Fluidmekanikk og hydrostatikk

Transkript

1 HIN IBDK R Side av 6 Fluidmekanikk og hdrostatikk Om fluider, væsker og trkk i væsker Fluider er stoffer i fltende tilstand. Med det menes at enhver kraft (og tngde) vil forandre materialmengdens form. Vannet i en ko har samme form som koen. Slår vi vannet ut over en bordlate, flter det utover. Gasser er også fluider. Forskjellen mellom væsker og gasser er at væsker har et bestemt volum, mens gasser eksanderer og fller hele det tilgjengelige volum. Fluidenes tilstand er karakterisert ved deres trkk- og hastighetsforhold. Vi skal begnne med å betrakte fluider som ikke har hastighet, dvs. de er i ro. Materialer som flter får stadig økende skjærdeformasjoner. For materialer med fasthetsegenskaer krever dette skjærsenninger. Fluider i ro kan innta vilkårlige former og ter ikke motstand mot skjærdeformasjoner som skjer langsomt. I fluider i ro er det ingen skjærsenninger. En følge av dette er at trkket i alle retninger være like stort. e e α τ= α τ x = x x Bevis. Betrakt et rismeformet fluidelement. I stillestående fluid er alle skjærsenninger lik null. La betegne trkket. Kraft å sidekantene er lik trkk gange flate. Likevektsbetraktning i x-retning gir: G F = : cosα = x e e x x cosα cosα= e e x e e = x Likevekt i -retning gir tilsvarende resonnement, bortsett fra tngden, G, men med infinitesimalt volum fås, V G, og vi får x = = e Betraktningen gjøres også med rismet i z-lanet, og i alt blir: x = = z = e I et stillestående fluid er trkket i et gitt unkt like stort i alle retninger. Dette betegnes isotro trkktilstand. For å finne størrelsen å trkket som følge av tngdekreftene å fluidet, trenger vi kun å betrakte en søle med utstrekning i tngdens retning. I ethvert unkt vil man da få trkket fra den overliggende fluidsølen. I det generelle tilfellet øker fluidets tetthet ga. komresjon. Vi skal i dette kurset avgrense oss til væsker og betrakte dem som inkomressible fluider, dvs. at væsken har en konstant tetthet. Når væske er i ro brukes betegnelsen hdrostatikk. Lufttrkket kommer som et tillegg til trkket ga. en væskesøle. Lufttrkket varierer ubetdelig med høden av (vanlige) konstruksjoner, og regnes konstant Betrakt en væskesøle med grunnflate, høde og tngde G. Likevekt i -retningen gir:

2 HIN IBDK R Side av 6 G = G Nå fås tngden av volumet V: G = mg =ρ Vg =ρ g, der ρ er væskens tetthet [kg/m 3 ]. I stedet for tetthet kan man bentte sesifikk tnge γ=ρ g [N/m 3 ]. Innsetting og divisjon med gir = +ρ g. Vi har tatt med trkket å toen av væskesølen,. Dette vil oftest være atmosfæretrkket, som vi regner konstant. Vi skal heretter betegne det med h, dvs. erstattes med h. Med trkk mener vi det relative trkket i en væske, det trkket som ikke inkluderer det omgivende trkket. =ρ gh Med absolutt trkk mener vi trkket inklusiv omgivende trkk (atmosfæretrkk, evt. damtrkk eller annet omgivende trkk). = +ρ gh Følgende måleenheter for trkk skal nevnes: abs a = N/m bar = ka atm (standard atmosfære) =,35 ka mvs = meter vannsøle 98 a, avhengig av g og temeraturen (temeraturen åvirker vannets tetthet, men det er også forskjell å ferskvann og sjøvann). Torr (mm Hg) = 33,3 a (fra kvikksølvbarometeret). Ogaver:. Beregn trkket å 5 meters vannd.. Beregn absolutt trkk å 5 meters vannd, ved standard atmosfæretrkk (5, ka). 3. En ume er lassert å toen av en 8 meter hø trkktank. umen kan gi et trkk å 8 bar. Beregn maksimalt trkk i bunnen av tanken, når den er full av vann (878 ka). 4. I et oljereservoar 33 meter under dekket å en roduksjonslattform, viser en trkkmåler et absolutt trkk å 35 bar. Beregn trkket i inngangen til rosessutstret, når det bare er stillestående olje i roduksjonsrøret. Oljens tetthet er 78 kg/m3. (96,5 bar). 5. En sugeume løfter vannet 6 meter o fra et vannreservoar i fri luft (ved normalt trkk). Hva er absoluttrkket 6 meter over reservoarets overflate når vannet står i ro? (4,5 ka) 6. Hva er største teoretiske løftehøde (med ume eller hevert) av vann ved 4 C? Damtrkket av vann ved 4 C er 7,4 ka. (9,6 m). Tenk deg at vi har løftet vannet så høt med en sugeume. Hva skjer med vannet øverst i vannsølen dersom vi lar umen gå i et forsøk å å suge vannet ennå høere?

