Kap. 16: Kontinuerlige systemer

Transkript

1 Kap. 16: Kontinuerlige systemer Har betraktet systemer med én frihetsgrad (avhengig av tiden) Partikler (med føringer) Stive legemer (med føringer) Ordinære differensiallikninger (ODE) Deformerbare legemer Diskretisert (endelig antall frihetsgrader) System av endelig antall ODEer Generelt uendelig mange frihetsgrader (avhengig av tid og rom) Partielle differensiallikninger Likevektslikninger utledes nesten som i statiske tilfeller, men treghetskrefter må inkluderes MEK4510 p. 68

2 Tverrsvingninger av bjelker Figuren viser en bjelke med bøyestivhet EI(x) u m(x) EI(x) x dx Søker nedbøyningen u = u(x,t) MEK4510 p. 69

3 Infinitesimalt element Differensiallikningen fås fra likevektsbetraktning av infinitesimalt element p(x,t) u M V df I α M+dM V+dV u dx ds u+du x df I = müdx er treghetskrefter for elementet MEK4510 p. 70

4 Forutsetninger Teknisk (vanlig) bjelketeori Spenninger: Normalspenninger på plan parallelle med bjelkeaksen neglisjeres Deformasjoner: Basert på Naviers hypotese, dvs. plane tverrsnitt forblir plane Materlov: Lineært elastisk materiale Dette innebærer bl.a. sin α α u, cos α 1, ds dx x MEK4510 p. 71

5 Likevektsbetraktninger Kraftlikevekt i vertikalretningen p(x,t)dx + V ( V + V x dx) müdx = 0 V x = p(x,t) mü Momentlikevekt mhp. flaten ved x + dx M + ( M + M ) x dx V dx p dx2 2 + müdx2 2 = 0 MEK4510 p. 72

6 Likevektsbetraktninger, forts. Dividerer momentlikevektslikningen med dx og lar dx 0 M x V = 0 V = M x Innsatt i kraftlikevektslikningen gir dette 2 M = p(x,t) mü x2 MEK4510 p. 73

7 Differensiallikning Fra bjelketeorien vet vi at momentet kan relateres til krumningen M = EI(x) 2 u x 2 Innsatt i siste likning på forrige side gir dette 2 x 2 ( ) EI(x) 2 u x 2 + mü = p(x,t) som beskriver tvungne tverrsvingninger av bjelker. MEK4510 p. 74

8 Forenklede likninger For konstant bøyestivhet EI forenkles likningen til 4 u x 4 + m EI ü = p(x,t) EI Likningen for fri svingning (og konstant EI) blir nå 4 u x 4 + m EI ü = 0 NB! Bidrag fra treghetsmomentet som skyldes rotasjon av tverrsnittet om et punkt på referanseaksen er neglisjert under utledningen MEK4510 p. 75

9 Løsningsmetode Løser likningen for fri svingning Separasjon av variable Antar løsning på form u(x,t) = φ(x)q(t) Innsatt i likningen for fri svingning gir dette φ xxxx (x)q(t) + m EI φ(x) q(t) = 0 Videre får vi EI m der ω er konstant φ xxxx (x) φ(x) = q(t) q(t) = ω2 MEK4510 p. 76

10 Løsningsmetode, forts. Dette gir opphav til to ordinære differensiallikninger q(t) + ω 2 q(t) = 0 og φ xxxx (x) β 4 φ(x) = 0 der β er gitt ved β = ( ω 2 m )1 4 EI Likningen for q(t) har løsning på form q(t) = A sinωt + B cosωt MEK4510 p. 77

11 Løsningsmetode, forts. For φ(x) antar vi løsning på form φ(x) = Ce sx Innsatt i likningen får vi ( s 4 β 4) Ce sx = 0 Denne likningen har følgende løsninger for s s 1 = iβ, s 2 = iβ, s 3 = β, s 4 = β Dermed kan φ(x) uttrykkes ved φ(x) = C 1 sin βx + C 2 cos βx + C 3 sinh βx + C 4 cosh βx MEK4510 p. 78

