9 Spenninger og likevekt

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "9 Spenninger og likevekt"

Transkript

1 9 Spenninger og likevekt Innhold: Volumkrefter og flatekrefter Traksjonsvektoren Spenningsmatrisen Retningscosinuser Cauchs ligning Hovedspenninger og hovedspenningsretninger Spenningsinvarianter Hdrostatisk og deviatorisk spenning Statiske likevektsligninger i et legeme Plan spenningstilstand Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials, kap og 7.3 TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

2 Volumkrefter og flatekrefter F F Φ Et kontinuerlig legeme er utsatt for to tper av krefter: Volumkrefter F (kraft pr volumenhet [N/m 3 ]): F F F F Eksempel: Tngdekraft, magnetisme Flatekrefter Φ (kraft pr arealenhet [N/m 2 ]): Φ Eksempel: Overflatelast pga trkk, kontakt med andre legemer TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

3 Traksjonsvektor ds n dp Betrakt en tre overflate eller en indre snittflate i legemet: n er enhets normalvektor, som står normalt på flaten og er rettet ut av legemet dp er kraften som virker på arealelementet ds Traksjonsvektoren Φ er definert som Φ dp, ds 0 ds Merk: Traksjonsvektoren er relatert til en (vilkårlig) flate med normalvektor n. Traksjonsvektoren vil derfor generelt være ulik for andre snittflater gjennom det samme materialpunktet TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

4 Spenningsmatrisen σ {Φ } τ τ τ {Φ } τ σ σ τ τ {Φ } Betrakter nå snittflatene som står normalt på akseretningene (,, ). Traksjonsvektorene på disse tre snittflatene benevnes Φ : Φ, Φ og Φ, Φ, Φ hvor,, er normalspenninger,,,,, er skjærspenninger TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

5 Spenningsmatrisen (forts) Spenningene er mao. komponentene til de tre traksjonsvektorene Φ og Φ. Φ, Spenningsmatrisen er definert som: σ T Φ T Φ T Φ Spenningsmatrisen er smmetrisk (se neste ark), slik at,, Dermed: σ σ T TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

6 Smmetri av spenningsmatrisen D d C d E d A d B Momentlikevekt om punkt E (og en akse parallell med -aksen) av den rektangulære boksen ABCD (som har tkkelse d): 1 1 ( d )dd d ( d )dd d dd d dd d d d 0 For et infinitesimalt bokselement vil d, d og d gå mot null. Da vil også spenningsinkrementene d og d gå mot null, og momentlikevekt krever På tilsvarende måte vil momentlikevekt om akser parallelle med hhv -aksen og -aksen gi og. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

7 d Retningscosinuser Retningscosinus er definert som cosinus til vinkelen mellom to vektorer {v} (u,v) {u} For våre anvendelser er vi interessert i n og vinklene mellom en normalvektor enhetsvektorene i, j og k i akseretningene, og. De tilhørende retningscosinusene kalles l, m og n: {n} l = cos(n,) m = cos(n,) n = cos(n,) (n,) Siden n er en enhetsvektor, kan komponentene uttrkkes som: n l m n Retningscosinusene gir også en relasjon mellom arealer: ds ds l ds m ds ds d ds d {n} ds og tilsvarende ds n ds ds TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

8 Likevekt av randelement Φ A C O Φ Φ Φ n B ds A C O ds θ θ P n B Likevekt av det infinitesimale tetraederet OABC (neglisjerer volumkrefter F ): Φ Φ Φ Φ ds ds ds ds 0 Retningscosinene l, m og n gir en sammenheng mellom sideflaten ds og de øvrige sideflatene: ds lds, ds m ds og ds n ds Innsatt i likevektsligningen og etter forkortelse av ds: Φ Φ Φ Φ l m n 0 Flatekraften Φ kan dermed uttrkkes ved de tre traksjonsvektorene Φ og Φ og retningscosinusene. Φ, TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

9 Cauchs ligning Likevektsligningen for randelementet kan alternativt skrives på matriseform. Videre utgjør traksjonsvektorene hver sin linje i spenningsmatrisen: l T Φ Φ Φ Φ mσ n n Bentter at spenningsmatrisen er smmetrisk, og får Cauchs ligning: Φ σ n Cauchs ligning på komponentform: l m n l m n l m n T T T eller: Φ n, Φ n, Φ n Cauchs ligning er gldig for både tre overflate og indre snittflater i legemet, og uttrkker at vi kan finne traksjonsvektoren Φ i en vilkårlig retning n når spennings- σ er kjent. matrisen (spenningstilstanden) På tre render representerer Cauchs ligning en randbetingelse, siden den gir sammenhengen mellom belastning på flaten og spenningsmatrisen. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

