S1 Eksamen våren 2009 Løsning

Transkript

1 S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene 1) x x x 3 x 3 x ) x 3 lg 3lg x 15 0 lg x 3lg x lg x lg x 3 lg x 3 x 1000

2 S1 Eksamen, våren 009 Løsning c) Funksjonen f er gitt ved f x ax bx 5. Grafen til f går gjennom punktene 1, 4 og 1, 8. Bruk disse opplysningene til å bestemme tallene Vi får to likninger med to ukjente f 1 4 a1 b1 5 4 a b 1 f 1 8 a 1 b a b 3 I a b 1 II a b 3 I II a I a 1 1 b 1 b d) Formelen for arealet av et trapes er A Finn en formel for b uttrykt ved A, a og h. a b h A A a b h A b a h Bestem b når A 40, a 7 og h 5. A b a h 40 b 7 5 b 9 a b h a og b. e) Erik fisker med kastesluk. Vi antar at sannsynligheten for å få fisk er 0,1 i hvert kast. 1) Hva er sannsynligheten for at Erik får akkurat én fisk i løpet av de 3 første kastene? Sannsynligheten er 0,11 0,1 3 0,43 ) Hva er sannsynligheten for at han får minst én fisk i løpet av de tre første kastene? Sannsynligheten er 11 0,1 3 0,71

3 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Oppgave Funksjonen f er gitt ved 3 f x x 6x 3. a) Finn gjennomsnittlig veksthastighet for f fra x 0 til x f f 0 8 Gjennomsnittlig veksthastighet er 4 0 f x. Hva er den momentane veksthastigheten når x 1? b) Finn 3 f x x 6x 3 f x 6x 1x f Den momentane veksthastigheten når x = 1 er -6. c) Bruk f x til å bestemme koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f f x x x x x Tegner fortegnslinje for den deriverte. fx f x x verdier f Toppunkt 0, 0 0,3. f Bunnpunkt,, 5. d) Skisser grafen til f for x -verdier mellom 1 og 3. Marker på skissen det du har funnet i a), b) og c).

4 S1 Eksamen, våren 009 Løsning

5 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Del Oppgave 3 Ved en stor videregående skole blir det brukt en nettbasert ressursside. Bruk av ressurssiden forutsetter at hver elev har installert et bestemt program på datamaskinen sin. I klasse b fikk 15 av 7 elever hjelp av IKT-seksjonen med installeringen av programmet. Resten av elevene installerte det selv. Det trekkes tilfeldig ut 10 elever i klasse b. a) Finn sannsynligheten for at 6 av de 10 elevene fikk hjelp av IKT-seksjonen. Vi bruker hypergeometrisk fordeling og finner at sannsynligheten blir , Utregning med digitalt hjelpemiddel b) Bestem sannsynligheten for at minst av de 10 elevene installerte programmet selv Sannsynligheten er 10 n 10 n 0,993 n 7 10 Utregning med digitalt hjelpemiddel Ved skolen måtte 30 % av alle elevene få hjelp av IKT-seksjonen for å komme inn på ressurssiden. c) Hva er sannsynligheten for at 9 av 4 tilfeldig valgte elever har fått hjelp av IKT-seksjonen? Forklar hvilke forutsetninger du må legge inn for å kunne regne binomisk. Forutsetningene er at alle trekk har to mulige utfall, enten har eleven fått hjelp, eller ikke fått hjelp. sannsynligheten for å trekke en som har fått hjelp er den samme hele tiden. valget av elever er uavhengige. Det skal ikke bety noe om den forrige eleven hadde fått hjelp eller ikke.

