Kap : Derivasjon 1.

Transkript

1 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Kap : Derivasjon. Oppgave Den deriverte av en funksjon f er funksjonen f definert ved f x) lim Δx 0 for alle x der denne grensen eksisterer. fx +Δx) fx) Δx a ) Bruk denne definisjonen til åsjekkeatf x) m hvis fx) mx + b m og b konstanter). b ) Bruk denne definisjonen til åsjekkeatf x) 3x 2 hvis fx) x 3. Dette er en oppgave for åsjekkeomduforstår derivasjonen av den deriverte. Ikke bruk alt for lang tid på denne oppgaven hvis du synes den er for vanskelig, de neste oppgavene er lettere: Oppgave 2 Så litt regnetrening på grunnleggende derivasjonsregler for algebraiske funksjoner: Notatet Derivasjons- og integrasjonsregler vil bli vedlagt eksamen. Bruk gjerne dette når du løser oppgavene. Finn f x) for følgende funksjonsutrykk: a) fx) 3x 4 b) fx) x 2 c) fx) x 2 +5x d) fx) x 5 e) fx) x 3 2x 2 +7x f) fx) x 4 2x 3 +3x 2 π Oppgave 3 Minner om produktregelen og kvotientregelen for derivasjon: Produktregelen: fg) f g + fg. Kvotientregelen: ) f f g fg. g g 2 Bruk produkt- og kvotientregelen til å derivere følgende funksjoner. Det er ikke nødvendig å regne sammen polynomene som kommer i svaret. a) hx) xx 4 + x) b) fx) x 2 +)x 3 ) c) hx) x 2 +3x +)x 2 3x +) d) fx) x x + e) hx) x2 + f) fx) x 3 x

2 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 2 Oppgave 4 Potensregelen, x r ) rx r, gjelder for alle konstanter r. a) Skriv x som x /2 og deriver denne med potensregelen r /2). Skriv svaret med rottegn og brøkstrek ikke brøkpotenser, potenser med brøk i eksponenten). b) Skriv x som x /2 og deriver denne med potensregelen. c) Deriver 3 x d) Deriver 4 x e) Deriver 3 x f) Deriver x 2 +) x Oppgave 5 En funksjon er definert for alle x R ved funksjonsuttrykket fx) 2 x2 +2x 3 a) Regn ut f 4). b ) Finn funksjonsuttrykket for) den deriverte av fx). c) Regn ut f 4), den deriverte i punktet fra a oppgaven. d ) Den deriverte er stigningskoeffisienten m i likningen y mx + b for tangenten der x 4. Bestem også konstanten b uten bruk av ferdig formel for tangentlikning). e ) Lag en skisse av et utsnitt av grafen sammen med tangenten. Du kan bruke elektronisk hjelpemiddel kalkulator, Maple etc. ). f ) Skriv opp en generell formel helst med utledning) for likningen til tangenten til grafen til en vilkårlig deriverbar funksjon f i punktet med koordinater a, fa)). g ) Bruk denne formelen til å finne en likning for tangenten til kurven gitt ved y x for x 4. Hvis y er den sammensatte funksjonen y fux)) kan den deriveres med kjerneregelen: Newton: fux)) f u)u dy x) Leibniz: dx dy du du dx Oppgave 6 Deriver følgende funksjoner med kjerneregelen. a) fx) 2x +) 3 b) gx) x 2 +3x +2) 5 c) hx) 4x +3 d) ix) 3 x 3 +8 Den deriverte tolket som fart. En viktig anvendelse av derivasjon såvel som et viktig bidrag til å forstå begrepet derivert er fart. Den første oppgaven er ment som en slags utledning av at farten faktisk er den deriverte av posisjonen med hensyn på tiden:

3 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 3 Oppgave 7 En bilfører hadde med en kartleser som førte detaljert logg av tilbakelagt strekning veg) s og tid t. Hanfikkpå denne måten en beskrivelse ved en tabell, og dermed også engraf) av vegen som funksjon av tiden, t st). Vi tenker oss tiden gitt i timer som desimaltall, med enhet h) fra startidspunktet som dermed er t 0, og strekningen gitt i kilometer med enhet km) fra startidspunktet, slik at s0) 0. Grafen til funksjonen ble seende slik ut: s kilometer, km) st 0 +Δt) st 0 ) Δs st) ,5 t 0 Δt t 0 +Δt,5 t timer, h) a ) Ved et gitt tidspunkt som vi kaller t 0 har vi st 0 ) 48km. Symbolbruken t 0 er ganske vanlig for en fast verdi konstant) som skal settes inn for variabelen t, men for at argumentet skal være av generell karakter presiserer vi ikke hvilket tall t 0 er. Et kvarter senere har han tilbakelagt en streking på 63km. En vanlig notasjon i matematikk og fysikk) på lengden på et intervall på t aksen er Δt, så vi kan uttrykke dette som at Δt 0.25h, og at st 0 +Δt) 63km eller i dette tilfellet st h) 63km. Hva er i dette tilfellet tilbakelagt stekning i tidsrommet fra t 0 til t 0 +Δt? Hva er i dette tilfellet gjennomsnittsfarten i tidsrommet fra t 0 til t 0 +Δt? Forsøk å regne med benevninger, slik man gjør i fysikken, i denne deloppgaven. I matematikken dropper vi ofte benevningene, og det kan dere gjøre i fortsettelsen. b) LagΔt) være et utrykk generelt for gjennomsnittsfarten i et tidsrom fra t 0 til t 0 +Δt. Sett opp uttrykket gδt). c ) Det vil si at gδt) et utrykk med de dere trenger av symbolene s, t, t 0 og Δt, uten at det settes inn tall for noen av disse. Forklar med utgangspunkt i definisjonen på forrige oppgavesett) at lim gδt) Δt 0 s t) d ) Gi en praktisk fysisk) tolkning av hva grensen i forrige deloppgave uttrykker. Finnes det noe i bilen som gjør at verdien på denne grensen kan sjekkes direkte under kjøreturen? e ) Hvordan kan at 0 ), bilens aksellerasjon ved tidspunktet t 0, uttrykkes ved s og t 0?

4 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 4 Oppgave 8 Hvis en ball kastes ut fra et ståsted s 0 meter over bakken med en vertikal hastighetskomponent v 0 ved tidspunktet t 0 tiden t gitt i sekunder) er høyden s over bakkenivå ved tidspunktet t gitt ved formelen st) 2 gt2 + v 0 t + s 0 Parameteren g er tyngdens aksellerasjon, g 9.8m/s 2. I denne oppgaven forenkler vi til g 0m/s 2. a ) b ) c ) En ball kastes oppover fra et 5 meter høyt tårn ved t 0, med en vertikalhastighet på 0m/s. Sett opp funksjonsuttrykket med tall istedenfor parametre) i dette tilfellet. Etter hvor mange sekunder oppnår ballen maksimal høyde, og hvor høyt over bakken er den da? Etter hvor mange sekunder treffer ballen bakken, og hva er den vertikale hastighetskomponenten da? Oppgave 9 Til slutt mer drilling av derivasjonsteknikk og tangentlikningen: Finn likningen for tangenten til grafen til følgende funksjoner, i punktet med oppgitt x koordinat: a) fx) x 2,x b) fx) 4x 7, x4 c) fx) 2x +4 3x 4,x2 d) fx) 4 x 2 +7, x 3 e) fx) x x 2 +6,x3 f) fx) x 4x +, x , Hans Petter Hornæs

