Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04
|
|
- Matias Aune
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + + i b) Vi skriver (r, θ) for polarkoordinatene til z og (ρ, φ) for polarkoordinatene til w. Da er r a + b + ( ) + og sin θ b r Siden z ligger i første kvadrant, betyr dette at θ π. Videre er ρ a + b + og sin φ b r Siden w ligger i første kvadrant, betyr dette at φ π 4. c) Når vi deler to komplekse tall på hverandre, dividerer vi modulusene og subtraherer argumentene. Modulus til z w er altså r ρ og argumentet er θ φ π π 4 π. Dette betyr at z w ( e i π cos( π ) + i sin( π ) ) cos( π ) + i sin( π ) Sammenligner vi dette med uttrykket for z w i a), ser vi at π + cos( ) π og sin( ) (husk at to komplekse tall er like dersom realdel er lik realdel og imaginærdel er lik imaginærdel). Dermed har vi cos( π )
2 og sin( π ) 6 4 Oppgave : a) Sjekker at r i er en rot i P (z) z + z z + 0: (Jeg har skrevet opp regnestykket slik det blir seende ut om man bruker binomialformelen til å regne ut ( i). Ganger du ut dette uttrykket for hånd, får du litt andre ledd, men svaret blir selvfølgelig det samme.) P ( i) ( i) + ( i) ( i) ( i) + ( i) + ( i) + + ( + ( i) + ( i) ) ( i) + 0 6i + 8i + 8i 8 + 6i b) Siden polynomet er reelt, må også den komplekskonjugerte r +i være en rot i P. Dette betyr at P (z) er delelig på (z ( i))(z (+i)) z z +5. Polynomdivisjon gir: z + z z + 0 : z z + 5 z + 4 (z z + 5z) 4z 8z + 0 (4z 8z + 0) 0 Dette viser at den tredje roten er 4. Den reelle og komplekse faktoriseringen er derved gitt ved P (z) (z + 4)(z z + 5) (z + 4)(z + i)(z i) Bemerkning Det er også mulig å løse denne oppgaven uten å bruke at den komplekskonjugerte r + i er en rot i polynomet. Da bruker man polynomdivisjon til å dele P (z) på (z ( i)). Divisjonen går opp og gir et komplekst annengradspolynom til svar. For å finne de andre røttene, setter man dette polynomet lik null og løser annengradsligningen. Regningene er mye lengre og atskillig mer komplisert enn ved metoden ovenfor. Oppgave : a) Siden dette er et 0 0 -uttrykk, kan vi bruke L Hôpitals regel: b) Siden ln 0 og cos 0, er dette et 0 0 -uttrykk, og vi kan bruke L Hôpitals regel. I dette tilfellet får vi et nytt 0 0 -uttrykk når vi har derivert én gang, og vi må derfor bruke L Hôpitals regel en gang til: ln( + ) 0 cos 0 + sin (+) 0 cos
3 c) Dette er et -uttrykk, og vi må først flytte all -avhengigheten opp i eksponenten: ( ( tan ) e ln( tan )) e ln( tan ) ln( tan ) Mellomregning: Vi ser først på hva som skjer med eksponenten 0. Siden dette er et 0 0 -uttrykk, kan vi bruke L Hôpitals regel: ln( tan ) tan ( ) cos ( ) 0 0 der vi har brukt at tan 0 0 og cos 0. Dermed er mellomregningen ferdig, og vi kan gå tilbake til det opprinnelige uttrykket: ( tan ) e ln( tan ) e 0 0 d) I denne oppgaven lønner det seg å multiplisere med det konjugerte uttrykket over og under brøkstreken: ( + ) ( + )( + + ) + + ( + ) ( ) ( + + ) ( + + ) Oppgave 4: Vi må vise at for enhver ɛ > 0, finnes det en δ > 0 slik at f() f() < ɛ når < δ. Vi innfører hjelpestørrelsen h og observerer at + h. Uttrykket vi må kontrollere er: f() f() ( + ) ( + ) + 8 ( + h) + ( + h) h + h h 8 6h + h h 6 + h I dette uttrykket er den siste faktoren 6+h omtrent lik 6 når h er liten. Spesielt ser vi at hvis h <, så er 6 + h < 7. Sørger vi samtidig for at h < ɛ 7, blir produktet h 6 + h < ɛ. Vi velger derfor δ min{ ɛ 7, }. La oss sjekke at denne δ-en virkelig fungerer. Vi må vise at dersom < δ, så er f() f() < ɛ. Ifølge regningene ovenfor er (husk at h ) f() f() h 6 + h < ɛ 7 7 ɛ der vi har brukt at h < ɛ 7 (siden h < δ ɛ 7 ) og 6 + h 6 + h < 7 (siden h < δ ). Oppgave 5: Noen av punktene i denne oppgaven kan regnes litt enklere hvis man bruker at cot (der begge uttrykkene er definert), men jeg har tan når
