UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MEK4550 Elementmetoden i faststoffmekanikk I. Eksamensdag: Mandag 17. desember Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 11 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Ingen. Rottmann: Matematische Formelsamlung, godkjent kalkulator. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave 1. (Vekt 0/100) a) Potensiell energi er utgangspunktet for elementmetoden. Hvilke ligninger løses ved å minimere potensiell energi? i) kontinuitet i legemet, ii) likvekt i legemet samt likevekt på randen, iii) energi i legemet, iv) likevekt i legemet. b) Hva er, generelt, den uavhengige variabelen i potensiell energi? i) spenninger, ii) nodekrefter, iii) forskyvninger, (Fortsettes side 2.)

2 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 2 iv) tøyninger. c) Det generelle uttrykket for stivhetsmatrisen er gitt ved k = B T EB dv V Anta at høyeste polynomgrad i B er to, x 2, og at også E varierer som x 2. Den endimensjonale Gauss regelen med p evalueringspunkter integrerer polynomer av orden (2p 1) eksakt. Hvilken regel skal en benytte for å integerer k eksakt (diskuter som om det er en dimensjon). Hva vil her være redusert integrasjon? Antall integrasjonspunkt finnes fra formelen: 2 E + B 2 + B 2 = 6 = 2p 1 p = = 7 2 = 4 d) Hvilke to hovedkrav må forskyvningsfunksjonene i elementmetoden tilfredsstille for at løsningen skal konvergerer mot riktig løsningen ved en stadig finere elementinndeling? Kompletthet, må kunne beskrive stivlegemebevegelser og konstant tøyninger. Dvs polynom av orden m, der m er den høysete deriverte i uttrykket for potensiell energi. Kontinuitet, forskyvningene må være C m 1 kontinuerlige. e) Figuren under viser en rammekonstruksjon modellert med bjelkeelementer med konstante matrial of tverrsnittsdata, EI og EA. Foreta en fornuftig elementinndeling av modellen. Diskuter og sett på knutepunktsnummer og elementnummer når en ser bort fra randkravene. (Fortsettes side.)

3 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side Elementmetoden for bjelker med konstant tverrsnittsdata, EIogEA, gir eksakte nodeforskyvninger. Det betyr her at et fysisk element er et numerisk element. Se figur. n n 4 e 5 e 2 e n 2 e 6 n 5 e 1 e 4 n 1 n 6 Oppgave 2. (Vekt 5/100) Stivhetsmatrisen til et to-noders bjelkeelement, uten aksial og skjærdeformajoner, er gitt ved: 12 6l 12 6l d 1 k = EI 6l 4l 2 6l 2l 2 d l 12 6l 12 6l og d = 2 d 6l 2l 2 6l 4l 2 Tilhørende interpolasjonspolynomer for elementet av lengde l er gitt ved: N = { 1 ξ 2 + 2ξ, l [ξ 2ξ 2 + ξ ], ξ 2 2ξ, l [ξ 2 ξ ] } Elementet er vist i figuren under. (Fortsettes side 4.) d 4 hvor ξ = x l

4 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 4 d 1 d d 2 l d 4 a) Den potensielle energien til bjelkeformulering er gitt ved: Π(w) = EIκ 2 dx l l qw dx hvor κ = d2 w dx 2 og w = Nd Hvilke krav til fullstendighet og kontinuitet gjelder for tilnærmimgen av tverrforskyvningen, w, for bjelkeformuleringen? Fullstendighet: Elementet må kunne beskrive en generell stivlegemebevegelse samt konstante tøyninger. For en bjelke i to dimensjoner er stivlegemebevegelsene forbundet med translasjon i tverrretningen samt rotasjon om en akse normalt 2D-planet. Konstante tøyninger er forbundet med konstant krumning, κ. Elementet må derfor minst kunne beskrive et andre grads polynom. Kontinuitet: Indre tøyningsenergi innholder andre deriverte, så både tverrforskyningen og den første deriverte av denne (rotasjon), må være kontinuerlig, C 1 -kontinuitet. b) Hvor mange ganger kinematisk ubestemt er problemet i figuren under når det er modellert med to elementer og vi ser bort fra aksial- og skjærdeformasjoner? u(x = 0, z = 0) = w(x = 0, z = 0) = θ y (x = 0, z = 0) = 0 og u(x = L, z = 2L) = w(x = L, z = 2L) = 0 (Fortsettes side 5.)

