Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4

Transkript

1 9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere grunntallet 5 med seg selv to ganger. Dermed er Videre er ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 Oppgave 9.90 Regn ut potensene. a) ( ) d) e) ( ) ( ) Likningene og har to løsninger, fordi og og 8 er eksempler på potenslikninger. Likningen ( ) Når vi løser denne likningen, gjør vi det slik: = = eller = Vi minner om at kvadratrota av et tall a, a, er det tallet vi må multiplisere med seg selv to ganger for å få a. For eksempel er Potenslikningen 5 1

2 har dermed løsningen 5. Men også 5 er en løsning fordi I praktiske oppgaver regner vi ut 5 på lommeregneren som vist her: Løsningen av likningen 5 5 eller 5, eller, Potenslikningen 5 fører vi slik: har ingen løsninger, for når vi ganger et tall med seg selv, får vi aldri et negativt tall som svar. Produktet av to positive tall er positivt, og produktet av to negative tall er også et positivt tall. Potenslikningen a har to løsninger, a og a, når tallet a er et positivt tall, og ingen løsninger når a er et negativt tall. Når vi løser potenslikninger, får vi bruk for regnereglene for likninger. EKSEMPEL Løs potenslikningene. a) 8 = Løsning: a) eller

3 eller 1, 1 eller 1, Det fins ingen tall som er slik at blir mindre enn null. Tallet kan derfor ikke bli lik 1, og likningen = 1 har dermed ingen løsning. Likningen har ingen løsning. Oppgave 9.91 Løs likningene. a) 9 d) e) EKSEMPEL En sirkel har arealet 8,5 cm. a) Finn radien. Finn omkretsen. Løsning: a) Arealet av sirkelen er gitt ved potenslikningen: πr 8,5 πr 8,5 π π r, og da finner vi radien r ved hjelp av denne

4 r 1,6 r 1,6 r,5 Radien er,5 cm. Omkretsen er O r,5 cm cm Oppgave 9.9 a) Regn ut radien og arealet av en sirkel med omkretsen 7, cm. Regn ut radien og omkretsen i en sirkel der arealet er 105,7 m. Potenslikningen 8 har én løsning, og det er Det er en løsning fordi 8. I likningen 8 er ikke noen løsning. Grunnen er at ( ) er 8 og ikke 8 slik vi viste på side 000. Dermed er i stedet en løsning av likningen 8. Tallet kaller vi tredjerota av 8 fordi = 8. Vi skriver 8 Tredjerota av et tall a, a, er dermed det tallet som vi må gange med seg selv tre ganger for å få a. Dermed er tredjerota av 8 fordi 8 ( ) 8. Tredjerota av et tall kan vi finne på mange lommeregnere. Lommeregneren kan ha en tast som heter eller. Tredjerota av 5 finner vi da slik: Likningen 5 har dermed løsningen 5 1,71

5 Vi kan regne ut tredjerota av alle tall, både positive og negative. Potenslikningen a har derfor alltid en løsning for alle tall a. Potenslikningen a har alltid nøyaktig én løsning, og det er a. Potenslikningen 16 har en løsning fordi en løsning fordi ( ) 16. Tallet er fjerderota av 16, og vi skriver Men også er Fjerderota av et tall a er dermed det tallet som vi må multiplisere med seg selv fire ganger for å få a. Vi kan ikke finne fjerderota av negative tall. Fjerderota av et tall kan vi finne på mange lommeregnere. Hvis lommeregneren din har tasten, skriver vi tallene og 16 i de to rutene slik: Potenslikningen løser vi nå slik: 16 eller 16 eller Vi kommer ikke til å løse mange likninger av typen a i denne boka. EKSEMPEL Løs potenslikningene. a) 5 Løsning: a)

6 , eller 1, eller 1, I eksempelet brukte vi lommeregneren og fant tredjerota og fjerderota av tallene. Oppgave 9.9 Løs likningene. a) d) 1 1 e) 165 En terning er et rett prisme der alle sidekantene har samme lengde s. Arealet av grunnflaten er G s s Ettersom høyden h s, blir volumet V G h s s s s Overflaten består av 6 kvadrater som hvert har arealet overflaten blir da O 6s s s s. Arealet av 6

7 Volumet av en terning med sidekant s er gitt ved V s Arealet av overflaten er O 6s EKSEMPEL a) Finn volumet og overflaten av en terning der sidekanten er, cm. Finn sidekanten og overflatearealet av en terning der volumet er 6 cm. Finn sidekanten og volumet av en terning der overflaten har arealet 0 dm. Løsning: a) Volumet er V s (, cm) 1,8 cm Arealet av overflaten er O 6s 6 (, cm),6 cm Når volumet er 6 cm, må sidekanten målt i centimeter være gitt ved s s 6 s 6 Sidekanten er cm. Arealet av overflaten er O 6s 6 ( cm) 96 cm Når overflaten er 0 cm, er sidekanten i centimeter gitt ved likningen 6s 0 6s s 5 s 5 s, Sidekanten er, cm. Volumet er V (, cm) 11, cm 7

8 Oppgave 9.9 a) Finn volumet og overflaten av en terning der sidekanten er 6,5 cm. Finn sidekanten og volumet av en terning der overflaten har arealet 150 cm. Finn sidekanten og overflatearealet av en terning der volumet er 100 cm. EKSEMPEL Ei kule har volumet 65 cm. Finn radien i kula. Løsning: Ettersom volumet er gitt ved V likningen: r r 65 r 195 r r 15,5 r 15,5 r,5 Radien er,5 cm. r, finner vi radien r ved å løse denne Oppgave 9.95 Finn radien i en treerball, altså en ball med et volum på liter. 8

9 Oppgavedel 9.9 Potenslikninger KATEGORI 1 Oppgave Regn ut potensene. a) Oppgave Løs potenslikningene. a) d) e) f) KATEGORI Oppgave 9.90 Løs potenslikningene. a) Oppgave 9.91 Løs potenslikningene. a) 6 d) ( ) d) ( ) Oppgave 9.9 a) Finn sidekanten og overflatearealet av en terning som har volumet 15 cm. Finn volumet av en terning der overflatearealet er 96 cm. 9

10 FASIT teoridel 9.90 a) d) 7 e) a) eller 5 eller 5 5 eller 5 d) Ingen løsning e) a) 11,5 cm, 16 cm 5,8 m, 6, m 9.9 a) 5 d) 1,8 e) 9.9 a) 75 cm (7,6), 5 cm (5,5) 5 cm, 15 cm,6 cm (,6), 19 cm ,89 dm (0,897) FASIT oppgavedel a) d) a) = eller = = 10 eller = 10 = 6 eller = 6 d) Ingen løsning e) = 0 f) =,5 eller =, a) = eller = = 1,7 eller = 1,7 Ingen løsning 9.91 a) = = = d) = 1 eller = a) 5 cm, 150 cm 6 cm 10