4 valgt ikke å bruke cotangens i dette løsningsforslaget. a) Funksjonen er definert når tan er definert og forskjellig fra null. Tangens er udefinert for verdiene ± π, ± π, ± 5π,... og null for verdiene 0, ±π, ±π, ±π,.... Slår vi sammen disse mengdene, ser vi at g er definert når ikke er et heltallig multiplum av π : D g R \ { kπ : k Z} b) Vi bruker brøkregelen til å regne ut g (): g () tan cos tan tan cos tan Bruker vi at tan sin cos z, kan dette uttrykkes forenkles til () g () sin cos sin cos cos sin cos sin Det er ikke nødvendig å gjøre denne forenklingen for å full uttelling til eksamen, men som vi senere skal se, gjør den deler av oppgaven enklere. c) Det er flere måter å gjøre denne oppgaven på. Jeg viser to: Metode : Dette er standardmetoden for oppgaver av denne typen. Vi bruker middelverdisetningen på funksjonen h() tan i intervallet [0, ], der 0 < <. Denne setningen sier at det finnes en c mellom 0 og slik at π h() h(0) 0 h (c) cos c < cos der vi i siste skritt bruker at funksjonen / cos er voksende for 0 < < π (siden cos er avtagende i dette intervallet). Setter vi h() tan og bruker at h(0) tan 0 0, får vi tan < cos Ganger vi med på begge sider (husk at er positiv), får vi tan < cos som er ulikheten vi skulle vise. Bruker vi denne ulikheten, ser vi fra formel () ovenfor at g er avtagende på intervallet (0, π ). Metode : Denne metoden er enklere i akkurat denne oppgaven. Vi vet at sin < når > 0 (se f.eks. oppgave 6..7 i Kalkulus som ble gjennomgått på forelesning). Siden cos <, er da sin cos < når er positiv. Fra formel () ovenfor ser vi da at g () < 0 for (0, π ). Men hvis g () < 0, forteller formel () oss at tan < cos. d) Bruk kalkulatoren! (Kurven kan minne om en parabel med spissen opp, men går mot når π + og π.) () 4
5 e) Når er forskjellig fra 0 og ± π, er f kontinuerlig i siden den er en sammensetning av kontinuerlige funksjoner som er definert i en omegn om. For å vise at f er kontinuerlig i 0 og ± π, bruker vi Observasjon i Kalkulus som sier at f er kontinuerlig i a dersom a f() f(a). Vi har f() 0 0 tan 0 cos der vi har brukt L Hôpitals regel. Siden f(0), viser dette at f er kontinuerlig i 0. Videre har vi f() π π tan 0 siden tan går mot pluss eller minus uendelig når går mot π. Siden f( π ) 0, viser dette at f er kontinuerlig i π. Kontinuitet i π vises på akkurat samme måte. f) Vi bruker definisjonen av derivert. I punktet 0 har vi f f() f(0) (0) tan Bruker vi L Hôpitals regel, får vi (når vi bruker formel () ovenfor til å derivere tan ): f (0) 0 tan 0 sin cos 0 sin sin cos 0 sin Dette er et nytt 0 0 -uttrykk, og vi bruker L Hôpitals regel på nytt: f sin cos cos sin (0) 0 sin 0 sin cos Dette er nok et 0 0 -uttrykk, og vi bruker L Hôpitals regel igjen: f cos sin 4 sin cos (0) 0 sin cos 0 cos sin 0 0 Altså er f deriverbar i 0 med f (0) 0. Vi kan finne de deriverte i ± π på samme måte. Heldigvis er regningene enklere i dette tilfellet: f ( π ) π f() f( π ) π π tan π Vi kan bruke L Hôpitals regel direkte på dette uttrykket, men regningene blir enklere om vi forenkler litt først. Bruker vi at tan sin cos, får vi: f ( π ) π tan π π cos sin ( π ) π I den første faktoren setter vi bare inn π π og får: π sin π 5 sin π cos π
6 I den andre faktoren bruker vi L Hôpitals regel: Dette gir π f ( π ) π cos π π sin π sin cos π π ( ) π Dette viser at f er deriverbar i π med f ( π ) π. På akkurat samme måte viser man at f er deriverbar i π med f ( π ) π. Bemerkning: Mange vil løse oppgaver av denne typen på en annen måte. For å finne (for eksempel) f (0), regner de ut grenseverdien av f (), når går mot 0. Desom denne eksisterer, sier de at f (0) er lik denne grenseverdien. Men er dette nødvendigvis riktig? Det er det faktisk, men påstanden krever et lite bevis: Setning Anta at f er kontinuerlig i a og at a f () L. deriverbar i a og f (a) L Da er f Proof: Det er to forskjellige varianter av argumentet den ene bruker middelverdisetningen og den andre bruker L Hôpitals regel. Bruker vi L Hôpital, f() f(a) observerer vi først at siden f er kontinuerlig i a, er a a et uttrykk. L Hôpital gir dermed f() f(a) f () f () L a a a a Legg merke til at beviset forteller oss at metoden i Setning vanligvis gir nøyktig de samme regningene som metoden vi har benyttet, bortsett fra at man slipper den første bruken av L Hôpitals regel. Man bør imidlertid være klar over et faremoment ved metoden i Setning : Det kan tenkes at a f () ikke eksisterer, men at f allikevel er deriverbar i a! Du finner et eksempel på dette i oppgave 6..8b) i Kalkulus. Dette betyr at dersom du finner at a f () ikke eksisterer, så vet du faktisk ikke om f (a) eksisterer eller f() f(a) ikke. Dersom du derimot finner at a a ikke eksisterer, så vet du selvfølgelig at f (a) ikke eksisterer (fra definisjonen av f ). 6