3 HIN IBDK R Side 3 av 6 Væsketrkk mot lane flater. Innledende eksemel. Vi skal først se å væsketrkkets virkning å en lan demning. En latedam er meter bred. Det er like stort vannd, H = 8 meter, langs hele dammen. Dambredde = m 5,33 [m] 8 Lufttrkket virker både å vannflaten og å dammens tørre side, og er uavhengig av høden, dvs. vi kan se bort fra lufttrkket og regner bare med relativt trkk. I vannoverflaten er trkket dermed null. å dammens deste unkt er væsketrkket 3 =ρ gh = N/m 9,8 m/s 8 m =78,48 kn/m [ka] Over dammens bredde blir dette: 78,48 kn/m m =784,8 kn/m Dammen kan derfor betraktes som en bjelke der høden er lengden, og det er en lineært fordelt last. Lastintensiteten i overflaten er null. å 8 meters d er lastintensiteten q = 784,8 kn/m. Lastens størrelse er H = qdh, lik arealet av lastkurve-flaten. = H q = 8784,8 = 339 kn q= 784,8 kn/m Lastens angresunkt befinner seg i lastkurve-flatens senter, dvs. /3 fra nedre kant. Resultanten av trkkreftene angrier dermed å 5,33 meters d, idet: 8 m = 5,33 m 3. I raksis kan dette så brukes til å beregne olagerreaksjoner osv. når dammen skal forankres. Vi søker så å uttrkke den totale lasten fra vanntrkket som gjennomsnittstrkket gange dammens areal. ga. den lineære trkkfordelingen finner vi gjennomsnittstrkket å samme d som dam-arealets senter. Vi kan dermed beregne totalkraften som = =ρ gh, 3 = N/m 9,8 m/s 4m (m 8m)=339 kn ltså som før. Denne kraften betegnes trkkresultanten, og den angrier under flatesenteret fordi trkket øker med dbden, nærmere bestemt å 5,33 meters d. ngresstedet kalles trkksenteret. Vi skal nå finne en generell måte for å beregne trkkresultant og trkksenter.

4 HIN IBDK R Side 4 av 6 Resultantkraft og trkksenter for neddkkede, lane flater α X d X h h = sinα e O Betrakt en lan flate som åvirkes av væsketrkk. Flaten har en vinkel α i forhold til væskeoverflaten. Trkket øker med dbden h. Flatens senter befinner seg i dbde h. Linjen arallell med flaten skjærer væskeoverflaten i unkt X. En koordinatakse legges fra unkt X h og arallelt med flaten. Da blir sammenhengen mellom h og : = sin α. Flatesenteret O befinner seg i avstand fra unkt X. Trkkresultanten angrier avstanden e under flatesenteret O. Trkket å en smal strie i flaten med bredde d i avstand fra unkt X bidrar til resultantkraften med: d = d ( ) =ρ ghd=ρgsin α d Det samlede trkket blir h = d ( ) =ρgsinα d=ρgsinα =ρgsinα =ρ gh= sin α der =ρ gh Trkket å den betraktede strien bidrar til kraftmomentet omkring en akse i overflaten med: dm = d ( ) =ρghd =ρgsinα d Samlet kraftmoment om blir: ( ) sin sin M = d=ρg α d=ρg α I der I er annet arealmoment av flaten om aksen. La a være avstanden fra aksen til stedet der trkkresultanten angrier, a = + e. Nå er I M = a =ρgsin α I og =ρgsinα a=

5 m HIN IBDK R Side 5 av 6 Vi har at e a ( ) I I = = = Ved innsetting av Steiners setning, ( ) ltså I I = I +, fås e = Trkkresultanten er =, der er trkket å flatesenterets d, h. I Trkksenteret befinner seg avstanden e i flatens retning under flatesenteret, der e =. I er annet arealmoment av flaten omkring flatesenteraksen, er målet fra væskeoverflaten til flatesenteret i flatens retning, flaten og væskeoverflaten. h = sin α, α er vinkelen mellom en linje arallell med Eksemel En sirkulær damluke kan svinges horisontalt omkring en akse gjennom sentrum. Det er vann i dammen. Damluka vil være selvlukkende (hvorfor?). Hvor stort dreiemoment skal til for å åne luka? Trkkresultantens størrelse er: h = 6 e =ρ gh = π,8 9,8 = 98,6 kn 4 d =,8 m Trkksenteret befinner seg avstanden e fra lukens senter. 4 I 64 πd d 3,8 3 e = = = = =,73 mm h 6 h 6 πd 4 sin6 Nødvendig dreiemoment for åning er lik kraftmomentet av trkkresultanten omkring aksen: e= = 3 98,6,73,7 knm=7 Nm I raksis vil åningsmomentet være en del større fordi det er merkbar friksjon da kraften å leddet er ganske stor.

6 HIN IBDK R Side 6 av 6 Ogave (eksamen 999) γ = 98 N/m 3 a/ a/ Et vanningsanlegg har selvlukkende luker som vist å figuren. Lukene er kvadratiske med sida a, og vier om akselen MM. De ånes ved å dra i håndtaket H med kraften F, og de lukkes av vanntrkket. a a) Finn kraften F når lukene har størrelsen a=,6 m. b) Det vurderes å lage lukene (og kanalene) større. Bestem størrelsen a når kraften F ikke må overstige 4 Newton. Svar: a) 53 N, b) kraften blir 4 ρga F =, der L er avstanden fra M til H ( meter), a kan så regnes ut. L Ogave (Eksamen ) B m 3 m En beholder består av to kamre, se tegning. En luke B tetter beholderen slik at vann ikke renner ut. Luken er kvadratisk med sidekant 3, m. Finn størrelse, retning og beliggenhet av resultantkraften. Svar: kn, 7,5,,4 m fra.