFT Figuren viser et legeme nedsenket i vann Det er hdrostatisk vanntrkk overalt rundt legemet Vi betrakter et vannvolum av samme form som legemet De samme hdrostatiske trkk vil opptre her også Disse trkkreftene må være i likevekt med vekten av det betraktete vannvolumet Trkkreftene på legemet gir altså en resultant lik vekten av det fortrengte væskevolumet: Oppdriften 6

7 STABILITET (1) x Oppdriften, ρg V, virker i oppdriftssentret Vekten av skipet angriper i skipets tngdepunkt, (Vekten er lik ρg ) V Stabilitet undersøkes ved å rotere skipet en liten vinkel. Vi får da et krengende moment fra vekt og den opprinnelige oppdriftskraften. (Se neste figur.) ρg V ( - ) sin ρg V ( - ) Men pga at formen på neddkket legeme endrer seg, får vi en økning av oppdriftsvirkningen på høre side, og en minking på venstre side, dvs. oppdriftssentret fltter seg mot høre. Dette tas hensn til i det følgende: 7

8 STABILITET (2) Vi skal regner på det opprettende moment av endringen av formen på oppdriftsvolumet: b(x)dx dv x Endringen av oppdriftsvolumet utgjøres av de to kilene på figuren. Disse er like. Innenfor den kurven hvor vannoverflaten berører skipssiden er vannplanarealet. I lengderetningen av skipet, dvs. ut av papirplanet, er bredden b(x) gitt fra vannplanarealet, slik at vi har da=b(x)dx 8

9 STABILITET (3) dv da x Vi hadde da=b(x)dx Tihørende volum: dv=x tan da x da M Momentet fra dette volum blir: dm x ρ g dv = ρ g x 2 da Integrerer: M ρ g x 2 da = ρg I hvor I VP er andre arealmoment av vannplanarealet. Krengende moment (fra tngde og oppdrift),mindre enn opprettende moment fra vannplanarealet: A VP ρ g V( - c ) < ρ g I VP eller: Ordner, og innfører metasenterhøden : = + I V > M VP I VP V > Metasentret må ligge over tngdepunktet! Stabilitet.MOV 9