10 Normalspenning og skjærspenning på plan med vilkårlig orientering e Φ n n Normalspenningen har samme retning som normalvektoren n, og kan derfor beregnes ved hjelp av skalarprodukt (projiserer vektoren n ): Φ ned på vektoren T T n Φ n σ n Skjærspenningen virker i retningen e i snittplanet, hvor e er en enhetsvektor, og e n. Traksjonsvektoren kan dermed uttrkkes som vektorsummen: Ptagoras gir størrelsen på : Φ n e 2 2 T 2 Φ Φ Φ TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

11 Eksempel 9.1: Traksjon I et punkt P er spenningsmatrisen gitt ved (enheter i MPa): σ a. Bestem traksjonsvektoren Φ i punktet P på et plan normalt til -aksen. b. Bestem traksjonsvektoren Φ i punket P på et plan som er parallelt med planet Hva blir normalspenningen og skjærspenningen på dette planet? TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

12 Hovedspenninger I et punkt P vil traksjonsvektoren Φ på en snittflate assosiert n vanligvis ikke være parallell med normal- med en retning vektoren n. Dette skldes at traksjonsvektoren generelt gir både normalspenninger og skjærspenninger på den aktuelle flaten. For visse retninger være parallell med n, dvs n vil imidlertid traksjonsvektoren Φ Φ n hvor er størrelsen (lengden) til Φ. Cauchs ligning gir: σn n eller ekvivalent: σ In 0 hvor I er enhetsmatrisen: I TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

13 Hovedspenninger (forts.) Ligningen σ I n 0 uttrkker det som i lineær algebra er kjent som et egenverdiproblem. Kriteriet for ikke-triviell 0 er: løsning n det σ I 0 Siden spenningsmatrisen σ har format 33, vil denne såkalte karakteristiske ligningen gi en tredjegradsligning med tre røtter (dvs løsninger) for, se neste side. Disse tre røttene er reelle fordi σ er smmetrisk, og de ordnes vanligvis i avtagende størrelse: Dette er hovedspenningene. De tre tilhørende egenvektorene n 1, n 2 og n 3 gir hovedspenningsretningene. *, {n} 2 σ 2 σ 1 σ 3 *, {n} 3 *, {n} 1 Hvis de tre ortogonale vektorene n, 1 n og 2 n 3 velges som basevektorer i P, vil spenningsmatrisen referert til disse ne aksene være en diagonalmatrise med elementer 1, 2 og 3. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

14 Spenningsinvarianter Vi skal se nærmere på ligningen det σ I 0: detσ I det 0 Utvikling av determinanten gir følgende tredjegradsligning: 3 2 I1 I2 I3 0 De tre spenningsinvariantene er gitt som: I I I Spenningsinvarianter: Den numeriske verdien av I 1, I 2 og I 3 er uavhengig av valgt koordinatsstem. Invariantene karakteriserer selve spenningstilstanden. Notasjon varierer. I 1, I 2 og I 3 er vanligst. I noen referanser (lærebøker) har I 2 motsatt fortegn. Spenningsinvarianter i hovedspenningsrommet, hvor alle skjærspenninger er lik null: I I I TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

15 Hdrostatisk og deviatorisk spenning Dekomponering av spenningsmatrisen: σ σ s m m 0 0 s s s 0 m 0 s s s 0 0 s s s m Hdrostatisk spenningsmatrise m : σ 1 3 m Hdrostatisk spenning: m I1 Deviatorisk spenningsmatrise s: m s m m Deviatoriske spenninger: s s i ij i ij m TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

