dx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1

Transkript

1 NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c) En hr t y = e 3 Ce (3/), så y + 3y = e 3Ce (3/) + 3e + 3Ce (3/) = e. Vi skl løse differensilligning y dy/d =. For t kvdrtrot skl være veldefinert og for å få en mulig løsning må vi nt t y >. Ant først t > og y >. D får vi dy y d = y dy = d/ y / dy = / d 3 y3/ = / + C ( ) 3 /3 y = + C. Hvis vi heller ntr t < og y <, så gir smme type beregning svret ( ) 3 /3 y = + C. Merk t hvis vi velger C <, så er løsningen kun definert for de -verdiene slik t > C /9. Selv om de uttrykkene for y er definert for henholdsvis positive og negtive, uvhengig v C, hr vi nttt t det som opphøyes i /3 er større eller lik null når vi gjorde den siste overgngen for å få dette eksplisitte uttrykket for y. I tillegg må uttrykket være større enn null siden y = ikke er tilltt i den originle differensilligningen. For C er løsningene definert for lle. Et utvlg løsninger er vist i figuren nedenfor. 35 ) L H(t) være temperturen v suppen etter tid t og H S = være temperturen i rommet. Først må mn finne konstnten k. Ved å bruke ligning 9 på side 7 med H = H() = 6, H = H() = 9 og t = gir dette H() H S = (H() H S )e k 6 = (9 )e k 7 = e k. lfov7. oktober Side

2 TMA Mtemtikk høsten y C = C = C = C = C = 5 5 Figur : Oppgve 6.5. Ved hjelp v logritmen får mn t k = ln 7 = ln 7. Neste steg er å finne tidspunktet t slik t H(t ) = 35. Ved å bruke ligning 9 på side 7 får mn Ved å sette inn k = ln 7 H(t ) H S = (H() H S )e kt får mn 35 = (9 )e kt t = k 5 ln 7 = ln k 3. t = ln 7 ln 3 = ln 7 ln Tiden det tr for suppen å kjølne fr 6 til 35 grder er derfor 7.5 = 7.5 minutt. b) Konstnten k er den smme som i forrige oppgve. L t være tidspunktet d suppen er H(t ) = 35 grder og l H S = 5. Ved å bruke ligning 9 på side 7 får mn H(t ) H S = (H() H S )e kt 35 ( 5) = (9 ( 5))e kt t = k ln lfov7. oktober Side

3 TMA Mtemtikk høsten Det tr med ndre ord 3.6 minutt for suppen å kjølne fr 9 til 35 grder i en fryser med tempertur -5 grder. Avsnitt 6.6 Definisjon på side 3 gir Work = b F () d, hvor F () er krften i punktet [, b]. L b være høyden v sylinderen før kompresjon, og høyden etter kompresjon. Trykket p er vhengig v volumet i beholderen. Siden grunnflt er konstnt, kn p derfor skrives på formen p(v ) = p(a), der er høyden på beholderen. Ved hjelp v hintet i oppgven og substitusjonsformelen på side 36 med V () = A, V () = A gir dette Work = b F () d = b p(v ())A d = b p(a)a d = V (b) V () p(v ) dv = V V p dv. Siden pv. = k, kn vi definere trykket p som en funksjon v V ved formelen p(v ) = k = kv.. Ved å bruke p V. = 5 og V = 3 får mn t k = Integrlet i oppgve 6.6. gir t rbeidet utført ved å komprimere gssen fr tilstnd (p, V ) til (p, V ) er gitt ved Work = V 35 Arbeidet er m Avsnitt m V p(v ) dv = 3 3 kg MG r [ kv. dv = 5 3. ] 3. V. 3 = [ dr = kg MG ] m 5, J. r 6 37 m Prblene skjærer hverndre i = og =. Området er symmetrisk om y-ksen, så =. Vi deler opp området i vertikl remser og får (, ỹ) = (, ( + 3) ) = (, ( + 3) ) Videre får vi M = dm = M = Dermed er Lengde = ( 3) = = 3( ) Bredde = d Arel = da = 3( ) d Msse = dm = δ da = 3δ( ) d ỹ dm = 3δ δ( 3 + 3) d = δ[ 3 + 3] = δ ( + 3)( ) d = 3δ =, ȳ = M M = 3δ/5 = 8 δ 5. ( + 3) d = 3δ 5 lfov7. oktober Side 3