5 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 5 z, w q z e 2 2L e 1 EI, EA x, u L 2L Konstruksjonen er to ganger kinematisk ubestemt. (x, z) = (0, 2L) og rotasjonen om (u, z) = (L, 2L). Rotasjonen om c) Sett opp a-matrisene for de to elementene (d e = a e D). De to a-matrisene er gitt ved: a 1 = og a 2 = Da er n 1 for e 1 i (x, z) = (0, 0) og n 1 for e 2 er plassert i (x, z) = (0, 2L). d) Etabler uttrykket for global stivhetsmatrise ved bruk av a-matrisen for element e 1 og ved direkte innadering for element e 2. Stivhetsbidraget til element en, e 1 er gitt av uttrykket: K 1 g = a T 1 k 1 a 1 [ ] 12 6(2L) 12 6(2L) EI = 6(2L) 4(2L) 2 6(2L) 2(2L) (2L) 12 6(2L) 12 6(2L) 0 0 6(2L) 2(2L) 2 6(2L) 4(2L) = EI [ ] 2 0 L 0 0 (Fortsettes side 6.)

6 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 6 Bidraget fra element to kan etableres direkte ved å sette opp lokal til global nodefrihetsgradskobling e n 1 n Bidraget fra element to, e 2, er k22 2 = EI [ ] 4(L) 2 2(L) 2 (L) 2(L) 2 4(L) 2 = EI L [ ] Dette gir den totale stivheten K g = EI L [ ] e) Finn lastvekoren på grunn av den konstante fordelete lasten q z når denne virker på området x = L til x = L for det horisontale element, e 2, (se figur): q z w dx = d T r Elementlastvektoren finnes fra uttrykket: 1 ξ ξ r 2 L [ξ 2ξ = q z L 2 + ξ ] 1 ξ 2 2ξ L [ξ 2 ξ ] l dξ = q zl L 8 18L f) Sett opp global lastvektor ved direkte innaddering. Den globale lastvektoren får kun bidrag fra e 2 : R = q { } zl g) Oppfyller element kravet til fullstendighet og kompatibilitet? Fullstendighet betyr at elementet må kunne beskrive stivlegemebevegelser og konstante tøyninger for elementet. For bjelkeformuleringen (Fortsettes side 7.)

7 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 7 så er stivlegemebevegelsen translasjon i z-retning og rotasjon om y- aksen. Konstant tøyning er her konstant krumning. Elementet må derfor minst ha kvadratisk polynom. Det er oppfylt av elementets tredjegradspolynom. Kontinuitet er oppnådd både for tverrforskyvningen og den deriverte av tverrforskyvningen siden disse to parameterne er nodefrihetsgrader. Tøyningenergien inneholder andrederiverte og vi må ha C 1 kontinuitet. h) Benytt EA = EI = L = 1 of q z = 27. Hvordan sammenligner momentet i snittet x = 2L, e 2, beregnet ved M = EIκ med momentet beregnet ved en likevektsbetraktning? Løsningen finnes fra: [ ] { } EI 10 2 D1 = q zl 2 L 2 4 D 2 27 { } Momentet finnes fra krumningen: { D1 D 2 } = q zl 27EI { } 7 17 κ = d2 N dx d = 1 d 2 N 2 L dξ d = 1 d 2 (N 2 D 1 + N 4 D 2 ) 2 (L) 2 dξ 2 = 1 [ ] q z L 4 6ξ 6ξ 2 L 27EI { } 7 17 For ξ = 2 gir dette: κ(ξ = 2 ) = q zl 2 27EI 4 = 4 Dersom en ser på likevekt så må en finne r for element e 2 som kan finnes fra stivhetsmatrisen r = 6EI (L) (D D 2 ) r e = 6EI 10q z L (L) 2 27EI 8q zl 27 Dette gir momentet: = 2 10q z L 27 8q zl 27 = 94q zl 81 = 94 M = = (Fortsettes side 8.)

