EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3

Transkript

1 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: NORSK Arild H. Clausen, EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3 Torsdag 6. desember 2007 Kl Hjelpemidler: Bestemt, enkel kalkulator. 9 vedlagte formelark Ingen medbragte trykte eller håndskrevne hjelpemidler er tillatt Settet består av i alt 16 ark: 1 forside, 6 ark med oppgavetekst og 9 vedlagte ark med formler. Side 7 (oppgave 6) rives ut og leveres sammen med besvarelsen Legg vekt på å levere en ryddig besvarelse med tydelige skisser og systematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten synes ufullstendig. Vær oppmerksom på at mange av delspørsmålene i settet kan løses uavhengig av hverandre. Hvis du står fast på et spørsmål fortsett med andre oppgaver, og gå heller tilbake til det vanskelige spørsmålet til slutt. Prosenttallene angir omtrentlig vekt ved sensur (og indikerer cirka tidsforbruk på hver oppgave). Sensuren faller senest 3. januar 2008 (såfremt intet uforutsett inntreffer).

2 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 2 av 7 OPPGAVE 1 (Vekt ca 25%) D F A EI EI C L +ΔT u +ΔT u EI L +ΔT u B L (a) (b) (c) Figur 1: (a) Ramme geometri og bøyestivheter (b) Ramme påkjent av kraft F i punkt D (c) Ramme med uniform temperaturøkning ΔT u i alle komponenter Figur 1(a) viser en ramme ABCD. Rammen har uforskyvelige leddlager i punktene A og B. Alle komponenter i rammen har bøyestivhet EI og termisk utvidelseskoeffisient α. Geometriske mål fremgår av figur 1(a). I denne oppgaven skal det kun tas hensyn til bøyedeformasjoner. Deformasjoner pga. N og V neglisjeres. a. (16%) I figur 1(b) er rammen påkjent av en horisontal kraft F i punkt D. Løs det statisk ubestemte problemet ved bruk av enhetslastmetoden. Bestem lagerreaksjonene A x, A y, B x og B y pga. F. Tegn N-, V- og M-diagram. N- og V- diagram tegnes med virkningssymbol. M-diagrammet tegnes på strekksiden. b. (9%) I figur 1(c) virker det ingen ytre last på rammen. Derimot er alle komponentene i rammen utsatt for en temperaturøkning ΔT u. Dette er en uniform temperaturøkning, dvs. at hele tverrsnittet i alle deler av rammen har samme ΔT u. Bestem lagerreaksjonene A x, A y, B x og B y pga ΔT u. (Det er ikke nødvendig å tegne N-, V- og M-diagram.)

3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 3 av 7 OPPGAVE 2 (Vekt ca 20%) 0.15L 0.15L F M p M p A 1.25M p B 1.25M p C L L/2 L/2 Figur 2: Kontinuerlig bjelke med punktlast Figur 2 viser en kontinuerlig bjelke ABC over to spenn. Bjelken er belastet med en punktlast F midt i felt BC. Mesteparten av bjelken har plastisk momentkapasitet M p. Lokalt ved opplager B er det imidlertid innført en forsterkning, se figuren, slik at tverrsnittet har plastisk momentkapasitet 1.25 M p over en lengde 0.15L på hver side av B. I denne oppgaven skal bjelkens bruddlast, dvs. den største lasten F p som bjelken kan bære, bestemmes ved hjelp av virtuelt arbeid og flyteledd. a. (15%) Identifiser aktuelle mekanismer, og beregn de tilhørende bruddlastene F p uttrykt ved M p og L. Hvilken mekanisme gir den korrekte bruddlasten? b. (5%) Tegn M-diagrammet for mekanismen som gir korrekt bruddlast. M- diagrammet tegnes på strekksiden. Hvordan kan du benytte M-diagrammet til å påvise at du har funnet riktig bruddlast?

4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 4 av 7 OPPGAVE 3 (Vekt ca 10%) q EI EI A B 2EI C D x L L L Figur 3: Innspent bjelke med variabel stivhet Figur 3 viser en innspent bjelke ABCD som har bøyestivhet 2EI i den sentrale tredjedelen av spennvidden (del BC), mens bøyestivheten er EI i de tredjedelene som er nærmest hver sin innspenning (del AB og del CD). Bjelken er påkjent av en jevnt fordelt last q i del BC. Den variable stivheten gjør denne bjelken meget brysom å regne på ved bruk av klassiske teknikker som bjelkens differensialligning eller enhetslastmetoden. Imidlertid kan Rayleigh- Ritz' metode benyttes for å etablere en tilnærmet løsning. a. (5%) Foreslå et forskyvningsfelt v(x) som kan benyttes i en Rayleigh-Ritz beregning. La x være koordinaten i bjelkens lengderetning. Velg selv hvor du vil plassere origo. Argumenter for ditt valg av forskyvningsfelt v(x). b. (5%) Forklar hvordan du ved hjelp av forskyvningsfeltet v(x) fra spørsmål a. og Rayleigh-Ritz' metode kan bestemme et tilnærmet M-diagram for bjelken. Skriv opp de nødvendige matematiske uttrykkene. Det er ikke nødvendig å foreta noen beregninger.