5 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. Fasit, Kap : Derivasjon. Oppgave a ) Ved innsetting av bl.a. fx +Δx) mx +Δx)+b mx + mδx + b i definisjonen får du f mx + mδx + b mx + b) mδx x) lim lim x 0 Δx x 0 Δx lim m m x 0 I det siste uttrykket hadde vi forkortet bort Δx og står igjen med grensen for en konstant, som er denne konstanten. At den deriverte er konstant, det vil si ikke avhenger av x, reflekterer det faktum at en lineær funksjon har samme stigning over alt. b ) I dette tilfellet er fx+δx) x+δx) 3 x+δx) 2 x+δx) x 2 +2Δxx+Δx 2 )x+δx) x 3 + x 2 Δx +2Δxx x +2Δxx Δx +Δx 2 x +Δx 2 Δx x 3 +3x 2 Δx +3xΔx 2 +Δx 3 : f x) lim x 0 x 3 +3x 2 Δx +3xΔx 2 +Δx 3 x 3 Δx lim x 0 3x 2 Δx +3xΔx 2 +Δx 3 Δx lim x 0 3x2 +3xΔx +Δx 2 3x 2 Siden Δx ikke lenger finnes i nevner etter forkorting kan vi finne grensen ved innsetting Δx 0. Oppgave 2 a) 3x 4) 3, f.eks. ved regelen mx + b) m. b) x 2 ) 2x, f.eks. ved regelen x r ) rx r med r 2. c) x 2 +5x ) 2x +5, deriverer ledd for ledd og setter konstanter utenfor. d) x 5 ) 5x 4 ved regelen x r ) rx r med r 5. e) x 3 2x 2 +7x ) 3x 2 22x)+73x 2 4x +7 f) x 4 2x 3 +3x 2 π) 4x 3 23x 2 )+32x) 4x 3 6x 2 +6x. π 3.45 er en konstant, og har derfor derivert 0. Oppgave 3 a) xx 4 + x) ) x 4 + x)+x 4x 3 +)x 4 + x)+x 4x 3 +). b) c) d) e) f) I følge oppgaveteksten er dette godt nok svar. Dette kan selvfølgelig regnes sammen til x 4 +x+4x 4 +x 5x 4 +2x. Det samme får du selvfølgelig om du regner sammen xx 4 + x) tilx 5 + x 2 og deriverer dette. x 2 +)x 3 ) ) 2xx 3 ) + x 2 +)3x 2 x 2 +3x +)x 2 3x +) ) 2x +3)x 2 3x +)+x 2 +3x + )2x 3) ) x x +) x x + x +) 2 x +) 2 x 2 ) + 2xx3 ) x 2 +)3x 2 x 3 ) 0 x x x 2 x 3 ) 2 x 2. Merk at du kunne funnet det samme lettere) ved åskrive/x x og derivert med potensregelen, med r. Se neste oppgave.

6 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 2 Oppgave 4 a) x /2) 2 x/2 2 x /2 2 x /2 2 x b) c) d) e) f ) Negativt tall i eksponenten betyr jo at vi får den tilsvarende positive eksponenten ved å sette hele potensen ned i nevner. Denne derivasjonen er svært vanlig, det er kanske en ide åhuskeat x /2 x). x /2) 2 x /2 2 x 3/2 2x 3/2 2 x 3 x) 3 er også en gyldig omskrivning av x 3/2. 3 x ) x /3) 3 x 2/3 3 3 x 2 4 x ) x /4) 4 x 3/4 4 4 x 3 ) 3 x /3) x 3 x 4/3 3 3 x 4 Vi har fra a oppgaven at x /2 x), og kombinerer med produktregelen: x 2 +) x ) 2x x +x 2 +) Oppgave 5 a) f 4) 2 4)2 +2 4) x 2x x + x2 + 2 x b) f x) x +2. c) f 4) d ) Siden tangeringspunktet, med x 4 ogy 3, ligger på tangenten må dette paret passe inn i tangentlikningene y 2x + b: 3 2 4) + b b 3 8 så tangentlikningen er y 2x. e) x 0 0 y