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
7 desember EKSAMEN Løsningsorslag Emnekode: ITD5 Dato: 6 desember Hjelpemidler: Emne: Matematikk ørste deleksamen Eksamenstid: 9 Faglærer: To A-ark med valgritt innhold på begge sider Formelhete Kalkulator
DetaljerMAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
DetaljerKapittel 1. Potensregning
Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus. Øyvind Ryan
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i Kalkulus Øyvind Ryan. november 4 Innhold Kapittel 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.................................. 3 Seksjon.4.................................
DetaljerMer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerFasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A
3. november, 000 Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 00A Oppgave a) Grensen er et 0 0-uttrykk, og vi bruker l Hôpitals regel: ln cos π (ln ) (cos π ) ( sin π ) π b) Vi må først skrive uttrykket på eksponentiell
DetaljerKort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100
Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerEksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag
Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =
DetaljerEKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:
DetaljerForelesning 9 mandag den 15. september
Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerForelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2
Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerTaylor-polynom. Frå læreboka Kalkulus med én og ere variabler"av Lorentzen, Hole og Lindstrøm, Universitetsforlaget 2003
Taylor-polynom Frå læreboka Kalkulus med én og ere variabler"av Lorentzen, Hole og Lindstrøm, Universitetsforlaget 00 Tidligere har vi sett på korleis vi kan bruke tangentar til funksjoner til å estimére
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Detaljer: subs x = 2, f n x end do
Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x
DetaljerVekst av planteplankton - Skeletonema Costatum
Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum Nivå: 9. klasse Formål: Arbeid med store tall. Bruke matematikk til å beskrive naturfenomen. Program: Regneark Referanse til plan: Tall og algebra Arbeide
Detaljerer et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke.
. Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn, som ikke er delelig med andre tall enn og seg selv, altså bare delelig med og p (og egentlig også og p) At et tall
Detaljer. Vi får dermed løsningene x = 0, x = 1 og x = 2.
Innlevering i FO99A - Matematikk Innlevering 1 Innleveringsfrist. oktober 010 Antall oppgaver 11 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ( 3 + 1)( 7 + ) 1 + 3 = 3 7 + 7 + 3 + 3 + 3 = 1 + 7 + 5. b) 5/3 3 50 = 3 5
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet
DetaljerFasit, Implisitt derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 5 Fasit, Implisitt derivasjon. Oppgave Vi kaller den deriverte av y for y, og dette blir første ledd. Andre ledd må deriveres med kjerneregelen,
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerUnderveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
DetaljerGrenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419
Grenseverdier og asymptoter Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 40, 4, 42, 44, 46, 47, 48, 49 Grenseverdier Grenseverdien til en funksjon, lim x a f x g, er en verdi vi kan komme så nær vi vil, når
DetaljerLøsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
DetaljerTallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til 4 %. Prosentfaktoren til 7 % er 0,07, og prosentfaktoren til 12,5 % er 0,125.