16 Hdrostatisk og deviatorisk spenning Motivasjon for å dekomponere spenningsmatrisen i hdrostatisk og deviatorisk spenning σ σ s : Den hdrostatiske spenningskomponenten uttrkker endring av volum. En hdrostatisk spenningstilstand vil øke eller redusere volumet til et spenningselement, men formen endres ikke. Den deviatoriske spenningskomponenten uttrkker endring av form. En deviatorisk spenningstilstand vil ikke endre volumet til spenningselementet. Eksperimentelle undersøkelser viser at plastisk deformasjon av metaller er inkompressibel, dvs at den foregår ved konstant volum. (OBS: For de fleste andre materialer, f.eks betong og polmerer,er plastisk deformasjon ikke inkompressibel.) Den deviatoriske spenningen er derfor sentral i materialmodeller som beskriver plastisitet i metaller: Spenningsmatrisen dekomponeres i et hdrostatisk og et deviatorisk bidrag, og kun den deviatoriske spenningen benttes i den delen av modellen som representerer plastisitet. Mises fltekriterium kan utledes ved å betrakte tøningsenergien relatert til den deviatoriske spenningen. Se lsark m TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

17 Deviatoriske spenningsinvarianter Deviatorisk spenningsmatrise s: s s s m s s s s m s s s m Karakteristisk ligning for hoveddeviatorspenningene s etableres fra egenverdibetingelsen det[s si] = 0 : s J s J s J Hoveddeviatorspenningene blir: si i m Hoveddeviatorretningene er de samme som for hovedspenningene. De tre deviatoriske spenningsinvariantene er gitt som: J s s s 0 1 J s s s s s s s s s J s s s 2s s s s s s s s s Invarianten J 2 er sentral i metallplastisitet (Mises fltekriterium): 1 1 J j Jevnføringsspenningen j i Miseskriteriet er: j 3 2 TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

18 Eksempel 9.2: Hovedspenning I et punkt P er spenningsmatrisen gitt ved (enheter i MPa): σ Regn ut spenningsinvariantene I 1, I 2 og I 3. Bestem deretter hovedspenningene 1, 2 og 3 og de tilhørende hovedspenningsretningene n, 1 n 2 og n 3. Kontroller at spenningsinvariantene I 1, I 2 og I 3 beholder sin numeriske verdi når de beregnes fra hovedspenningene. Tegn spenningene, og på et infinitesimalt element i et -koordinatsstem. Tegn dessuten hovedspenningene 1 og 2 på et element som er korrekt rotert i henhold til hovedspenningsretningene. Regn til slutt ut den hdrostatiske og deviatoriske spenningen. Sammenlign invarianten J 2 med jevnføringsspenningen j i Mises-kriteriet. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

19 Likevektsligningene V S F F Φ Et legeme (eller en vilkårlig del av et legeme) har overflate S og volum V. Likevekt krever at summen av kreftene, inkludert både flate- og volumkrefter, er lik null. S Φ ds F dv 0 V På komponentform: S S S ds F dv 0 V ds F dv 0 V ds F dv 0 V Ved å bruke komponent-versjonen av Cauchs ligning kan den første av disse ligningene alternativt skrives som: S T Φ n ds F dv 0 V TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

20 Likevektsligningene (forts) Divergensteoremet gir nå: V div Φ F dv 0 Denne ligningen skal gjelde for ethvert volum V. Derfor: eller utskrevet: div Φ F 0 F 0 De to siste komponentligningene på forrige side kan behandles på tilsvarende vis. De tre resulterende differensialligningene i hhv, og retning uttrkker statisk likevekt av legemet. F 0 F 0 F 0 For at et legeme skal være i statisk likevekt, må disse tre ligningene være oppflt i ethvert punkt i legemet. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

21 Likevektsligningene (forts) d d d d F F d d Likevektsligningene kan alternativt utledes ved å betrakte et infinitesimalt element i legemet. (Figuren ovenfor viser kun spenninger og volumkrefter i -planet.) Kraftlikevekt i -retning gir samme resultat som vi fikk med global likevekt og bruk av divergensteoremet: F 0 Likevektsligningene i - og -retning fremkommer på tilsvarende vis. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

22 Likevektsligningene på operatorform Siden spenningsmatrisen er smmetrisk, har den 6 uavhengige komponenter. I mange sammenhenger er det praktisk å skrive σ spenningskomponentene på vektorform σ Likevektsligningene på operatorform: T σ F 0 Derivasjonsoperator-matrisen T er definert som: T VIKTIG: Spenningen i et punkt er avhengig av både traksjons- n ). Spenning vektoren og snittflatens orientering (definert ved er derfor ikke en vektor i fsisk forstand. Å skrive spenningen på vektorform σ har kun praktiske årsaker. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