6 S1 Eksamen, våren 009 Løsning 4 0,30 1 0,30 0,1 9 9 Sannsynligheten er 4 9 Utregning med digitalt hjelpemiddel d) Hva er sannsynligheten for at minst 9 av 4 tilfeldig valgte elever har fått hjelp av IKT-seksjonen? 4 4 4n 0,30 1 0,30 0,75 n Sannsynligheten er n9 Utregning med digitalt hjelpemiddel n Oppgave 4 Alternativ 1 En fabrikant ønsker å lage modeller av esker ved å brette rektangulære ark. Vi starter med et ark som er 30 cm langt og 0 cm bredt og klipper ut et lite rektangel i hvert hjørne. Se figuren nedenfor. Vi bretter langs de stiplede linjene to ganger langs kortsidene og én gang langs langsidene. Høyden av esken blir x cm. Den ferdige esken ser ut som på figuren nedenfor.

7 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Dersom vi for eksempel lager en eske med høyde 3 cm, blir lengden av esken 18 cmog bredden 14 cm. Vi vil undersøke sammenhengen mellom høyden og volumet av esken. a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. Høyde i cm Volum i cm Vi ønsker å finne ut hvor stor høyden må være for at volumet skal bli størst mulig. Vi lar høyden av esken være x cm. b) Vis at volumet målt i cm 3 er gitt ved 3 1) ved å bruke regresjon, og V x 8x 140x 600x Bruker regresjon i GeoGebra og finner at 3 V x 8x 140x 600x ) ved å analysere figuren og bruke formelen for volumet av en slik eske. Volumet er 3 l bh 30 4x 0 x x 8x 140x 600x c) Finn ved regning den høyden som gir størst volum. Hvor stort er dette volumet? 3 V x 8x 140x 600x V x 4x 80x 600 Vi løser likningen V x 0 med digitalt hjelpemiddel og får x,83 x 8,84. Den siste løsningen gir ikke noen eske. Vi får størst volum når høyden er,83 cm. Dettte volumet blir V,83 (8,83 140,83 600,83) cm 758 cm d) Undersøk om vi kan få et større volum ved at det er langsiden som brettes to ganger og kortsiden én gang.

8 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Volumet blir nå 3 V x 30 x 0 4x x 8x 160x 600x Vi tegner grafen og leser av toppunktet. Vi ser at vi ikke kan få et større volum på denne måten. Oppgave 4 Alternativ I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy. Tabellen nedenfor viser sammenhengende verdier av to størrelser x og y. x y 45,3 3, 9,50 3,89 1,59 0,653 0,67 Du får opplyst at y med god tilnærming kan skrives som en eksponentialfunksjon f. a) Bruk regresjon til å finne funksjonsuttrykket f x. Vi bruker regresjon i GeoGebra og finner 0,3 f x 70, En modell for antall insekter i en bestemt populasjon er gitt ved der g x f x gx er antall insekter, og x er antall døgn etter et bestemt tidspunkt. b) Tegn grafen til g. Bestem antall insekter når x 0. e x

9 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Vi ser av grafen at antall insekter er 1470 når x=0. c) Finn både grafisk og ved regning hvor lang tid det tar før antall insekter er Vi ser av grafen at antallet er etter døgn. Ved regning ,e g x 0,3x 0,3x 0,3x 0,3x ,e 70,e 4 70,e e 70, 0,3x ln 70, x 0,3 d) Bruk grafen til g til å finne en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når x 8. Hva forteller svaret? Vi leser av at veksthastigheten når x 8 er 735. Svaret forteller at etter 8 døgn vokser insektpopulasjonen med 735 insekter per døgn. e) Hva nærmer antall insekter seg ifølge modellen når x blir veldig stor?

