EKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Klokkeslett: Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Rute 4 Eivind Schneider Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl og NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Bokmål Oppgave 1 f(x, y) = 3x 2 6xy + x 3 + 2y + 2x er en funksjon definert i R 2. (a) Finn 1. ordens og 2. ordens partielt deriverte, dvs. f x, f y, 2 f x 2, 2 f y 2, 2 f x y 2 f y x. (b) Finn f i punktet (1, 2). La u = (1, 1) og finn den retningsderiverte D u f i retning langs u i punktet (1, 2). Oppgave 2 Betrakt vektorfeltet G(x, y) = (xe x2 +y 2 + 2xy, ye x2 +y 2 + x 2 ) definert på R 2. (a) Vis at feltet G(x, y) er konservativt. (b) At G(x, y) er konservativt betyr at det finnes et skalarfelt f(x, y) slik at G = f. Finn f(x, y) på mest mulig generell form. Oppgave 3 La S være flaten der alle punkter ligger i samme avstand fra punktene (0, 2, 0) og (2, 2, 2). (a) Vis at likninga for denne flaten er x + 2y + x = 2. Hva slags flate er det? (b) Parametriser flaten og beregn standardnormalen N. Oppgave 4 Beregn D e(x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dx dy dz, der D er definert ved 1 x 2 + y 2 + z 2 2. Hint: Jacobideterminanten for kulekoordinater (ρ, ϕ, θ) er J = ρ 2 sin ϕ. 1

3 Oppgave 5 La V være det tredimensjonale området under grafen til f(x, y) = e x2 +y 2 og over området i planet definert ved 1 x 2 + y 2 2. (a) Finn volumet av V. (b) Bruk Gauss teorem og finn fluksen av F = (2x xy)i yj + yzk ut av området V. Oppgave 6 La C være kurven (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 og la F(x, y) = (x/a 2 )i + (y/b 2 )j være et vektorfelt definert i R 2. (a) Beregn integralet F ds ved å parametrisere ellipsen og utføre linjeintegralet. C (b) Beregn F ds ved å bruke Green s teorem og beregne et flateintegral. C Oppgave 7 La S være flaten S = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z 1}. Flaten er orientert slik at enhetsnormalen til flaten har z-komponent som er rettet langs den positive z-aksen. La F = (xy, y, z), og beregn integralet F ds. Det er enklest om du bruker Stokes S teorem. Oppgave 8 Et legeme fyller området V i R 3 og har rand som er en glatt flate S = S 1 S 2. Legemet flyter i vann med S 1 under vannflaten og S 2 over. C er randkurven som skiller S 1 og S 2 (vannlinja). Anta vi har et vektorfelt F(x, y, z) som er kontinuerlig deriverbart på et område i R 3 som inneholder V. (a) Skriv opp Stokes teorem for de to flatene S 1 og S 2. randkurver konsistent. Husk på orientere flater og (b) Bruk Stokes teorem til å vise at fluksen av vektorfeltet G = F inn i legemet gjennom flaten S 1 er den samme som fluksen ut av legemet gjennom flaten S 2. Vis det samme ved hjelp av Gauss teorem. 2

4 Oppgave 9 La området V være en sylinder med lengde 2πa og radius b. Sylinderen har aksen langs z-aksen og grunnflaten hviler på xy-planet. Beregn volumet av sylinderen som et trippelintegral. Det blir enklere hvis du gjør et variabelbytte. Oppgave 10 Tenk deg at sylinderen formes til en torus W (en smultring) med store radius a og lille radius b (vi går ut fra at b < a). Torusen legges slik at senteret er i origo og symetriaksen ligger langs z-aksen i et kartesisk koordinatsystem. Transformasjonen, x(r, s, t) = (a + r cos t) cos s, y(r, s, t) = (a + r cos t) sin s, z(r, s, t) = r sin t, avbilder en boks [r 1, r 2 ] [s 1, s 2 ) [t 1, t 2 ) i (r, s, t)-rommet over på denne torusen i (x, y, z)-rommet. (a) Finn r 1, r 2, s 1, s 2, t 1, t 2 a, b, r, s, t. og lag en figur der du viser betydningen av symbolene (b) Jacobi-determinanten til transformasjonen i punkt (a) er J = r(a + r cos t). Finn volumet av torusen ved å beregne trippelintegralet dv. Hva skjer med volumet av W sylinderen når den bøyes til en torus? 3

5 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Klokkeslett: Stad: Lovlege hjelpemiddel: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen Type innføringsark (rute/linje): Rute Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: 4 Eivind Schneider Skal det gåast trøysterunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl og NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om den likevel leverast inn, vil kladden verte halden attende og ikkje sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