12 Bestemmelse av konstanter Konstantene A, B, C 1, C 2, C 3, C 4 og ω (eller β) bestemmes fra (to) initial- og (fire) randbetingelser Initialbetingelser av typen u og u gitt ved t = t 0 Randbetingelser ved bjelkeendene (x = 0, L) Kinematiske: u og/eller u/ x gitt Mekaniske: M = EI 2 u/ x 2 og/eller V = EI 3 u/ x 3 gitt Eksempel MEK4510 p. 79

13 Skjærdeformasjon og rotasjonstreghet Antar fortsatt små deformasjoner og at plane tverrsnitt forblir plane (tar hensyn til skjærdeformasjoner) Tverrsnitt (generelt) ikke normalt på bjelkeaksen Rotasjonsbevegelse gir opphav til treghetskrefter moment m I pr. lengdeenhet MEK4510 p. 80

14 Infinitesimalt element Differensiallikningen fås fra likevektsbetraktning av infinitesimalt element p(x,t) u γ β α M V dm I df I α M+dM V+dV positiv rotasjon u dx u+du x der β er rotasjonsvinkelen for endeflaten, γ er skjærvinkelen (β = α γ) og dm I = m I dx er rotasjonstreghetsmomentet for elementet MEK4510 p. 81

15 Differensiallikning Kraftlikevekt i vertikalretningen blir som tidligere V x = p(x,t) mü Likningen for momentlikevekt blir modifisert V = M x + m I Innsatt i likningen øverst gir dette 2 M x 2 + m I x + mü = p(x,t) Søker nå M og m I uttrykt ved u og dens deriverte MEK4510 p. 82

16 Uttrykk for momentet Neglisjerer p(x, t) Innfører i tillegg følgende antagelser Tverrsnittet konstant i lengderetningen x-aksen legges gjennom arealsenteret for tverrsnittet u x (y = 0) = u x0 = 0 Forskyvningen langs x-aksen kan da uttrykkes ved ( ) u u x = u x0 yβ = y x γ MEK4510 p. 83

17 Uttrykk for momentet, forts. Tilsvarende aksialspenning σ x = Eǫ x = E u x x ( 2 u = Ey x 2 γ ) x Momentet blir nå M = = EI A σ x yda = ( 2 u x 2 γ x A ) ( Ey 2 2 u x 2 γ ) da x MEK4510 p. 84

18 Uttrykk for skjærkvinkelen Relasjon mellom skjærkraft og skjærvinkel V = GĀγ der G er skjærmodul og Ā = Aκ er effektivt skjærareal Herfra får vi γ x = 1 GĀ V x = 1 GĀmü der kraftlikevektslikningen (langs y aksen) med p = 0 er benyttet i den siste overgangen Uttrykket for momentet blir da M = EI ( 2 u x 2 1 ) GĀmü Dette kan nå settes inn i differensiallikningen MEK4510 p. 85

19 Uttrykk for rotasjonstreghetsmomentet Søker treghetsmomentet (pr. lengdeenhet) m I pga. rotasjon av tverrsnittet Treghetskraften (pr. volumenhet) f xi for en partikkel i avstand y fra x-aksen blir ( ) ü f xi = ρü x = ρy x γ Momentet pr. lengdeenhet fås fra ( ) ü m I = f xi yda = mr 2 x γ A der m = ρa er masse pr. lengdeenhet og r = I/A er treghetsradius MEK4510 p. 86

20 Rotasjonstreghetsmoment, forts Fra likningen for kraftlikevekt langs y aksen, samt uttrykkene for bøyemoment og (tverrsnittets) rotasjonsmoment får vi likevektslikningen 4 u x 4 + m ( m EI ü GĀ + m ) 2ü EA x 2 + m2 EAGĀ ü = 0 MEK4510 p. 87

21 Eksempel Fri svingning av fritt opplagret bjelke y, u Antar løsning på form u(x,t) = C sin ( nπx ) L sin ω n t x Innsatt i differensiallikningen gir dette ω n n 2 π 2 EI ml 4 ( ( nrπ L ) ( EA )) GĀ der første faktor er identisk med løsningen for svingeproblemer der bidrag fra skjær og rotasjon neglisjeres MEK4510 p. 88