23 Plan spenningstilstand I en plan spenningstilstand er alle spenningskomponentene på ett av de tre ortogonale snittplanene lik null. Hvis -planet er et slikt snittplan, vil kun disse tre komponentene være ulik null: Spenningsmatrisen blir nå:,, σ Cauchs ligning gir følgende randbetingelser l l m m Traksjonsvektoren og enhets normalvektor er nå: l m Φ, n Merk at plan spenningstilstanden medfører at den siste komponenten til traksjonsvektoren må være lik null: 0 TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

24 Plan spenningstilstand (forts) Likevektsligningene i plan spenningstilstand blir F 0, F 0 Den siste komponenten av volumkraften må være null: F 0 Likevektsligningene i plan spenningstilstand kan skrives på T σ F 0 ved å definere operatorform 0 F,, F 0 T σ F Merk: Plan spenning krever at 0 og F 0, dvs. at flate- og volumkreftene kun virker i -planet. Ingenting avhenger av -koordinaten. Plan spenningstilstand opptrer tpisk for konstruksjoner og komponenter som har stor utstrekning i -planet og liten tkkelse i -retning. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

25 Eksempel 9.3: Likevekt p() p0 h g n h b Figuren viser en idealisering av en støtteribbe i en damkonstruksjon. Vanntrkket virker mot en plate i -planet. Denne platen er med visse mellomrom støttet opp av trekantformede ribber i -planet. Anta at ribbene er påkjent av et lineært økende vanntrkk langs den vertikale sidekanten = 0, og gravitasjonskraft i -retning. Konstruksjonen har densitet. Spenninger i -planet: 2 p 0 gh 2p0h p0h p0h, g, h b b b b a. Vis at det foreslåtte spenningsfeltet tilfredsstiller likevektsligningene i plan spenningstilstand. b. Vis at den ubelastede skråflaten er spenningsfri. TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

26 Fasit eksemplene: Eks. 9.1 a) Φ b) Φ ,9 MPa 39,7 MPa 3 70 Eks I1 210 MPa, I MPa, I MPa MPa, 2 20 MPa, 3 30 MPa n 1 1, n 2 2, n 3 0 σ m MPa , s MPa TKT4124 Mekanikk 3, høst Spenninger og likevekt

11 Elastisk materiallov

11 Elastisk materiallov lastisk materiallov Innhold: lastisk materialoppførsel Isotrope og anisotrope materialer Generalisert Hookes lov Initialtøninger Hookes lov i plan spenning og plan tøning Volumtøning og kompresjonsmodul

Detaljer

10 Tøyninger og kinematisk kompatibilitet

10 Tøyninger og kinematisk kompatibilitet 10 Tøninger og kinematisk kompatibilitet Innhold: Deformasjon kontra stivlegemebevegelse Normaltøning Skjærtøning Kinematikkligningene Plan tøningstilstand Kompatibilitetsbetingelsen Litteratur: Cook &

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 10.... Faglig kontakt under eksamen: Kjell Magne Mathisen, 73 59 46 74 Sensuren faller senest 10. januar (så

Detaljer

13 Klassisk tynnplateteori

13 Klassisk tynnplateteori 13 Klassisk tnnplateteori Innhold: Forskjellige plateteorier Enveis- og toveisplater omenter og skjærkrefter i tnne plater Krumninger Platens likevektsligning og differensialligning Essensielle og naturlige

Detaljer

3 Tøyningsenergi. TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøyningsenergi

3 Tøyningsenergi. TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøyningsenergi 3 Tøningsenergi Innhold: Arbeid ved gradvis pålastning Tøningsenergitetthet og tøningsenergi Tøningsenergi som funksjon av lastvirkning,, T og V Skjærdeformasjoner Tøningsenergi som funksjon av aksialforskvning

Detaljer

Eksamensoppgave i TKT 4124 Mekanikk 3

Eksamensoppgave i TKT 4124 Mekanikk 3 Institutt for konstruksjonsteknikk Eksamensoppgave i TKT 44 Mekanikk Faglig kontakt under eksamen: Aase Rees Tlf.: 7 5(9 45 4) / 95 75 65 Eksamensdato: 6. desember Eksamenstid (fra-til): 9 - Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

