Fasit, Anvendelser av integrasjon.

Transkript

1 Ukeoppgaver, uke, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 5 Fasit, Anvendelser av integrasjon. Oppgave F er en rettvinklet trekant, med begge kateter av lengde, så horisontal avgrensning er x. a) V πy dx π ( x) dx π ( x + x dx π x x + ] x π Legemet blir en (liggende) kjegle med grunnflateradius r oghøydeh,ogvolumformlen for kjegle er πr h. b) Skiven får nå et hull med radius i midten. Ytre radius er f(x)+. Volumelementet dv kan da skrives dv π(y +) dx π dx π ( ( x +) ) dx π ( x x + ) dx, så volumet er V π ] x x +dx π x x +x π( +) π c) V πxy dx π x( x) dx π x x ) dx π x ] x π d ) Radien i sylinderskallet blir nå x, så volumelementet blir dv π( x)( x) dx, og volumet er V π( x) dx π x + x ) dx π x x + ] x π som vi geometrisk ser stemmer da legemet er en sylinder med radius og høyde, fratrukket en kjegleformet fordypning med radius og høyde. Oppgave a) V π y dx π 6 x dx b) V π 6x ] x π(6 9) 7π c) V π xy dx π x 6 x dx d ) Substituer med u 6 x, du 8xdx xdx 8 du. ØG: u 6,NG:u 6 6: V π u / du π ] 8 6 u/ π ( 6 ) 6 6π. 6 6

2 6 Ukeoppgaver, uke, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Oppgave a) F er en rettvinklet trekant med koordinataksene som kateter. Hypotenusen skjærer y aksen ved y h og x aksen ved x r. b) V π πr h r xy dx π r hx h r x dx π hx h ] r r x ( π hr ) hr Dette blir en kjegle med grunnflateradius r og høyde h, og volumfomelen for en kjegle er utledet. Oppgave a) h ( h, h) F y x h b) A h h x dx hx ] h x h h ( h ) h h Ved skivemetoden har vi volumformelen for området mellom y h og y x,rotertom x aksen: V x π ( y ) y dx π ( x ) dx π ] 5 x5 π 5 d) Vedskivemetodenblirradienien dx skive x, og dermed volumet π( x ) dx: e ) f ) V y π ( x ) dx π π ( x + x ) dx x x + ] 5 x5 π ( + 5 Sylinderskallmetoden gir formelen V y h πx(y y ) dx: V y h πx(h x ) dx π h π hx x hx x dx ] h Vi har fra forrige deloppgave at V (h) πh,ogdermed dv dh dh når h 5. Det spørres etter at dv dt dt ) 8π 5 ( π h h ( ) ) h πh πh. Det er dessuten oppgitt, og vi kan ved kjerneregelen sette opp dv dt dv dh dh π 5 dh dt dt dh dt 5π (desimeter i minuttet)

3 Ukeoppgaver, uke, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 7 Oppgave 5 a) Vi har y f (x) /, og dermed er lengdeelementet ds: +(y ) +(/) 6/6 + 9/6 5/6 5/ ds +(y ) dx ds 5 dx. b ) Lengden er ] 5 5 ds x dx x 5 som vi også finner fra Pytagoras, da L er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter av lengde og. c) Flateelementet ds er arealet av et sylindrisk (vertikalt) bånd med bredde ds og radius y, så det er ds πy ds, og arealet er S x πy ds π x 5 dx π ] xdxπ x 5π d) Nåerradienibåndet y +,så flateelementet er ds π(y +)ds, og arealet er S x ( ) 5 5 π(y +)ds π x + dx π x + 5 ] x 5π e) Vi får nå en horisontal variant av dette båndet, og radien er avastanden x inn til y aksen, og dermed arealelement ds πxds, og overflate S x πx ds π ] 5 5 xdxπ 8 x π f) Radien i båndet er nå x, så ds π( x) ds, og S x π( x) ds π ( x) 5 dx π 5 5 xdxπ 5x 5 8 x ] π Kjeglen har akkurat samme fasong som i forrige deloppgave, men nå har den spissen ned. Oppgave 6 a) y x, så ds +(y ) dx +x dx. b) L x ds +x dx S y x πx ds πx +x dx S x x πy ds πx +x dx