5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 5 av 7 OPPGAVE 4 (Vekt ca 10%) y a x g 2b Figur 4: Opphengt skive En tynn skive med tykkelse t, elastisitetsmodul E, tverrkontraksjonstall ν og densitet ρ er belastet av sin egen tyngde, se figur 4. Skiven er opplagret langs randen x = 0 som vist i figuren. Tyngdens akselerasjon g virker i positiv x-retning. Følgende spenningsfelt er foreslått for skiven: σ = ρg a x σ = τ = ( ) ; 0 ; 0 x y xy a. (6%) Kontroller at likevekt er oppfylt innen skiven. Hvilke flatekrefter (traksjoner) Φ x og Φ y må virke langs de fire rendene for at skiven skal være i likevekt? b. (4%) Beregn tøyningene i skiven, og vis at kompatibilitetsbetingelsen er tilfredsstilt.

6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 6 av 7 OPPGAVE 5 (Vekt ca 20%) Innspente render (Clamped boundaries) x x F L y L F z (a) y (b) Figur 5: (a) Kvadratisk plate innspent langs to render. Perspektivskisse. (b) Kvadratisk plate innspent langs to render. Snitt i xy-planet. Figur 5(a) viser en kvadratisk plate med bredde L og konstant tykkelse t. Materialet i platen har elastisitetsmodul E og tverrkontraksjonstall ν. Platestivheten er D. Platen er belastet med en punktlast F i hjørnet (x,y) = (L,L). Langs rendene x = 0 og y = 0 er platen fast innspent, mens den er fri langs rendene x = L og y = L, se også figur 5(b) for en alternativ visualisering av randbetingelsene. Platens utbøyning antas på formen: 2 2 ( x y) ax y w, = a. (6%) Benytt den oppgitte utbøyningsfunksjonen til å bestemme platens spenningsog tøyningsfelt. b. (10%) Det generelle uttrykket for indre virtuelt arbeid er gitt som: i T {} {} W% = ε % σ dv %, benytt uttrykket for W % i og resultatet fra spørsmål a., og vis at det indre virtuelle arbeidet for platen i figur 5 er: Velg et virtuelt forskyvningsfelt w ( x, y) W% i = ν aadl % 45 3 c. (4%) Beregn tilnærmet nedbøyningen av det frie hjørnet (x,y) = (L,L) av platen uttrykt ved L, D og F. Sett ν =

7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 7 av 7 OPPGAVE 6 (Vekt ca 15%) Side (i besvarelsen): av Studentnummer: Kryss av for "korrekt" eller "galt" på følgende ti påstander. Du får 1.5 poeng for riktig svar. 0 poeng for galt svar eller ubesvart. Riv ut dette arket og lever det sammen med resten av besvarelsen. Spørsmål Påstand Korrekt Galt (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) Naviers plateløsning kan benyttes for alle rektangulære plater En likevektstilstand er stabil hvis den dobbeltderiverte av den potensielle energien til systemet er positiv I stedet for å basere en flyteleddberegning på prinsippet om virtuelt arbeid kan man ta utgangspunkt i prinsippet om stasjonær potensiell energi Kompresjonsmodulen K er lik null for inkompressible materialer Prinsippet om stasjonær potensiell energi kan ikke benyttes for systemer hvor det virker friksjonskrefter Enhetslastmetoden er et spesialtilfelle av virtuelle forskyvningers prinsipp (VFP) Skjærdeformasjonene er signifikante, dvs ikkeneglisjerbare, for lange bjelker En elastisk perfekt plastisk idealisering av materialkurven er et eksempel på en konstitutiv ligning Den største hovedspenningen σ 1 er alltid positiv i en tredimensjonal spenningstilstand En ren, deviatorisk spenningstilstand gir ingen volumendring

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK TKT 4124 MEKANIKK 3 Eksamen 6/ SENSUR Oppsummering: Karakterfordelingen (sortert på studieprogram) er gjengitt i figuren nedenfor. Dessuten er litt mer tallmateriale for hvert studieprogram gjengitt i tabellen nederst på siden. Essens: En gjennomsnittlig poengsum på 74.8 er bra! Middels ståkarakter er en god C. Kun 3 stryk. Og bare en kandidat fikk E. Det er en viss, men ingen dramatisk, forskjell mellom studieprogrammene. Eksamen TKT4124 Mekanikk 3-6/ Antall kandidater ØVRIGE MTPROD MTING MIBYGG MTBYGG 0 A B C D E F Karakter MTBYGG MIBYGG MTING MTPROD ØVRIGE ALLE Antall kandidater Gj.snitt poeng 77,2 70,5 70,3 74,8 77,2 74,8

