EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes Berner Larsen Lisa Lorenten Vigdis Petersen ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant legeme R i første kvadrant er avgrenset av hperblene =, =, = og =. Innfør ne variable u = og v =, og bruk dette til å finne massen m = δda til R når massetettheten δ er proporsjonal med kvadratet av avstanden til origo (proporsjonalitetsfaktor k). R Hjelpemidler: ensuren faller i uke 5. EKAMEN I FAG IF55 MATEMATIKK Fredag. mai Tid: 9: : B - Tpegodkjent kalkulator med tomt minne. - Rottmann: Matematisk Formelsamling. Oppgave skal besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så me tekst og mellomregning at resonnementet kommer tdelig frem. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. Oppgave La T være legemet i første oktant begrenset av koordinatplanene =, =, = og planet + + =. Hvilke(t) av integralene nedenfor gir volumet av T? Oppgave I et punkt P (,, )påflaten = er tangentplanet parallelt med planet =. FinnP og ligningen for dette tangentplanet. Oppgave 5 La R væredetplaneområdet i første kvadrant som er begrenset av -aksen, -aksen og kurven / + +5 =, randen inkludert. Finn største og minste verdi av funksjonen f(, ) = over området R. Oppgave 6 Kurven er gitt ved r(t) = costi + costj +sintk for t π. a) Bestem følgende størrelser i et vilkårlig punkt på kurven: enhetstangentvektoren T krumningen κ (i) (iii) ( ) d d d d d d (ii) (iv) ( ) d d d ( )d d b) Vis at er skjæringskurven mellom en kuleflate og et plan. Bestem sentrum og radius i sirkelen. Oppgave Finn og klassifiser de kritiske punktene til funksjonen f(, ) = +.

2 IF55 Matematikk ide av Norges teknisk naturvitenskapelige universitet ide av I denne oppgaven kan du få bruk for at cos θdθ= θ sin θ cos θ + cos θ sin θ +. La T være legemet begrenset av paraboloidene = + og = ( ). a) Vis at projeksjonen av T i -planet er en sirkelskive, og finn volumet av T. b) La være den delen av overflaten til T som ligger på paraboloiden = ( ), og la være den delen som ligger på paraboloiden = +.Både og er orientert slik at enhetsnormalen n har positiv -komponent. La videre vektorfeltet F være gitt ved F = i + j + k. Finn fluksen til F gjennom flatene og, det vil si, beregn flateintegralene F n d og F n d. c) Vektorfeltet G er gitt ved G = e sin i + j k. Beregn kurveintegralet (linjeintegralet) G dr (= G T ds) der er skjæringskurven mellom de to paraboloidene, orientert mot urviseren sett ovenfra. Hint: Kurven ligger i et plan. Lisa Lorenten Vedlegg: Formelliste Hjelpemidler: EKAMEN I FAG IF55/7 MATEMATIKK /A Tirsdag. august Tid: 9: : ensurfrist:. september. B - Tpegodkjent kalkulator med tomt minne. - Rottmann: Matematisk Formelsamling. Oppgave skal besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så me tekst og mellomregning at resonnementet kommer tdelig frem. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. Oppgave Gitt vektorfeltet F = i + j + k. For hvert av alternativene (i) (iii) nedenfor angi med ja eller nei om det er lik fluksen F n d til F ut gjennom kuleflaten med senter i origo og radius a>: (i) π a a r a r r cos θddrdθ iii) π π a (ii) a π π ρ sin ϕ cos θdρdϕdθ ρ sin ϕ cos θdθdϕdρ

3 IF55/7 Matematikk /A ide av IF55/7 Matematikk /A ide av Oppgave Gitt vektorfeltet F(, ) =(e + e +)i +(e + e +)j. a) Vis at F er et konservativt vektorfelt. Bestem en potensialfunksjon for F, det vil si, bestem en funksjon f(, ) slik at f = F. b) Beregn arbeidet W = F T ds (= F dr) som F utfører ved å bevege en partikkel fra punktet (, ) til punktet (,e π ) langs kurven : r(t) =e t sin ti + e t cos tj, t π. c) amme spørsmål som i b), men med vektorfeltet F erstattet med Oppgave 6 Vis at La være sirkelen + =, orientert mot urviseren. La videre f(, ) = og g(, ) = + +. f(, ) d + g(, ) d =π ved å regne ut linjeintegralet direkte. La R være området begrenset av sirkelen. Forklar hva som er galt med følgende resonnement, og hvorfor: Ved Greens teorem har vi f(, ) d + g(, ) d = R ( g f ) da =. G(, ) = i j. Legemet T er avgrenset av flatene Oppgave En flate = f(, ) i rommet har tangentplan = +5 i punktet (,, ). Finn den retningsderiverte til f i punktet (, ) i retningen i + j. La L være skjæringslinjen mellom tangentplanet i (,, ) og planet =. Finn vinkelen som L danner med -planet. Oppgave Finn de høeste og laveste punktene (det vil si, de med størst og minst - koordinat) på skjæringskurven mellom flatene + = og ln( ) ( + ) =. Oppgave 5 La R være området i -planet begrenset av kurven = e og de rette linjene =, =og =. Beregn dobbeltintegralet da. R : = +5 og : = +( +). a) Finn -koordinaten til sentroiden (tngdepunktet) til T når T har massetetthet δ(,, ) =. b) La være skjæringskurven mellom og, orientert mot urviseren sett ovenfra. Beregn linjeintegralet F T ds (= F dr) der F(,, ) = i + j +( + 6 ) k.