8 Kontinuumsmekanikk og elastisitetsteori

8 Kontinuumsmekanikk og elastisitetsteori 8 Kontinuumsmekanikk og elastisitetsteori Innhold: Kontinuumsmekanikk Elastisitetsteori kontra klassisk fasthetslære Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials, kap. 1.1 og 7.3 Irgens, Statikk,

Detaljer

Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3

Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3 Institutt for konstruksjonsteknikk Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aase Reyes Tlf.: 73 59 45 24 Eksamensdato: 14. desember 2015 Eksamenstid (fra-til): 09.00 13.00 Hjelpemiddelkode/

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3

EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3 Faglig kontakt under eksamen: Aase Rees 7 59 5 / 915 75 65 BOKMÅL EKSAMEN I EMNE TKT1 MEKANIKK Onsdag 7. desember 11 Kl. 9. 1. Hjelpemidler: Bestemt, enkel kalkulator 9 vedlagte formelark Ingen medbrakte

Detaljer

7 Rayleigh-Ritz metode

7 Rayleigh-Ritz metode 7 Rayleigh-Ritz metode Innhold: Diskretisering Rayleigh-Ritz metode Essensielle og naturlige randbetingelser Nøyaktighet Hermittiske polynomer Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials,

Detaljer

Spenninger i bjelker

Spenninger i bjelker N Teknologisk avd. R 1.0.1 Side 1 av 6 Rev Spenninger i bjelker rgens kap 18.1. ibbeler Sec. 1.1-1. En bjelke er et avlangt stkke materiale som utsettes for bøebelastning. Ren bøning bjelke b N 0 0 0 0

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Lineær algebra. Caspar forlag, 1.utgave 2003 og 2.opplag 2004.

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Lineær algebra. Caspar forlag, 1.utgave 2003 og 2.opplag 2004. FAIT OG TIP til Rinvold: Visuelle perspektiv. Lineær algebra. Caspar forlag,.utgave og.opplag. Versjon..9. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert etter hvert. Oppdager

Detaljer

6 Prinsippet om stasjonær potensiell energi

6 Prinsippet om stasjonær potensiell energi 6 Prinsippet om stasjonær potensiell energi Innhold: Konservative krefter Potensiell energi Prinsippet om stasjonær potensiell energi Stabil og ustabil likevekt rihetsgrader Litteratur: Irgens, Statikk,

Detaljer

Kap. 16: Kontinuerlige systemer

Kap. 16: Kontinuerlige systemer Kap. 16: Kontinuerlige systemer Har betraktet systemer med én frihetsgrad (avhengig av tiden) Partikler (med føringer) Stive legemer (med føringer) Ordinære differensiallikninger (ODE) Deformerbare legemer

Detaljer

1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven?

1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven? Ladet stav 1 En tynn stav med lengde L har uniform ladning per lengdeenhet Hvor mye ladning d er det på en liten lengde d av staven? A /d B d C 2 d D d/ E L d Løsning: Med linjeladning (dvs ladning per

Detaljer

TDT4195 Bildeteknikk

TDT4195 Bildeteknikk TDT495 Bildeteknikk Grafikk Vår 29 Forelesning 5 Jo Skjermo Jo.skjermo@idi.ntnu.no Department of Computer And Information Science Jo Skjermo, TDT423 Visualisering 2 TDT495 Forrige gang Attributter til

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016 TEP4105: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 6 Høst 016 Oppgave 3.13 Skal finne utløpshastigheten fra røret i eksempel 3. når vi tar hensyn til friksjon Hvis vi antar at røret er m langt er friksjonen

Detaljer

(samme dreiemoment fra sider som støter opp til en kant). Formen må være en generalisering av definisjonsligningen

(samme dreiemoment fra sider som støter opp til en kant). Formen må være en generalisering av definisjonsligningen & 99 Løsning G.1 En rigorøs utledning som må baseres på begreper fra tensoranalyse skal vi ikke kaste oss ut i. En standard utledning på intuitivt plan kan gå som følger: Definer spenningskomponent i -retning

Detaljer

Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3

Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3 Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aase Reyes Tlf.: 73 59 45 24 Eksamensdato: 5. desember 2014 Eksamenstid (fra-til): 9.00 13.00 Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3

EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: NORSK Arild H. Clausen, 73 59 76 32 EKSAMEN I EMNE TKT4124 MEKANIKK 3 Torsdag

