Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3

Transkript

1 Institutt for konstruksjonsteknikk Eksamensoppgave i TKT4124 Mekanikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aase Reyes Tlf.: Eksamensdato: 14. desember 2015 Eksamenstid (fra-til): Hjelpemiddelkode/ D: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Tillatte hjelpemidler: Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Annen informasjon: Legg vekt på å levere en ryddig besvarelse med tydelige skisser og systematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten synes ufullstendig. Vær oppmerksom på at mange av delspørsmålene i settet kan løses uavhengig av hverandre. Hvis du står fast på et spørsmål fortsett med andre oppgaver, og gå heller tilbake til det vanskelige spørsmålet til slutt. Prosenttallene angir omtrentlig vekt ved sensur (og indikerer omtrentlig tidsforbruk på hver oppgave). Målform/språk: Bokmål Antall sider (uten forside): 4 Antall sider vedlegg: 9 Informasjon om trykking av eksamensoppgave Originalen er: 1-sidig 2-sidig sort/hvit farger Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.

2 OPPGAVE 1 (ca 30 %) (a) (b) Figur 1: (a) Ramme påkjent av jevnt fordelt last q. (b) Ramme påkjent av temperaturøkning. Figur 1 (a) viser en ramme som er belastet med en jevnt fordelt last q langs BC. Alle komponenter i rammen har samme tverrsnitt, bøyestivhet EI og termisk utvidelseskoeffisient T. Geometriske mål og opplagerbetingelser fremgår av figuren. Ta bare hensyn til bøyedeformasjoner. a) Løs det statisk ubestemte problemet i Figur 1 (a) ved bruk av enhetslastmetoden (kraftmetoden). Bestem lagerreaksjonene A z, C x, C z og M C. Tegn M-diagram (på strekksiden). b) Bestem vertikalforskyvningen midt på BC. Skisser konstruksjonens forskyvningsform. c) Figur 1 (b) viser den samme rammen som i Figur 1 (a), men nå virker ingen ytre laster på rammen. Derimot er innsiden av rammen utsatt for en temperaturøkning T. Utsiden av konstruksjonsdelene har ikke fått noen temperaturøkning. Anta at alle deler i rammen har et dobbeltsymmetrisk tverrsnitt med høyde h. Skissér temperaturfeltet over tverrsnittshøyden. Bestem lagerreaksjonene A z, C x, C z og M C, og tegn M-diagram (på strekksiden) for rammen med temperaturøkning i Figur 1 (b). Sett h = a/5. Side 1 av 4

3 OPPGAVE 2 (ca 15 %) Figur 2: Bjelke utsatt for to punktlaster. I denne oppgaven skal vi se på en bjelke påkjent av to punktlaster som vist i Figur 2. Geometriske mål og opplagerbetingelser fremgår av figuren. Bjelken har bøyestivhet EI og plastisk momentkapasitet M p. Skissér det elastiske momentdiagrammet for bjelken (det er ikke nødvendig å beregne det eksakte forløpet av M-diagrammet). Ta utgangspunkt i dette og foreslå tre aktuelle bruddmekanismer. Finn bruddlasten til bjelken. Kontroller om den plastiske momentkapasiteten overskrides noe sted i bjelken for den aktuelle bruddlasten. OPPGAVE 3 (ca 35 %) (a) (b) Figur 3: (a) Bjelke påkjent av jevnt fordelt last p. (b) Skive påkjent av jevnt fordelt last p. En bjelke med fast innspenning i en ende og glidelager i den andre er belastet med en jevnt fordelt last p som vist i Figur 3 (a). Anta at forskyvningen kan beskrives på formen v( x) a a x a x a x hvor a i er ukjente generaliserte frihetsgrader. Side 2 av 4

4 a) Hva er essensielle og naturlige randbetingelser? b) Gjør om vx ( ) til en likning med én generalisert frihetsgrad ved bruk av de essensielle randbetingelsene. Er de naturlige randbetingelsene oppfylt? c) Forklar hvorfor Rayleigh-Ritz metode med forskyvningsfunksjonen fra deloppgave b) kan brukes for denne bjelken. Bruk Rayleigh-Ritz metode til å finne maksimal nedbøyning av bjelken. d) Den eksakte forskyvningen kan skrives: pl 1 x 5 x 1 x vx ( ) EI 24 L 48 L 16 L Vurder kvaliteten på løsningen som du har funnet med Rayleigh-Ritz metode. e) Figur 3 (b) viser en skive med fast innspenning langs 0 x og glidelager i punktet,0 utsatt for en jevnt fordelt last, p. Anta samme forskyvningsfelt v( x, y) v( x) for bjelken (fra deloppgave b)), men anta også nå at v u( x, y) y. Er de essensielle randbetingelsene oppfylt? x f) Vis at det indre virtuelle arbeidet for skiven med det antatte forskyvningsfeltet blir: L, i y-retning som W i 1 E h L aa 2 g) Vis at det ytre virtuelle arbeidet for skiven med det antatte forskyvningsfeltet blir: W y 4 L pa 12 h) Bruk Rayleigh-Ritz metode til å anslå forskyvningen v L,0 i) Forklar kort hvordan du kan vurdere kvaliteten på løsningen. 2 midt på skiven. Side 3 av 4