4 8 Ukeoppgaver, uke, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. c) S y er det enkleste av disse tre integralene, da en substitusjon med u +x rakt fører til målet. du 8xdx xdx 8 du, ØG+ 5,NG + : d ) S y π 8 5 u / du π ] 5 u/ π ( 5 ) Det er viktig for bruken av formelen at det ikke står noe tall foran x. Dette oppnåes ved å sette tallet utenfor slik: ( ) +x + x + x x +. Nå kan formelen brukes, med a / (og + varianten i ±): L x + dx x x + + / ] ln x + x + ( ( )) ln + + ( + ) 8 ln( /) e ) 5 + ln( + 5/) ln(/) 5 + ln( + 5) Med Maple kommer vi fram til S x.8 med kommandoen > evalf(int(*pi*x^*sqrt(+*x^),x..)); Oppgave 7 a) f (t) (e t e t )/ så ( e f (t) t e t ) ( (e t ) e t e t + ( e t) ) et + e t Dette medfører at vi har +f (t) + et + e t et + + e t Nå kan vi innse at dette må være det samme som ( (e t + e t )/ ) påfleremåter. En mulighet er å regne sammen ( (e t + e t )/ ) (siden svaret er oppgitt er det jo mulig åse at det er dette vi skal fram til). En annen mulighet er å se at uttrykket for +f (t) er det samme som det for f (t),bortsett fra motsatt fortegn på midterste ledd. Dette tilsvarer en endring fra. til. kvadratsetning. Vi kan derfor gjøre tilsvarende omforming som ved utregning av f (t) baklengs, etter først åskrive som et e t osv. Vi har derfor at ds (e +f (t) dt t + e t ) dt et + e t dt b ) Siden L b L ln ta e t + e t ds, harvi dt e t e t ] ln ( e ln() ) ] e ln() (e e ) ( )

5 Ukeoppgaver, uke, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 9 Overflatearealet er S x π ln() t yds.sidends f(t) dt er yds f(t) ds f(t) dt, ogvi har ln() ( e t + e t ) ln() S x π dt π et + + e t dt π 8 et + t ] ln() 8 e t ( π eln() +ln() ) e ln() ( e + e Siden ln() ln ln()ere ln().siden ln() ln ln(/ )ln(/) er e ln() /, og vi kan regne sammen til S x π +ln() 6 + ] ( ) 5 π 6 +ln() )] Oppgave 8 a ) Rotasjon om y aksen (sylinderskallmetoden) gir : V y π xy dx π x x dx π dx π b ) Avstanden fra en vilkårlig verdi x i mellom og, og aksen x erx i. Denne gir radien i sylinderskallet, som derfor får volumet ΔV π(x i ) f(x i )Δx. Dette integreres opp til π (x )y dxπ x dx π x ln x ] π( ln()) ( ln())] π( ln()) d ) Formel for rotasjon om x aksen (skivemetoden, kap. 6.) gir: V x π y dx π x dx π x ] π ( )] π/ Ved skivemetoden blir den vertikale skiva nå en sylinder med et sylindrisk hull. Hele sylinderen har avstanden fra y i til aksen y som radius, og dette er R i y i +. Hullet har avstanden fra omdreiningsaksen til nedre avgrensning, som er x aksen, som radius. Denne avstanden er r i. Dermed får skiva volum ΔV i πri Δx πri Δx π ( (y i +) ) Δx, og dette integreres opp til : V y π (y +) dx π y +ydx π x + x dx π ] x +ln x π ( /+ln()) ( + ln())] π(/+ln) Oppgave a ) b ) Siden x er+x >. Dermed er både teller og nevner i funksjonsuttrykket alltid større enn. Derfor er f(x) > for alle x. Integrerer funksjonen for å finne arealet: A +x dx arctan(x)] arctan() arctan() π/ π/

6 Ukeoppgaver, uke, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Ved sylinderskalmetoden finner vi at dette volumet er V y π xy dx π x +x dx Dette integreres ved å substituere med nevneren: u x +,u x du/dx x du xdx du xdx. Grensene for u er + og+ : V y π u du π ln u ] π(ln() ln()) π ln() Hans Petter Hornæs