4 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Harald Hanche-Olsen Lisa Lorenten Vigdis Petersen ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk 5 ide av Oppgave Bruk Lagranges metode til å finne største mulige verdi for funksjonen f(,, ) = når (,, ) skal ligge på ellipsoiden a + b + c =. Her er a, b og c gitte positive konstanter. Hjelpemidler: B EKAMEN I FAG IF55 MATEMATIKK Mandag. mai Tid: 9: : Tpegodkjent kalkulator med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Oppgave Et fl reiser gjennom øvre luftlag der temperaturen i (,, ) ert (,, ). Finn temperaturendringen per minutt rundt flet ved et tidspunkt der T =, T =, T = målt i /km, når flets fart er km/h og det flr i retningen 7, 5,. Oppgave Finn en normalvektor til flaten ensuren faller i uke 5. Oppgave skal besvares uten begrunnelse. Alle andre svar skal begrunnes, og det må være med så me mellomregning at fremgangsmåten fremgår tdelig av besvarelsen. var tatt rett fra kalkulator godtas ikke som fullgode svar. i punktet (,, ). Vis at tangenten til kurven : +cos = =lnt, = t ln t, = t for <t< i punktet (,, ) ligger i tangentplanet til i punktet (,, ). Oppgave Oppgave 5 En planlagt kirke har form som en sirkulær slinder + =8 som står på planet med tak = 5 + for +. A B a) Beregn kirkerommets volum V. b) Valg av takbelegg er avhengig av hvor bratt taket er. Kan det brukes et belegg som tåler en helning på maksimalt 6 med horisontalplanet? P Hvilken av de 6 ligningene nedenfor har graf som vist i figur A? Hvilken av de 6 ligningene nedenfor har graf som vist i figur B? (i) + = (iv) = (ii) + = (v) + = (iii) + + = (vi) + = Oppgave 6 Et legeme T er satt sammen av to kompakte deler A og B. DelA er en rett sirkulær kjegle med høde, grunnflateradius og massetetthet /.DelB er en halvkule med radius og massetetthet /. Delene er festet sammen som vist påfiguren.lap betegne toppunktet i spissen av A. Finn avstanden mellom P og tngdepunktet til T. A B

5 IF55 Matematikk 5 ide av være gitt. a) Beregn div F. La vektorfeltet F =( +cos)i arctan j + ( + + ) k Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Harald Krogstad Dag Olav Kjellemo ide av Vedlegg: Formelliste b) Bestem fluksen F n d opp gjennom den delen av flaten = e der. Oppgave 8 La vektorfeltet Hjelpemidler: B EKAMEN I FAG IF55 MATEMATIKK Onsdag 8. august Tid: 9: : Tpegodkjent kalkulator med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. G = i + j +( )k være gitt, og la være den delen av skrueflaten gitt i slinderkoordinater ved = θ der r og θ π, ogvistpå figuren nedenfor. Bruk tokes teorem til å beregne curl G n d der normalvektoren n på peker oppover. 6 5 ensuren faller. september. Alle svar skal begrunnes, og det må være med så me mellomregning at fremgangsmåten fremgår tdelig av besvarelsen. var tatt rett fra kalkulator godtas ikke som fullgode svar. Oppgave Funksjonen f er definert ved f(, ) = + +. a) Finn og klassifiser de kritiske punktene til f. b) Finn største og minste verdi for f(, ) påområdet gitt ved Er disse verdiene også maksimum og minimum for f(, ) i hele planet? Oppgave En flate er gitt ved + + =6. La T være tangentplanet til i et punkt (a, b, c) på. Finn ligningen for T. Punktene (a, b, c) på som er slik at punktet (,, ) ligger på T, danner en kurve. Hvilken kurve?

6 IF55 Matematikk 8 8 ide av IF55 Matematikk 8 8 ide av Oppgave Finn volumet til legemet avgrenset av flaten gitt i kulekoordinater ved Oppgave 6 Vektorfeltet F er gitt ved ρ = cos ϕ. F(,, ) = i + j +( + ) k. La legemet T være halvkulen gitt ved + +,. La være overflaten til T,oglan være utadrettet enhetsnormal til. a) Finn div F, ogbestem F n d. b) La være den krumme delen av, ogbestem F n d. Bestem de deriverbare funksjonene f og g slik at vektorfeltet gitt ved F(,, ) = cos i + g() j + ( f()+ ) k Oppgave Beregn trippelintegralet ved å btte om integrasjonsrekkefølgen for og. sin d d d er konservativt og Oppgave 8 La (,,) (,,) F(,, ) = i ( + ) j, F T ds =6. 5 Oppgave 5 Undersøk om funksjonen definert ved for (, ) (, ), f(, ) = + for (, ) =(, ), er kontinuerlig i origo. Undersøk videre om de partiellderiverte f (, ) og f (, ) eksisterer. la være den delen av paraboloiden =som ligger over planet + =,ogla være skjæringskurven mellom planet og paraboloiden. Kontroller at tokes teorem holder for F og ved å beregne begge integralene F T ds og (curl F) n d der T og n er riktig valgt.