5 OPPGAVE 4 (ca 10 %) Figur 4: Bjelke med snittplan. Figur 4 viser en massiv bjelke, hvor et snittplan er tegnet inn. I et punkt i bjelken er spenningene gitt som MPa σ a) Tegn spenningskomponentene gitt i spenningsmatrisen med verdi og retning på et todimensjonalt spenningselement. Hva blir den hydrostatiske og deviatoriske spenningsmatrisen? b) Et vilkårlig plan er orientert med en vinkel i forhold til x-aksen, som vist i Figur 4. Beregn normal- og skjærspenningen for spenningsmatrisen for et plan med = 50 OPPGAVE 5 (ca 10 %) Ta utgangspunkt i det generelle uttrykket for virtuelle krefters prinsipp: Fr d V (øverst på formelark A2), V og vis at enhetslastmetoden for en komponent påkjent av et moment kan skrives som: r L MM EI 0 d x. Side 4 av 4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK TKT 4124 MEKANIKK 3 Eksamen 14/ SENSUR Oppsummering: Karakterfordelingen er gjengitt i figuren nedenfor (antall og prosentvis). Ca 60% har fått A, B eller C, noe vi kan være ganske fornøyd med.

21 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Oppgave 1 Denne oppgaven har mange gjort mye bra på, særlig deloppgave a). I deloppgave b) var det mange som rett og slett manglet diagrammer, mens i deloppgave c) var det mye bra, men også en del rot i både diagrammer og beregninger. Oppgave 2 + Folk flest har funnet en eller flere relevante bruddmekanismer. Folk flest har også regnet riktig når det kommer til indre og ytre arbeid. - Det er overraskende få som har tegnet helt korrekt elastisk momentdiagram. Nesten alle poeng som er trukket skyldes i bunn og grunn feil i momentdiagram og kontrollen av bruddmekanismen etterpå. Mange har foreslått et flyteledd midt mellom de to punktlastene, som kanskje henger sammen med at det er en del som tror problemet er symmetrisk om midten. Oppgave 3 a) Denne deloppgaven har de fleste svart riktig på. b) Denne deloppgaven har veldig mange fått til. Noen blander dessverre inn en naturlig randbetingelse, da blir det dessverre slik at ikke de essensielle er oppfylt. c) Her var det varierende besvarelser. Veldig mange har fått til å finne a ved hjelp av Rayleigh-Ritz. Noen blander indre energi og indre arbeid. Veldig mange har antatt at maksimal nedbøyning er på midten og noen få roter litt med hvordan man finner maks nedbøyning. Men det er også en god del som har fått til hele deloppgaven. d) Denne oppgaven har de fleste fått noe poeng på. Folk har valgt forskjellig tilnærming til vurderingen, noen velger å sammenlikne forskyvning, andre momenter og skjærkrefter, noen få har sammenliknet alle verdier også over hele bjelken. Alt dette er helt greit, så lenge man også vurdert det man har sammenliknet. e) h) Disse oppgavene har veldig mange fått til. Noen begynner dessverre med plateteori, og da kommer man ikke i mål. i) Her er det også mye bra, og veldig mange har nevnt kompatibilitetsbetingelsen og likevektslikningene. En del blander inn eksakte løsninger og noen vil sammenlikne med bjelken. Skuffende få nevner de naturlige randkravene for spenninger. Oppgave 4 + Mange har fått til oppgaven fullstendig (100%). -

22 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Den vanligste feilen er at studenten ikke finner riktig normalvektor til det relevante planet (selv om de har tegnet riktig figur). En del roter med skjærspenningsretninger. En del glemmer at en hydrostatisk spenningstilstand også inneholder sigma33. Oppgave 5 Her har studentene svart mye bra. Dessverre ble denne oppgaven litt enten eller, slik at det er gitt veldig mange lave poengsummer (for de som egentlig ikke kunne denne utledningen), eller full score for de som kunne den. Noen få har begynt rett, men så ikke kommet seg videre det typiske da er at 2 2 de har glemt at y da I eller z da I.