10 Tøyninger og kinematisk kompatibilitet

Transkript

1 10 Tøninger og kinematisk kompatibilitet Innhold: Deformasjon kontra stivlegemebevegelse Normaltøning Skjærtøning Kinematikkligningene Plan tøningstilstand Kompatibilitetsbetingelsen Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials, kap. 7.2 TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

2 Deformasjon og stivlegemebevegelse Når et legeme belastes, vil det bevege (forfltte) seg. Den totale bevegelsen av et legeme består av to hovedkomponenter: Deformasjon (materialet tøes) Stivlegemebevegelse (forskvning uten tøning) Hvis et legeme består av både stive og mer fleksible komponenter, vil de stive delene ofte få svært lite lokal deformasjon. De har en tilnærmet ren stivlegemebevegelse. Komponentene med lavere stivhet blir deformert i tillegg til at de også kan ha en stivlegemebevegelse. F Kun stivlegemebevegelse Det er to bidrag til stivlegemebevegelse i et legeme: Translasjon (identisk forskvningsvektor i alle punkt) Rotasjon (dreining om et gitt punkt) Total stivlegemebevegelse er summen av disse bidragene. Det er to bidrag til lokal deformasjon i et legeme: Endring av avstand mellom to punkter i materialet Endring av vinkel mellom to krssende linjer Total deformasjon er summen av disse bidragene. Et punkt i et legeme identifiseres ved koordinatene,, før deformasjon koordinatene u, v, w etter deformasjon TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

3 Deformasjon u u du d A d Forskvningsvektoren u i et punkt A med koordinater T,, er definert som u u u,, v v,, w w,, Forskvningsvektoren er u d koordinater u u u i et nabopunkt med d d, d, d. Kjederegelen: u u u d d d u du u,, v v v d v dv v,, d d d w dw w,, w w w d d d T TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

4 Normaltøninger A d u du, v dv, w dw T u, v, w T A T T,, d,, Linjestkket A er parallell med -aksen. Lengden av linjestkket er A d, dvs. et infinitesimalt linjestkke. Etter deformasjon har linjestkket flttet seg til A. Lengden A av det deformerte, infinitesimale linjestkket er A d u du u v dv v w dw w eller enklere: A d du dv dw Siden linjestkket A er parallell med -aksen, er d d 0. u v w du d, dv d, dw d TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

5 Normaltøninger (forts.) Lengden av det deformerte linjestkket blir: u v w A d 1 I ingeniøranvendelser forutsettes vanligvis små forskvningsgradienter, dvs.: u v w 1, 1, 1 Konsekvens: A d1 u Normaltøning er definert som endring i lengde dividert med opprinnelig lengde: A A u A En tilsvarende betraktning gir normaltøninger og i hhv - og -retning. Sammenhengen mellom forskvningskomponentene u og normaltøningene er dermed: u v w,, TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

6 Skjærtøninger du d C A (,) d 2 A ( u, v) C 1 dv De to ortogonale linjestkkene A og AC er parallelle med koordinataksene (hhv. og ) før deformasjon. Etter deformasjon har punktene A, og C flttet seg til hhv. A, og C, og vinkelen mellom linjestkkene er endret. Siden vi nå skal se på endring av vinkler og dessuten forutsetter små forskvningsgradienter (se side 10-5), kan det antas at lengden av linjestkkene A og AC ikke endres. A A, AC AC Siden det er antatt små deformasjoner, er vinklene 1 og 2, se figuren ovenfor, gitt ved: dv dv du du sin, sin A d AC d TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

7 Skjærtøninger (forts.) Differensialene dv og du er i utgangspunktet funksjoner av både og (og ), se nederst side Men siden linjestkkene A og AC er parallelle med hver sin koordinatakse, v u er dv d langs A og du d langs AC. Vinklene 1 er 2 dermed gitt som: v, 1 2 u Skjærtøning er definert som vinkelendring i forhold til en opprinnelig 90 vinkel: u 1 2 v En tilsvarende betraktning gir normaltøninger og i hhv - og -planet. Sammenhengen mellom forskvningskomponentene u og skjærtøningene er dermed: u v v w w u,, TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

8 TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet Kinematikkligningene på operatorform Forskvnings-tøningsligningene på sidene 10-5 og 10-7 kalles ofte for kinematikkligningene. De uttrkker kravet til kinematisk kompatibilitet mellom tøning og forskvning. På tilsvarende måte som for likevektsligningene, se side 9-21, kan kinematikkligningene uttrkkes på operatorform. Tøningsvektoren ε defineres som: ε Kinematisk kompatibilitet på operatorform: ε u Differensialoperatormatrisen er

9 Plan tøningstilstand I en plan tøningstilstand er alle tøningskomponentene i ett av de tre ortogonale snittplanene lik null. Hvis -planet er et slikt snittplan, vil kun disse tre komponentene være ulik null:,, Kinematikkligningene blir nå: hvor ε u 0 u,, 0 v u ε Merk: Plan tøning i -planet krever at ingenting verken last, geometri, forskvning eller randbetingelser avhenger av -koordinaten. Plan tøningstilstand opptrer tpisk når lange prismatiske eller slinderformede legemer er påkjent av en belastning som står normalt på lengdeaksen, og som ikke varierer langs denne aksen. TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

10 Kompatibilitetsbetingelsen Kinematikkligningene uttrkker at det er en sammenheng ε i materialet og de tre deforma- mellom tøningstilstanden sjonene u : ε u. Hvis forskvningsfeltet u =,, mulig å finne tøningene: u er kjent, er det dermed Generelt 3D tilfelle: 3 forskvningskomponenter gir 6 tøningskomponenter Plan tøning (2D): 2 forskvningskomponenter gir 3 tøningskomponenter Siden det er flere tøningskomponenter enn forskvningskomponenter, kan ikke tøningene være fullstendig uavhengige av hverandre. Tøningene må være underlagt visse betingelser som sikrer eksistens av kontinuerlige og entdig bestemte forskvningsfelt. I plan tøning er kompatibilitetsbetingelsen: TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet

11 Eksempel 10.1: Tøninger 12.5 mm C 12.5 mm 12.5 mm O A 25 mm Et kvadratisk tverrsnitt OAC har sidekanter med lengde 1 m før deformasjon. Etter deformasjon forflttes punktene A, og C som vist i figuren. Anta plan tøning. a. Finn et uttrkk for forskvningstilstanden u og v b. estem tøningsfeltet c. Vis at kompatibilitetsbetingelsen er tilfredsstilt TKT4124 Mekanikk 3, høst Tøninger og kinematisk kompatibilitet