Detaljer

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

SIF5025: Differensiallikninger og dynamiske systemer

SIF5025: Differensiallikninger og dynamiske systemer SIF505: Differensiallikninger og dnamiske sstemer Løsningsskisse til eksamen mai 003 Oppgave Bestem likevektspunktene til følgende sstem og skisser fasediagrammene (med orientering) a) Sstemet kan skrives

Detaljer

Oppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1

Oppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1 Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M

Detaljer

5.8 Iterative estimater på egenverdier

5.8 Iterative estimater på egenverdier 5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 13.... Faglig kontakt under eksamen: Kjell Magne Mathisen, 73 59 46 74 Arild H. Clausen, 73 59 76 32 Sensuren

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: BOKMÅL Førsteamanuensis Arild H. Clausen, 482 66 568 Førsteamanuensis Erling Nardo Dahl, 917 01 854 Førsteamanuensis Aase Reyes,

Detaljer

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 6 Mandag 05.02.07 Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1 Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4122 MEKANIKK 2

EKSAMEN I EMNE TKT4122 MEKANIKK 2 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bokmål Kjell Holthe, 951 12 477 / 73 59 35 53 Jan B. Aarseth, 73 59 35 68 EKSAMEN I EMNE TKT4122 MEKANIKK 2 Fredag 3. desember

Detaljer

OPPGAVESETT 1. PS: Spørsmål 1a) og 1b) har ingenting med hverandre å gjøre. 1b) refererer til to nøytrale kuler, ikke kulene i 1a)

OPPGAVESETT 1. PS: Spørsmål 1a) og 1b) har ingenting med hverandre å gjøre. 1b) refererer til to nøytrale kuler, ikke kulene i 1a) Fasit for FYS1120-oppgaver H2010. OPPGAVESETT 1 1a) 9.88 10-7 C 1b) 891 PS: Spørsmål 1a) og 1b) har ingenting med hverandre å gjøre. 1b) refererer til to nøytrale kuler, ikke kulene i 1a) 2a) 7.25 10 24

Detaljer

Overflateladningstetthet på metalloverflate

Overflateladningstetthet på metalloverflate 0.0.08: Rettet opp feil i oppgave 4 og løsningsforslag til oppgave 8b. Overflateladningstetthet på metalloverflate. Ei metallkule med diameter 0.0 m har ei netto ladning på 0.50 nc. Hvor stort er det elektriske

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

GRUNNLAG HYDROSTATIKK

GRUNNLAG HYDROSTATIKK RUNNLA HYDROSTATIKK Dette dreier seg om stille vann, (ingen strømning) I stille vann er det ingen skjærkrefter i væsken, bare trkk Hdrostat. trkkrefter står normalt på de flater de virker på Trkket i et

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

Symboler og forkortelser 1. INNLEDNING 1. 1.1 Hva er fasthetslære? 1. 1.2 Motivasjon 5. 1.3 Konvensjoner - koordinater og fortegn 7

Symboler og forkortelser 1. INNLEDNING 1. 1.1 Hva er fasthetslære? 1. 1.2 Motivasjon 5. 1.3 Konvensjoner - koordinater og fortegn 7 Innhold Forord Symboler og forkortelser v og vi xv 1. INNLEDNING 1 1.1 Hva er fasthetslære? 1 1.2 Motivasjon 5 1.3 Konvensjoner - koordinater og fortegn 7 1.4 Små forskyvninger og lineær teori 11 1.5 Omfang

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Ekstraordinær EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439

Ekstraordinær EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI 1439 HØGSKOLEN NRVK Teknologisk vdeling Studieretning: llmenn Maskin Studieretning: llmenn Bgg / Miljøteknikk Ekstraordinær EKSMEN MEKNKK Fagkode: L 439 Tid: 07.08.0, kl. 0900-400 Tillatte hjelpemidler: B:

Detaljer

Arbeidsoppgaver i vektorregning

Arbeidsoppgaver i vektorregning Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:

Detaljer

Resultanten til krefter

Resultanten til krefter KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet

Detaljer

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon

Detaljer

Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl

Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og magnetisme TFY4155 Elektromagnetisme Vår 2006 Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl 0830 1130. Løsningsforslag 1) A. (Andel som svarte riktig: 83%) Det

