Fasit, Implisitt derivasjon.

Transkript

1 Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 5 Fasit, Implisitt derivasjon. Oppgave Vi kaller den deriverte av y for y, og dette blir første ledd. Andre ledd må deriveres med kjerneregelen, der u y(), med u y. Den ytre funksjonen er u med derivert u så dette leddet deriveres til uy yy. Leddet har derivert, og konstanten på høyreside har derivert. Dette gir likningen y +yy y ( + y) y +y b) At y() betyr at (, ) er et punkt på grafen,og,y må passe inn i definisjonslikningen. Innsetting av dette på venstre side gir da +, som vi regner sammen og ser er lik 8 som står på høyresiden. Innsetting av,y i uttrykket for den deriverte gir verdien av y i dette punktet: y () Oppgave Innsetting av ogy på venstre side gir + + 5, som stemmer med høyresiden. b) Må bruke produktregelen på andre ledd, og kjerneregelen på. ledd, da y er en funksjon, og får +(y +y )+yy. Ved å sette inn ogy gir dette ++y +y 5y 5 y c ) Innsatt i tangentlikningen y f(a)+f (a)( a) får vi y ( ) y +. I Maple kan kurven og tangenten plottes (på området mellom ± i begge retninger) ved kommandoen > plots[implicitplot]({^+**y+y^5,y-+}, -..,y-..); og resultatet blir y

2 6 Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. Oppgave Deriverer begge side av likhetstegnet med hensyn på. For tan(y) brukes kjerneregelen med funksjonen y som kjerne:. Siden tan(y) er tan (y) så ( +tan (y) ) y y y + +tan (y) c ) Kjerneregelen gir med denne varianten av derivasjonsregelen cos (y) y y cos (y) d ) Fra figuren har vi cos(y) motstående katet dividert med hypotenusen, dvs. cos(y) / +.Dermeder ( ) y y + ( + ) y + e ) Grafen til den omvendte funksjonen kan vi tegne ved å speile grafen om diagonalen gitt ved y. Assymptotene blir også speilet, til horisontale assymptoter ved y ±π/: 4 y f) Vi har at f() π/4. Siden d d arctan() + er f () +. Tangentlikningen y f(a)+f (a)( a) meda erda y π/4+ ( ) y +(π/4 ) g ) Leddet π/4.854 er konstantleddet. arctan(), grafen går gjennom origo. arctan( ) arctan() π/4, på grunn av symmetri om origo. lim arctan() π/, grafen har en horisontal assymptote mot høyre ved y π/ (som stammer fra den vertikale assymptoten ved π/ fortangens). lim arctan() π/, grafen har en horisontal assymptote mot venstre ved y π/.

3 Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 7 Oppgave 4 Bruker linearitetene (af + bg) af + bg og derivasjonsreglene for arcsin og arctan: arcsin() arctan() + Produktregelen (u v) u v + uv gir: arctan()+( +) arctan()+ + c ) Kjerneregelen med kjerne u(), ogdermedu. Den ytre funksjonen er y(u) arctan(u): dy d dy du du d +u +() +4 d ) Kjerneregelen med kjerne u(),ogdermedu. Den ytre funksjonen er y(u) arcsin(u): dy d dy du du d u ( ) 4 I figuren til høyre er en rettvinklet trekant med kateter av lengde og. Tangens til den hosliggende vinkelen til kateten med lengde er /. Det vil si at om vi kaller denne vinkelen y, ertan(y). Lengden av hypotenusen h kan så uttrykkes ved de to katetene via den Pytagoreiske læresetning: h + h +. Oppgave 5 Hvis vi kaller den andre kateten h er + y π/6 h + ( ) h +4 h h Fra figuren ser vi at tan(π/) /, siden tangens er motstående dividert med hosliggende katet. Dermed er arctan( ) π/ π/ 6 h c) sin(π/) /, siden sinus er motstående katet dividert med hypotenusen. Dermed er arcsin( /) π/ d) Ved å bruke π/6 vinkelen, med kateten med lengde som motstående katet, finner vi sin(/) π/6 arcsin(/) π/6 og tan(/ ) π/6 arctan(/ ) π/6

4 8 Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. Vi bruker vanligvis omformingen ( ) e) Både arctangens og arcsinus har grafer symmetrisk om origo, som betyr at minus går utenfor : arctan( ) arctan( ) π/ og arcsin( /) arcsin(/) π/6 Oppgave 6 Stigningen / betyr nok at bortover gir oppover, det vil si at tan(v) /. Dermed er vinkelen v arctan(/). På kalkulator er denne gjerne angitt som tan,på samme tast som tangens. Dette gir arctan(/) 5.7. Hvis du får arctan(/).9967 skyldes det at kalkulatoren er innstilt i radianer. Sammenhengen er π 5.76 og 5.76 π Når tolkningen av arcustangens, som i dette tilfellet, er geometrisk som en vinkel er det greit åbruke grader. Ellers må radianerbrukes. Det kan diskuteres om tolkningen isteden skal være at meter langs veien (hypotenusen) gir en høydeøkning på meter.iså fall er svaret arcsin(/), som gir 5.74, i praksis ingen forskjell.. Stigningskoeffisienten er tangens til vinkelen med aksen. Det vil si at vinkelen er arctan() 6.4 (.7 radianer). Oppgave 7 f f( + h) f() h arctan(/h ) () lim lim lim arctan(/h ) h h h h h Når h vilu /h (enten h er positiv eller negativ), så lim h arctan(/h ) lim arctan(u) π/ u Siden grensen eksisterer er også funksjonen deriverbar for. Grafen til f() ser forøvrig slik ut på etområde rundt origo:.5 y

5 Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 9 Oppgave 8 a) Ved åskrive n + h har vi h n,ogh tilsvarer n har vi: f ( n ) def f( n + h) f( n ) f() f( n ) lim lim h h n n Vi kjenner ikke for noen verdier mellom n og n+, og kan derfor ikke regne ut grensen. Det beste vi kan gjøre er å tilnærme grensen ved å sette inn n+, den kjente verdien som er nærmest n (av de som er større enn n ). Det vil si f ( n ) lim n f() f( n ) n f( n+) f( n ) n+ n f ( )f (4) f(6) f(4) Tilsvarende argument med h< gir f ( n ) lim n f() f( n ) n f( n ) f( n ) n n f( n) f( n ) n n Vi har byttet rekkefølgen på leddene i teller og nevner, og dermed fortegn på begge. Dette er fordi det er hensiksmessig med nevneren >. f ( )f (4) f(4) f() c) f.5.5 (4). d ) Gjennomsnittet er halvparten av summen: f ( n ) ( f(n+ ) f( n ) + f( ) n) f( n ) ( ) f(n+ ) f( n )+f( n ) f( n ) n+ n n n h f( n+) f( n ) h med h n+ n, avstanden mellom verdiene. Hans Petter Hornæs Hans Petter Hornæs