8 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 8 Oppgave. (Vekt 5/100) 4 η η ξ ξ 1 2 y x Figuren viser et fireknutepunkters isoparametrisk firkant skiveelement. Elementets geometri er gitt ved tykkelsen h og koordinatene til knutepunktene (x i, y i ) for i = 1, 2,, 4. Hvert knutepunkt i = 1, 2,, 4 har frihetsgrader (u i, v i ). Elementets forskyvningsfelt kan nå uttrykkes ved interpolasjonsfunksjoner basert på de naturlige koordinatene, (ξ, η): { } [ ] { } u N u = = 0 0 du = Nd v 0 N 0 d v hvor d ui = u i, d vi = v i og N 0 = 1 4 { (1 ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 η) (1 + ξ)(1 + η) (1 ξ)(1 + η) } Geometrien er gitt ved { } [ ] { } x N x = = 0 0 cx y 0 N 0 c y hvor c xi = x i, c yi = y i. a) Uttrykk forskyvningene i elementet ved hjelp av generaliserte forskyvningsmønstre N q { } [ ] { } u N u = = q0 0 qu = N v 0 N q q q0 (Fortsettes side 9.) q v

9 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 9 Finn interpolasjonsfunksjonene N q0 = { N q1 N q2 N q } N q4 ved å ta utgangspunkt i Pascals trekant. Pascals trekant 1 x y x 2 xy y 2 som gir N q0 = { 1 x y xy } b) Finn de tilhørende tøyningene ved matrisen B q i uttrykket ε xx u, x ε = ε yy = v, y = B qq 2ε xy u, y +v, x hvor u, x = u og tilsvarende for de andre uttrykkene. Finner fra uttrykket over ε xx ε yy 2ε xy = q v q u q v + q u = 0 0 { qu q v } = B q q hvor = { y } og = { x } c) Diskuter om elementet tilfredsstiller elementmetodens krav til i) fullstendighet og ii) kompatibilitet. Fullstendighet: Den høyeste deriverte i potensiell energi er første deriverte så vi trenger et lineært polynom. Det har vi både for u og v som har samme interpolasjonspolynomer. Kompatibilitet: For u- forskyvningene og v-forskyvningene så har vi et lineært polynom langs alle sidekantene. Dette kan beskrives entydig ved de to forskyvningsparameterene på sidekanten. (Fortsettes side 10.)

10 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 10 d) Anta nå at vi i stedet for å benytte generaliserte forskyvninger til å uttrykke forskyvningene tar utgangspunkt i interpolasjonsfunksjonene som er knyttet til knutepunktsforskyvningene { } [ ] { } u N u = = 0 0 du = Nd v 0 N 0 d v Vis hvordan man kommer fram til uttrykket for 2ε xy for et vilkårlig element av denne typen når forskyvningsfeltet er uttrykt ved de naturlige koordinatene. (Benytt relasjonene som er gitt i innledningen til oppgaven.) Den deriverte finnes ved bruk av kjerneregelen 2ε xy = u + v = u ξ ξ + u η η + v ξ ξ + v η η ξ d ξ u + η d η u + ξ d ξ v + η d η v hvor of finnes fra J = De deriverte er gitt ved [ ξ η J 1 = ξ η [ ξ ξ η η ] ] c = ξ x ξ c η x η c y c y ξ = 1 4 { η 1 1 η η + 1 η 1 } og η = 1 { } ξ 1 ξ 1 ξ ξ 4 e) Vis uttrykket for Jacobi-matrisen, J, når elementet er rektangulært, med bredde 2a, og høyde 2b. Benytt det generelle uttrykket for J for å komme fram til et forenklet uttrykk. For et rektangulært element så har vi c x = { 0 2a 2a 0 } og c y = { 0 0 2b 2b } som gir J = [ ] a 0 0 b (Fortsettes side 11.)

11 Eksamen i MEK4550, Mandag 17. desember Side 11 f) Benytt faktormetoden N i (ξ, η) = c i l 1 l 2... l n til å finne N 1 (ξ, η) for det kubiske elementet vist under. Benytt Lagrange interpolasjon l n i (ξ) = ξ ξ k ξ i ξ k til å finne N 6 (ξ, η). η 1 k n+1 k i ξ 6 1 Faktormetoden gir: N 1 (ξ, η) = c 1 l ξ= 1/ l ξ=1/ l ξ=1 l η= 1/ l η=2/ l η=1 = c 1 (ξ + 1 )(ξ 1 )(ξ 1)(η + 1 )(η 1 )(η 1) Bestemmer c 1 ved N 1 ( 1, 1) = c 1 ( 2 )( 4 )( 2)(2 )( 4 )( 2) = 1 = c Lagrangepolynomer: l 2(ξ) = ξ + 1 ξ 1 ξ = (1 ξ)(1 ξ)(1 + ξ) Samme uttrykk gjelder for l 2(η) slik at N 6 (ξ, η) = l 2(ξ)l 2(η). SLUTT c 1 =