Detaljer

,QQOHGQLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ

,QQOHGQLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\LQJ DY RPIDW \ / VQLQJVIRVODJ WLO YLQJ,QQOHGQLQJ Der det er angitt referanser, er det underforstått at dette er til sider, figurer, ligninger, tabeller etc., i læreboken, dersom andre referanser

Detaljer

1 Geometri R2 Oppgaver

1 Geometri R2 Oppgaver 1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Øving 12.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Øving 12. TFY0 Fsikk. nstitutt for fsikk, NTNU. Høsten 06. Øving. Oppgave Partikler med masse m, ladning q og hastighet v kommer inn i et område med krsset elektrisk og magnetisk felt, E og, som vist i figuren.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1120 Elektromagnetisme Eksamensdag: 10. oktober 2016 Tid for eksamen: 10.00 13.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5

2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5 Heldagsprøve i FO99A matematikk Dato: 7. desember 010 Tidspunkt: 09:00 14:00 Antall oppgaver 4 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Alle svar skal grunngis. Forsøk å gi svarene

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 10.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 10. TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 015. Løsningsforslag til øving 10. Oppgave A B C D 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 1 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 9 x 0 x 1) Glass-staven

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

E, B. q m. TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. ving 12.

E, B. q m. TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. ving 12. TFY4104 Fsikk. nstitutt for fsikk, NTNU. ving 12. Oppgave 1 Partikler med masse m, ladning q og hastighet v kommer inn i et omrade med "krsset" elektrisk og magnetisk felt, E og, som vist i guren. E har

Detaljer

1 Virtuelt arbeid for stive legemer

1 Virtuelt arbeid for stive legemer 1 Vituelt abeid fo stive legeme Innhold: Abeidsbegepet i mekanikk Pinsippet om vituelt abeid fo stive legeme Litteatu: Igens, Statikk, kap. 10.1 10.2 Hibbele, Statics, kap. 11.1 11.3 Bell, Konstuksjonsmekanikk

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

MEK2500. Faststoffmekanikk 6. forelesning

MEK2500. Faststoffmekanikk 6. forelesning MEK2500 Faststoffmekanikk 6. forelesning Deformasjoner generelt Translasjon Rotasjon Stivlegemebevegelser Gir ikke tøyninger (eller spenninger) Ekspansjon/ Kontraksjon "formtro forandring" Skjærdeformasjon

Detaljer

Flervalgsoppgaver. Gruppeøving 1 Elektrisitet og magnetisme

Flervalgsoppgaver. Gruppeøving 1 Elektrisitet og magnetisme Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Flervalgsoppgaver Ei svært tynn sirkulær skive av kobber har radius R = 000 m og tykkelse d = 00 mm Hva er total masse? A 0560 kg B 0580 kg C 0630 kg D 0650 kg E

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005

LØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005 LØSNINGSFORSLAG TMA45 Matematikk 8. August 5 Oppgave Vi introduserer funksjonen g(x, y, z) x +y z slik at flaten z x + y er gitt ved g(x, y, z). I dette tilfellet utgjør gradienten til g en normalvektor

Detaljer

R2 - Vektorer i rommet

R2 - Vektorer i rommet R2 - Vektorer i rommet - 26.01.17 Del I - Uten hjelpemidler Løsningsskisser - versjon 31.01.17 Oppgave 1 Gitt vektorene u 1, 2, 3 og v 2, 1, 4. a) Regn ut u v b) Regn ut u v c) Regn ut w u t v d) Løs vektorligningen

Detaljer

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b. .9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =

Detaljer

EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI

EKSAMEN. MEKANIKK Fagkode: ILI HØGSKOLEN I NRVIK Teknologisk vdeling Studieretning: llmenn Maskin Studieretning: llmenn Bgg / Miljøteknikk EKSMEN I MEKNIKK Fagkode: ILI 439 000 Tid: 07.06.0, kl. 0900-400 Tillatte hjelpemidler: B: Godkjent

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

R2 - Vektorer Løsningsskisser

R2 - Vektorer Løsningsskisser K.. -.5 I R2 - Vektorer 25.09.09 Løsningsskisser Gitt vektorene u,2,3 og v 2, 3,5. Regn ut: a) u v b) u v c) u v d) 5u 2v e) v f) Vinkelen mellom u og v Oppgave I: Krever lavt kompetansenivå: Grunnleggende

Detaljer

Diagonalisering. Kapittel 10

Diagonalisering. Kapittel 10 Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel

Detaljer

Kapittel 1:Introduksjon - Statikk

Kapittel 1:Introduksjon - Statikk 1 - Introduksjon - Statikk Kapittel 1:Introduksjon - Statikk Studér: - Emnebeskrivelse - Emneinformasjon - Undervisningsplan 1.1 Oversikt over temaene Skjærkraft-, Moment- og Normalkraft-diagrammer Grunnleggende

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1. 2 x

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1. 2 x UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Brukerkurs i matematikk Mandag 4. desember 9, kl. 9-4 BOKMÅL Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar

Detaljer

Innlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13

Innlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13 Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001

EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE I FYS-1001 Eksamen i : Fys-1001 Mekanikk Eksamensdato : 06.12.2012 Tid : 09.00-13.00 Sted : Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008 TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen

Detaljer

Massegeometri. Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken.

Massegeometri. Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken. Massegeometri Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken. Tyngdepunktets plassering i ulike legemer og flater. Viktig for å kunne regne ut andre størrelser.

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1

EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1 Faglig kontakt under eksamen: Jan Bjarte Aarseth 73 59 35 68 Aase Reyes 915 75 625 EKSAMEN I EMNE TKT4116 MEKANIKK 1 Fredag 3. juni 2011 Kl 09.00 13.00 Hjelpemidler (kode C): Irgens: Formelsamling mekanikk.

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

x=1 V = x=0 1 x x 4 dx 2 x5

x=1 V = x=0 1 x x 4 dx 2 x5 TMA Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 7.. Lat oss først skissera området R som skal roterast om -aksen for å danna S.,) R Me startar med å bruka skivemetoden

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 10.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 10. TFY404 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 0. Oppgave A B C D x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 29 x 20 x ) Glass-staven er ikke i berring med

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer.

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer. I dette lille notatet skal jeg gi en kortfattet oersikt oer grnnleggende ektorregning Me a dette er forhåpentlig kjent fra før, men det skader sikkert ikke med en kort repetisjon Definisjoner Mange a de

Detaljer

UTMATTINGSPÅKJENTE SVEISTE KONSTRUKSJONER

UTMATTINGSPÅKJENTE SVEISTE KONSTRUKSJONER UTMATTINGSPÅKJENTE SVEISTE KONSTRUKSJONER konstruksjons Levetid, N = antall lastvekslinger Eksempel: Roterende aksel med svinghjul Akselen roterer med 250 o/min, 8 timer/dag, 300 dager i året. Hvis akselen

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15). Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER

Detaljer

a. Hva er de inverse transformasjonene avfølgende tre transformasjoner T, R og S: θ θ sin( ) cos( ) Fasit: 1 s x cos( θ) sin( θ) 0 0 y y z

a. Hva er de inverse transformasjonene avfølgende tre transformasjoner T, R og S: θ θ sin( ) cos( ) Fasit: 1 s x cos( θ) sin( θ) 0 0 y y z Kommentar: Svar kort og konsist. Husk at eksamen har tre oppgaver. Poengene for hver (del-) oppgave bør gi en indikasjon på hvor me tid som bør benttes per oppgave. Oppgave 1: Forskjellige emner (40 poeng)

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

HAVBØLGER. Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten:

HAVBØLGER. Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten: HAVBØLGER Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten: Airy teori, også kalt lineær bølgeteori eller bølger av første orden Fremstillingen her vil temmelig nøyaktig følge kompendiet

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT4122 MEKANIKK 2

EKSAMEN I EMNE TKT4122 MEKANIKK 2 INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: NORSK Arild H. Clausen, 73 59 76 32 Kjell Holthe, 73 59 35 53 Jan B. Aarseth, 73 59 35 68 EKSAMEN I EMNE TKT4122 MEKANIKK 2

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 4. desember

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

1 Geometri R2 Løsninger

1 Geometri R2 Løsninger 1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...

Detaljer

MEK4540/9540 Høsten 2008 Løsningsforslag

MEK4540/9540 Høsten 2008 Løsningsforslag MK454/954 Høsten 8 øsningsforslag Oppgave 1 a) Kan velge mellom følgende produksjonsmetoder: Spray-opplegg Håndopplegg Vakuum-bagging (i kombinasjon med håndopplegg eller andre metoder) Prepreg Vakuum-injisering

Detaljer