4 TMA Mtemtikk høsten 3 Vi deler opp området i vertikl remser og får ( ) (, ỹ) =, Lengde = M, M og M y er gitt ved M = M = M y = Bredde = d Arel = da = d Msse = dm = δ da = dm = δ ỹ dm = δ dm = δ Pltens mssesentrum er dermed ( My (, ȳ) = M, M ) = M δ d / d = δ[ / ] 6 = 6δ d = δ (ln 6 ln ) = δ ln / d = δ 3 [3/ ] 6 = δ ( 7, ln ) ( = 7, ln ) Løser oppgven ved å bruke vertikle remser. L være et vilkårlig punkt i intervllet [, 6]. D er M, M og M y er gitt ved M = M = M y = Pltens mssesentrum er dermed (, ỹ) = (, ) Lengde = Bredde = d Arel = da = d Msse = dm = δ()da = d dm = ỹ dm = dm = d = [ ln ]6 d = 3/ d = 6 = ln 6 [ ] 6 (, ȳ) = ( M y M, M M ) = ( 5 ln 6, 3 ln 6 ). lfov7. oktober Side = 3

5 TMA Mtemtikk høsten 3 Vi hr t (, ỹ) = (, y) dm = δds M, M og M y er gitt ved M = M = M y = dm = δ ds = δ lengde ỹ dm = δ y ds dm = δ ds Koordintene til sentroiden er dermed (, ȳ) = ( M y M, M ds y ds M ) = ( lengde, lengde ). Avsnitt 7. 6 L u = ln og dv = 3 d. D får vi t v = / og du = d/, og bruker delvis integrsjon: e u dv = [uv] e e v du = [ ln ] e e 3 d = e 6 (e ) = 3e Gjennomsnittsverdien v y på intervllet [, π] er gitt ved Vi ser på integrlet v = π e t cos t dt. π π e t cos t dt. L u = e t og v = sin t. Ved å bruke delvis integrsjonsformelen på side 9 får mn [ e t sin t ] π π e t sin t dt = π e t sin t dt. Ved smme fremgngsmåte får mn ved å sette u = e t og v = cos t t Det følger t π e t sin t dt = [ e t cos t ] π π ( e π ). e t cos t dt = e π I. Dermed er v = π π ( e π ). lfov7. oktober Side 5

6 TMA Mtemtikk høsten Formel () gir tn d = tn tn y dy, der y = tn. Ved å bruke tn y = sin y cos y, og substitusjonen u = cos y, du = sin y dy, får mn sin y tn y dy = cos y dy = du = ln u + C u = ln cos y + C = ln cos (tn ) + C. I siste likhetstegnet er det brukt t y = tn. Uttrykket cos (tn ) kn forenkles ved hjelp v følgende rgument: Betrkt en rettvinklet treknt (f.eks. på side 3 i lærebok) hvor hypotenus hr lengde. L motstående (opposite) ktet h lengde o og hosliggende ktet (djcent) lengde. Velg o og slik t o =. D er tn = θ, hvor θ er vinkelen mellom hypotenus og hosliggende ktet. Ved å bruke dette og t cos θ = cos (tn ) = cos θ = =. djcent hypotenuse får mn Pytgors og o = gir t o + = o + = = +. Derfor får vi cos (tn ) = = + = ( + ) /. Mn kn også beregne cos(tn ) på følgende måte. Siden cos = ± cos cos = ± cos + sin = ± + tn får vi direkte t cos(tn ) = ± +, der vi må psse på å velge riktig fortegn. Integrlet tn d kn uttrykkes som tn d = tn + ln cos (tn ) + C = tn + ln ( + ) / + C = tn ln ( + ) + C. 9 ) sinh d = sinh sinh y dy = sinh cosh (sinh ) + C Vi sjekker svret ved å derivere I: di d = sinh + sinh + + (sinh ) = sinh. lfov7. oktober Side 6

7 TMA Mtemtikk høsten b) sinh d = sinh + d. Ved å substituere u = +, du d = får vi t + d = u du = u + C = + + C. Det følger t sinh + + C. Vi sjekker svret ved å derivere I: Eksmensoppgver di d = sinh = sinh. 3 L v(t) betegne plttformens hstighet ved tidspunkt t, der v(t) er målt i km/time og t er målt i timer med t = idet slepewiren ryker. dv VET: dt = kv, v() =, v( ) = 8 Vi løser differensillikningen ved seprsjon v vribler. dv v = k dt v = kt + C v(t) = kt C v() = C = C = og v(t) = kt +. v( ) = k +. = 8 k = 3 og v(t) =.3t +. Vi hr derfor t v(t) =.5 når.3t+. =.5, dvs. når t = 9 3 timer 6.33timer. Tilbkelgt strekning: 9/3 v(t)dt = 9/3 dt.3t +. = [ ] 9/3 ln(3t + ) = ln km 9.99km 3 3 lfov7. oktober Side 7