x=1 V = x=0 1 x x 4 dx 2 x5

Transkript

1 TMA Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 7.. Lat oss først skissera området R som skal roterast om -aksen for å danna S.,) R Me startar med å bruka skivemetoden for å finna volumet V til S, det vil seia at me tenkjer oss at S er sett saman av tnne skiver som er smmetriske om -aksen, og ved å integrera over desse finn ein volumet. Desse skivene har eit hol i midten med radius lik, og dei har ein tre radius lik. Volumet av ei slik infinitesimal tnn skive med breidde d er då dv π ) ) ), altså differansen mellom voluma av ein slinder med radius og høgde d og ein mindre slinder med radius og same høgde. Volumet av S finn ein då ved å integrera dette over -intervallet S er definert på: V π dv d ) π 5 5 π ) 5 π. Me kan òg koma fram til dette svaret ved å bruka slinderskalmetoden, der me i staden tenkjer oss at S er sett saman av tnne slinderskal som òg er smmetriske om -aksen. Radiusen til eit slikt slinderskal er lik avstanden frå -aksen, altså berre. Sidan slinderskala vil ha infinitesimal tjukne d er det ein skal integrera over og dermed må ein finna høgda til slinderskala uttrkt ved denne variabelen. Ved å invertera funksjonane som definerer R får ein at svarer til, medan svarer til. Merk at me her har valt positive forteikn sidan både og er positive i regionen me ser på. Høgda til slinderskala vert då, og volumet av eit infinitesimalt slinderskal vert då dv )πd. For å finna volumet 8. september 6 Side av 7

2 integrerer ein over -intervallet S er definert på: V π dv / d π 5 5/ ) π 5 ) π. Merk at dette er nøaktig dei integrasjonsuttrkka ein får ved å bruka tabellen på side 98 i boka Vi tegner først opp området, R, i -planet som skal roteres om henholdsvis - og -aksen.,) R Vi lar så f) og g). Disse skjærer hverandre i, ), ). a) Vi roterer R om -aksen. Volumet av rotasjonslegemet Solids of Revolution, side 9 i boka) er da gitt som V π f) d π g) d π } {{ } } {{ } V V f) g) ) d. Her tilsvarer V og V henholdsvis volumet som fremkommer ved å rotere området under f) og g) om -aksen. Vi evaluerer så integralet, V π ) d π ) 5 5 π ) π 5 5. b) Vi roter R om -aksen. Nå bruker vi slinderskallmetoden Clindrical Shells, 8. september 6 Side av 7

3 side 96 i boka). Høden til slinderskallene blir her f) g), slik at V π π π f) g)) d ) d ) d π ) π ) π Me veit at lekamen er 6 fot høg, og at det horisontale tverrsnittet z fot over grunnflata er eit rektangel med lengde + z fot og breidde 8 z fot. Lekamen er altså definert for z 6, og frå det føregåande kan ein fastslå at ei tnn horisontal skive av lekamen med høgde dz vil ha volum dv + z)8 z)dz kubikkfot. Dermed finn ein volumet ved å integrera over z: der eininga er kubikkfot. V z6 z 6 6 dv + z)8 z) dz 6 + 6z z dz 6z + z z , ) Tverrsnittet av legemet er en likesidet trekant med sider. Arealet av en likesidet trekant med sider s er s, slik at tverrsnittarealet til legemet er gitt som A). Siden legemets utstrekning er fra til, blir volumet V A) d d ) Lengden s til en kurve f) fra a til b er gitt som se side 5 i boka) b ) d s + d. d a 8. september 6 Side av 7

4 Kurven vår er gitt som ), så vi deriverer derfor implisitt, Legg merke til at d d d ) d d ), d ) d 9 ) 9 ) d ) 9 ). er definert for alle, >. Vi har nå at s + 9 ) d 9 5 d 9 5 d. Vi lar så u 9 5 slik at du 9 d eller d 9 du. Integrasjonsgrensene blir u 9 5 og u 9 5. s u du 8 8 u ) ) 8, Me skal finna bogelengda s til ) + mellom og. Då treng me eit uttrkk for bogelengdeelementet ds, som i dette tilfellet kan skrivast som ds + )) d. Me finn og ), + )) + ) ). 8. september 6 Side av 7