23 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Oppgave 1: Spørsmål a. gikk veldig bra. I godt og vel 100 av besvarelsene var det fullt hus eller ørlite trekk for noe småtteri (f.eks en liten feil på diagram). Veldig få av dere lagde alvorlig krøll à la bom på antall statisk ubestemte eller fullstendig gale M-diagram som input til enhetslastmetoden. I spørsmål b. var det adskillig mer spredning. Mange regnet med aksialdeformasjoner i stedet for bøyedeformasjoner. Og for en del av disse var det ganske åpenbart at svaret måtte være feil; de ukjente kreftene må ha dimensjon N (kraft) og da bør det vel ringe en liten bjelle hvis man får svar A x = 2αΔT eller noe i den stil Oppgave 2: Gjennomgående bra her også! For den aktuelle bjelken er det 3-4 potensielle mekanismer som har omtrent samme bruddlast. Som nevnt på WWW: De mest relevante har alle flyteledd under lasten, og så er det andre flyteleddet plassert i B, eventuelt 0.15L til høyre eller venstre for B. Det sistnevnte alternativet var utslagsgivende. Mange landet imidlertid på mekanismen med flyteledd i B, tegnet M-diagram, men sjekket ikke verdien på momentet i et snitt 0.15L til venstre for B, dvs der tverrsnittet endrer kapasitet fra M p til 1.25M p. I dette snittet blir momentverdien 1.06 M p hvis man konkluderer med flyteledd i B og bruddlast 6.5M p /L. Det er også en del som har funnet korrekt mekanisme (med flyteledd 0.15L til venstre for B), men som har bommet litt på M-diagrammet: Knekken i diagrammet (maksimumspunktet) må være der det kommer inn en punktlast, og punktlast får man inn to steder underveis: Ytre last F og støttereaksjonen B y. Med andre ord: Maks moment i B, nærmere bestemt 1.18 M p. Oppgave 3: Denne oppgaven var noe mer teoripreget i og med at dere ikke skulle regne noe videre med det foreslåtte forskyvningsfeltet. De fleste landet på polynom, men ikke nødvendigvis med korrekt grad. Den aktuelle bjelken har en bråte med essensielle randkrav (null vinkel og rotasjon i begge ender), og da holder det ikke med en parabel (= 2.grads polynom). Parabelen gir garantert trøbbel med vinklene i innspenningene. Fire randkrav inviterer til en funksjon med 5 koeffisienter, hvorav 4 løses ut med randkravene og uttrykkes ved hjelp av den siste. Et par kandidater foreslo et relevant alternativ til cosinusfunksjonen som tidligere er oppgitt som svar: Man kan bruke cos 2. I spørsmål b. gjaldt det å få med hovedpunktene: Tøyningsenergi U er definert ved hjelp av et integral, hvor integranden med fordel kan gjenspeile stivhetsendringen midt i bjelkefeltet. Lastpotensialet Ω er også gitt ved et integral, hvor grensene med fordel kan reflektere at lasten q ikke virker over hele bjelken. Deretter: Π = U + Ω, Π må deriveres med hensyn på den frie variabelen i funksjonen fra spørsmål a., denne variabelen løses ut, og dermed er forskyvningsfeltet entydig gitt. Til slutt: M(x) = -EIv (x).

24 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Oppgave 4: Her var det også lite regning, og hensikten med oppgaven var mest å sjekke hvem som hadde fått med seg begrepsapparatet rundt elastisitetsteoriens likevektsligninger, Cauchys ligning og Hookes lov. Godt besvart, spesielt spørsmål b. I den grad det var kluss i b., var det ofte den gale versjonen av Hookes lov: I en tynn skive (liten t) er det plan spenning, ikke plan tøyning. Oppgave 5: Dette var den oppgaven det tok lengst tid å rette. Mye bra her også, men noen feil var gjengangere som dukket opp i en god del besvarelser. I spørsmål a. var det ganske mange som kvittet seg med variabelen z i svaret, og i stedet innførte t (eller t/2). Hvorfor er dette galt? Jo, variabelen z sørger for at vi får spenning (eller tøyning) som endrer fortegn over tykkelsen, dvs trykk nede (for positive z) og strekk oppe (negative z). Så z må være med. Det var også en del som ikke bearbeidet tøyningene godt nok, og det straffet seg i neste spørsmål. Faktoren (1-ν 2 ) lot seg forkorte! Og så spørsmål b.: Den algebraiske presisjonen var gjennomgående bra! Lite regnefeil ved oppsett av integranden eller selve integrasjonen. Det var mest kluss med grensene. Når utgangspunktet er dv, må det integreres også i tykkelsesretning. Korrekte grenser er fra t/2 til +t/2. De som integrerte fra 0 til t bommet med faktor 4. I spørsmål c. var det ytre, virtuelle arbeidet en feilkilde for noen. Her var det ingen fordelt last; det var kun en punktlast, og da er det virtuelle arbeidet lik punktlasten F multiplisert med den virtuelle forskyvningen i det punktet kraften virker, dvs F wll %(, ). Det skal mao. ikke integreres. Oppgave 6: Statistikken nedenfor viser fordelingen av korrekte svar på spørsmålene. Spørsmål a b c d e f g h i j ALLE Antall korrekt Prosent Over halvparten bommet på spørsmål a og f. Naviers plateløsning kan kun benyttes hvis det rektangulære plata er fritt opplagt langs alle render. Og enhetslastmetoden er basert på virtuelle krefters prinsipp (VKP).