10 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Grafen viser at antallet nærmer seg Vi kan også se det av funksjonsuttrykkene. 0,3 e lim f x lim 70, 0 x x lim gx lim x x f x x Oppgave 5 Helga har sitt eget tekstilverksted. Hun syr kjoler og skjørt. Hun forbereder seg til en utstilling, hvor hun håper å oppnå godt salg. Hun syr kjolene og skjørtene av stoff som hun selv kjøper inn. Til kjolene bruker hun et silkestoff som koster 00 kroner per meter. I skjørtene bruker hun et bomullsstoff som koster 15 kroner per meter. Hun kan bruke inntil kroner på innkjøp av stoff. Men hun vil ikke satse mer enn kroner på hvert av stoffene. En kjole lages av,5 meter silkestoff. Til et skjørt går det med,0 meter bomullsstoff. Hun trenger 4 timer til å sy en kjole og 1 time til å sy et skjørt. Hun kan bruke inntil 60 timer på å sy før utstillingen. Helga regner med å kunne selge kjolene for 00 kroner stykket og skjørtene for 900 kroner stykket. Hun syr og selger x kjoler og y skjørt. a) Forklar at opplysningene ovenfor gir disse ulikhetene: (1) x 0 og y 0 () x 15 og y 30 (3) y x 40 (4) y 4x 60 Betingelsene i (1) setter grenser for det laveste antallet kjoler og skjørt Helga syr. Det er ikke mulig å sy et negativt antall. Betingelsene i () setter grenser for hvor mye hun vil bruke i penger til hvert av stoffene hun bruker til kjolene og skjørtene. Silkestoffet som hun bruker til kjolene koster 00 kroner per meter, og det går med,5 meter til en kjole. Det betyr at det går for 500 kroner i silkestoff til en kjole. Hun vil maksimalt bruke 7500 kroner til innkjøp av silkestoff. Vi har dermed betingelsen 500 x 7500 x 15

11 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Bomullsstoffet som hun bruker til skjørtene koster 15 kroner per meter, og det går med meter til et skjørt. Det betyr at det går for 50 kroner i bomullsstoff til et skjørt. Hun vil maksimalt bruke 7500 kroner til innkjøp av bomullsstoff. Vi har dermed betingelsen 50 y 7500 y 30 Betingelsen i (3) setter grense på hvor mye Helga totalt vil bruke til innkjøp av stoff. Det betyr at vi har betingelsen 500x 50y y 500x y x 40 Betingelsen i (4) setter grense på tidsbruken til Helga. Hun trenger 4 timer for å sy en kjole og 1 time for å sy et skjørt. Hun kan bruke inntil 60 timer på jobben. Vi har dermed betingelsen 4x y 60 y 4x 60 b) Skraver i et koordinatsystem det området som er definert av ulikhetene. Skriver ulikhetene i GeoGebra slik de står, men med likhetstegn i stedet for ulikhetstegn. c) Finn den største salgsinntekten Helga kan oppnå. Forklar framgangsmåten. Med de betingelsene Helga har satt er det mulige området for antall kjoler og skjørt gitt i det merkede området i oppgave b). Langs linjene som avgrenser området vil vi finne optimal inntekt. Inntekten I til Helga er gitt ved likningen I 00 x 900 y Tegner nivålinjen 00x 900y Ingen punkter på denne linjen ligger i det merkede området. Parallellforskyver linjen til den berører det merkede området i ett punkt. Dette punktet representerer den produksjonen som gir høyest inntekt.

12 S1 Eksamen, våren 009 Løsning Grafisk avlesning gir koordinatene 10, 0. Det gir inntekten I Helga får høyest salgsinntekt ved å sy 10 kjoler og 0 skjørt. Den største inntekten blir kroner. d) Hva blir overskuddet hvis hun oppnår høyest salgsinntekt? Overskuddet blir lønn til Helga. Hva blir timelønna når hun i tillegg til syingen må bruke 30 arbeidstimer på selve utstillingen? Utgiftene til Helga på 10 kjoler og 0 skjørt blir kroner 050 kroner kroner Overskuddet blir dermed kroner kroner kroner Timer som går med til å sy 10 kjoler og 0 skjørt er: 4 timer 10 1 timer 0 60 timer. I tillegg kommer det 30 timer på selve utstillingen. Til sammen 90 timer. Timelønna blir da kroner 333 kroner/time 90 timer