5 Dermed får me svaret s ds + d ) Vi bruker formelen på s. 9 i læreboken, og får A π + d π u du π 6 7/ ). Merk at vi ikke trenger absoluttverditegn på, siden For å finna den totale krafta utøvd av vatnet på demninga ser me på krafta på ei tnn stripe på tvers av den hellande overflata, sjå for eksempel Figur 7.6 på side 5 i boka for eit liknande oppsett. Me vil no sjå på eit tverrsnitt av demninga, som vist i figuren under. Sidan tverrsnittet er ein rettvinkla trekant finn ein at den nedste kateten har lengde meter. s h θ I figuren har ein lagt inn høgda h i meter av vassøla over den tnne stripa i eit punkt langs hellninga. Krafta som påverkar denne stripa kan skrivast df Lρgh ds, der L er lengda m, ρ er massetettleiken til vatnet og g er tngdeakselerasjonen. For å finna ds uttrkt ved dh kan ein sjå på vinkelen θ mellom hellninga og den vertikale vassøla; for denne har me samanhengen cos θ h s 6, 8. september 6 Side 5 av 7

6 som gjev oss ds 6 dh. Den totale krafta finn me då ved å integrera df over alle høgdene vassøla kan ha over demninga: F h h 6 Lρg 6 Lρg Lρg df h dh ) h m) kg/m )9, 8 m/s ) 6, 8 N, der me i nest siste overgang har sett inn verdiane boka bruker for ρ og g Vi tegner først opp et tverrsnitt av bassenget: Vi har også tegnet inn et tnt volumelement i grått. Som vist på figuren har dette lengde når og lengde m når. Bredden til bassenget er konstant lik 8 m og høden til volumelementet er d. Volumet i m til volumelementet blir derfor { 8 d 8 d,, dv 8 d 6 d,. Tngden er gitt som df ρg dv. Videre må volumelementet løftes ) m. Arbeidet som kreves er derfor gitt som { 8ρg ) d,, dw ) df )ρg dv 6ρg ) d,. Dersom vi setter ρ kg/m og g 9, 8 m/s, får vi det totale arbeidet i N m 8. september 6 Side 6 av 7

7 ved å integrere dw fra til, W dw 8ρg 8ρg ) d + ) d + 6ρg 6ρg ) d ) d 8ρg ) + 6ρg ) 8ρg ) + 6ρg )) 8ρg + 6ρg ρg 9, 8, 6. Det kreves altså et arbeid på omlag, 6 N m for å løfte alt vannet ut av bassenget. Review Problem 9 side 55 Lat oss kalla krafta gassen utøver på stempelet i startposisjonen for F N, og starthøgda til stempelet h, m. Gassen oppbevarast i ein slinder, så volumet av gassen i startposisjonen er V Ah, der A er tverrsnittet. Sidan kraft er trkk per areal har ein at F p A, der p er trkket i startposisjonen. Boles lov seier at produktet av gasstrkket p og gassvolumet V er konstant for isoterme prosessar, det vil seia pv p V. Dette er det same som pah p Ah, altså er p p h h, så trkket er kun ein funksjon av høgda frå botnen av slinderen og opp til stempelet. For å finna arbeidet som vert gjort av stempelet for å komprimera gassen isotermt slik at høgda berre er 5 cm må ein integrera over den krafta gassen motverkar stempelet med, som berre er avhengig av trkket p som igjen berre er avhengig av høgda h. Arbeidet som vert gjort av stempelet ved å fltta det frå h til h dh er gitt ved dw F h) dh ph)a dh p h A dh h F h dh h, og dermed finn ein det totale arbeidet som W h,5 h, dw,5 dh F h, h F h lnh)),,5 ln)f h ln) N), m) 77, 6 J. 8. september 6 Side 7 av 7