6 Nynorsk Oppgåve 1 f(x, y) = 3x 2 6xy + x 3 + 2y + 2x er ein funksjon definert i R 2. (a) Finn 1. ordens og 2. ordens partielt deriverte, dvs. f x, f y, 2 f x, 2 f 2 y, 2 2 f x y 2 f y x. (b) Finn f i punktet (1, 2). La u = (1, 1) og finn den retningsderiverte D u f i retning langs med u i punktet (1, 2). Oppgåve 2 Vektorfeltet G(x, y) = (xe x2 +y 2 + 2xy, ye x2 +y 2 + x 2 ) er definert på R 2. (a) Vis at feltet G(x, y) er konservativt. (b) At G(x, y) er konservativt tyder at det finns eit skalarfelt f(x, y) slik at G = f. Finn f(x, y) på mest mogleg generell form. Oppgåve 3 La S vere flata der alle punkt ligg i samme avstand fra punkta (0, 2, 0) og (2, 2, 2). (a) Vis at likninga for denne flata er x + 2y + x = 2. Kva slags flate er det? (b) Parametriser flata og finn standardnormalen N. Oppgåve 4 Rekn ut integralet D e(x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dx dy dz, der D er definert ved 1 x 2 + y 2 + z 2 2. Hint: Jacobideterminanten for kulekoordinatar (ρ, ϕ, θ, ) er J = ρ 2 sin ϕ 1

7 Oppgåve 5 La V vere det tredimensjonale området under grafen til f(x, y) = e x2 +y 2 i planet definert ved 1 x 2 + y 2 2. og over området (a) Finn volumet av V. (b) Bruk Gauss sitt teorem og finn fluksen av F = (2x xy)i yj + yzk ut av V. Oppgåve 6 La C vere kurva (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 og la F(x, y) = (x/a 2 )i + (y/b 2 )j vere eit vektorfelt definert i R 2. (a) Rekn ut integralet F ds med å parametrisere ellipsen og utføre linjeintegralet. C (b) Rekn ut F ds med å bruke Green sitt teorem og rekne ut eit flateintegral. C Oppgåve 7 La S vere flata S = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z 1}. Flata er orientert slik at normalen til flata har z-komponent som er retta langs med den positive z-aksen. La F = (xy, y, z), og rekn ut integralet F ds. Det er enklast om du bruker Stokes sitt teorem. S Oppgåve 8 Ein lekam fyller området V i R 3 og har rand som er ei glatt flate S = S 1 S 2. Lekamen flyt i vatn med S 1 under vatnflata og S 2 over. C er randkurva som skiljer S 1 og S 2 (vatnlinja). Anta vi har eit vektorfelt F(x, y, z) som er kontinuerlig deriverbart på eit område i R 3 som inneheld V. (a) Skriv Stokes sitt teorem for dei to flatene S 1 og S 2. randkurver konsistent. Husk på orientere flater og (b) Bruk Stokes sitt teorem til å vise at fluksen av vektorfeltet G = F inn i lekamen gjennom flata S 1 er den same som fluksen ut av lekamen gjennom flata S 2. Vis det same med hjelp av Gauss sitt teorem. 2

8 Oppgåve 9 La området V vere ein sylinder med lengde 2πa og radius b. Sylinderen har aksen langs med z-aksen og grunnflata kviler på xy-planet. Rekn ut volumet av sylinderen som eit trippelintegral. Det vert enklare dersom du gjer eit variabelbytte. Oppgåve 10 Tenk deg at sylinderen vert forma til ein torus W (ein smultring) med store radius a og lille radius b (vi går ut frå at b < a). Torusen vert plassert slik at senteret er i origo og symetriaksen ligg langs med z-aksen i eit kartesisk koordinatsystem. Transformasjonen, x(r, s, t) = (a + r cos t) cos s, y(r, s, t) = (a + r cos t) sin s, z(r, s, t) = r sin t, avbilder ein boks [r 1, r 2 ] [s 1, s 2 ) [t 1, t 2 ) i (r, s, t)-rommet over på denne torusen i (x, y, z)-rommet. (a) Finn r 1, r 2, s 1, s 2, t 1, t 2 og lag ein figur som viser meininga med symbola a, b, r, s, t. (b) Jacobi-determinanten til transformasjonen i punkt (a) er J = r(a + r cos t). Finn volumet av torusen med å rekne ut trippelintegralet dv. Kva skjer med volumet W av sylinderen når han vert bøyd til ein torus? 3