Prosentregning Når vi skal regne ut 4 % av 10 000 kr, kan vi regne slik: 10 000 kr 4 = 400 kr 100 Men det er det samme som å regne slik: 10 000 kr 0,04 = 400 kr Tallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret
DetaljerKapittel 3. Potensregning
Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller
DetaljerUtkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.
Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir
DetaljerUttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4
9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere
Detaljern-te røtter av komplekse tall
. 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ
DetaljerEksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerNyGIV Regning som grunnleggende ferdighet
NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Yrkesfaglærere Hefte med utdelt materiell Tone Elisabeth Bakken 3.april 2014 På denne og neste fire sider er det kopier fra Tangentens oppgavehefte: MATEMATISKE
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, 6/
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00, 6/0-008. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r =, θ = 7π 6. Da er z lik: i + i i i + i Riktig svar: c) i. Begrunnelse: z = ( cos 7π 6 + i
DetaljerFaktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
DetaljerGrunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende
DetaljerOPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
DetaljerUendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerTall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013
Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerIntegrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av
DetaljerTerminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k
Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.
DetaljerLøsningsforslag til 1. del av Del - EKSAMEN
Løsningsforslag til 1. del av Del - EKSAMEN Emnekode: ITD13012 Emne: Datateknikk Dato: 13. Desember 2013 Eksamenstid: kl 9:00 til kl 12:00 Hjelpemidler: 4 sider (A4) (2 ark) med egne notater. Ikke-kummuniserende
Detaljera) Ved avlesning på graf får man. Dermed er hastighet ved tid sekund lik.
Løsningsforslag utsatt eksamen Matematikk 2, 4MX25-10 (GLU2 5-10) 5.desember 2013 Oppgave 1 a) Ved avlesning på graf får man. Dermed er hastighet ved tid sekund lik. Ved å bruke tangentlinja i punktet
DetaljerFunksjoner (kapittel 1)
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser
DetaljerAnalyse og metodikk i Calculus 1
Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................
Detaljer. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
DetaljerMatematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1
Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
Detaljer(coshu) = sinhudu. dx. Her har vi at u = w Hx, og du dx = w dy. dx = H w w. H sinh w H x = sinh w H x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 3 Avsnitt 3. 49 a) Fra tabell 3.4 på sie 222 i boka: (coshu) = sinhuu. Her har vi at u = w H, og u = w y H. Det følger
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
DetaljerLsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 6 I kapittel 6 minner oppgavene mer om de du er vant til fra skolemat
Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 6 I kapittel 6 minner oppgavene mer om de du er vant til fra skolematematikken i den forstand at de er mindre teoripregede enn i foregaende kapittel, men
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerMAT 1110 V-06: Løsningsforslag til Oblig 1
MAT V-6: Løsningsforslag til Oblig Oppgave : a) Antall sykler i stativet X rett før påfyllingen i måned n + er lik 4% av antall sykler i X måneden før, pluss % av antall sykler i Y måneden før, pluss %
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
DetaljerTMA4140 Diskret matematikk Høst 2011 Løsningsforslag Øving 7
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av?? TMA4140 Diskret matematikk Høst 011 Løsningsforslag Øving 7 7-1-10 a) Beløpet etter n 1 år ganges med 1.09 for å
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerK A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo
K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerAnalysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
DetaljerEKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS
EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
DetaljerMAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
DetaljerDEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1
HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1
DetaljerMatematikk 15 V-2008
Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z :
DetaljerECON2200: Oppgaver til plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen
DetaljerLøsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen
DetaljerS1 Eksamen våren 2009 Løsning
S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene
DetaljerStudentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform
1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller
DetaljerFasit og løsningsforslag til Julekalenderen for mellomtrinnet
Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for mellomtrinnet 01.12: Svaret er 11 For å få 11 på to terninger kreves en 5er og en 6er. Siden 6 ikke finnes på terningen kan vi altså ikke få 11. 02.12: Dagens
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
Detaljer