7 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 3 f ) Tangentlikningen kan f.eks. skrives y fa)+f a)x a) Vi har nærmest per konstruksjon av den deriverte at m f a) i tangentlikningen y mx+b. Insetting av tangeringspunktet a, fa)) i likningen y f a)x + b gir da som settes inn i y f a)x + b: fa) f a) a + b b fa) f a)a y f a)x + fa) f a)a y fa)+f a)x f a)a y fa)+f a)x a) g) Vi har at y4) 4 2, og fra tidligere at y /2 x)så y 4) /2 2) /4: y 2+ 4 x 4) som kan omformes til y 2+ 4 x 4 4 y 2+ 4 x 4 2 y 4 x I mange sammenhenger er formen y 2+ 4 x 4) vel så hensiktsmessig, og er et like riktig svar. Oppgave 6 a) Her er kjernen u 2x + med u 2. Den ytre funksjonen er u 3 med derivert 3u 2,så kjerneregelen gir d dx 2x +)3 3u 2 u 32x +) 2 262x +) 2 Merk bruken av Leibniz skrivemåte helt til venstre på forrige linje. Nårmanskalsetteinnhele funksjonsuttrykket ) for det som skal deriveres er dette en mer hensiktsmessig måte enn å skrive 2x +) 3 med Newtons notasjon. Litt forskjellige skrivemåter for å vise noen flere varianter med Leibniz notasjon i fortsettelsen: b) Kjerne u x 2 +3x + med deriver u d dx x2 +3x +2)2x + 3, og ytre funksjon u 5 med derivert d du u5 5u 4 : d dx x2 +3x +2) 5 5u 4 du dx 5x2 +3x +) 4 2x +3) c) u 4x +3medu 4 og ytre funksjon u med derivert /2 u): d) d d d 4x +3 u 4x +3) dx du dx 2 u x x +3 di dx d 3 d u du dx x3 +8) d du u/3 3x 2 3 u 2/3 3x u 2 3x2 x 2 3 x 3 +8) 2

8 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 4 Oppgave 7 a ) Tilbakelagt strekning er Δs st 0 +Δt) st 0 ) 63km 48km 5km. Gjennomsnittsfarten er tilbakelagt strekning dividert med tid, altså Δs b) c ) Δt 5km 0.25h 60km h. gδt) Δs Δt st 0 +Δt) st 0 ) Δt Vi har definert den deriverte av fx) i punktet a som f a) def fa +Δx) fa) lim. Δx 0 Δx Uttrykket for gδ) er akkurat likt, bare med andre bokstaver: s istedenfor f og t istedenfor x, t 0 istedenfor a og Δt istedenfor Δx: st 0 +Δt) st 0 ) def lim s t 0 ) Δt 0 Δt d ) e ) Denne grensen er gjennomsnittsfarten i et uendelig kort tidsrom fra t 0,ogerdermedfarten akkurat ved tidspunktet t 0. Det er denne vi leser av på bilens speedometer. Kommentarer: Det vanlige symbolet for fart er v engelsk: velocity), slik at dette kan skrives vt 0 ) s t 0 ). Det gjelder vilkårlig tidspunkt t 0, slik at vi kan skrive vt) s t). Når vi deriverer med hensyn på t tiden) er det vanlig åbrukenotasjonenṡ istedenfor s Newtons notasjon). Med Leibniz notasjon kan vi skrive vt) ds, og det er i denne sammenheng naturlig å forestille seg dt farten som forholdet mellom et uendelig kort vegstykke ds og en uendelig kort tid dt. Vi kan si at farten er endringen i tilbakelagt strekning i forhold til tid, mens aksellerasjon erendringifartiforholdtiltid.detvilsiatat) vt). Siden v allerede er den deriverte av s kommer vi fra s til a ved to gangers derivering. Skrivemåten for andrederiverte med henholdsvis Newtons og Leibniz notasjon er Oppgave 8 a) st) 5t 2 +0t +5. at) st) d2 s dt 2 b) Den deriverte av posisjonen høyden) med hensyn på tiden,ds/dt vt), er farten den vertikale hastighetskomponenten). I det ballen er i toppen av sin bane snur hastigheten fra positiv oppover) til negativ,og er 0 i dette punktet. Problemet er derfor å finne punktet der farten vt) er0. vt) ds 0t +0, 0t +00 t dvs.t sekund. dt Det betyr at den er på toppen av banen etter sekund, og da er høyden s) , dvs. 20 meter. c) Ballen treffer bakken når st) 0,dvs.når 5t 2 +0t +50 5t 2 2t 3) 0 t 2 2t 30. Vi finner røttene i denne andregradslikningen med formelen for dette: t 2) ± ) 2 2 ± ± 4 2 ± 2 { 3.

9 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 5 Siden t 0 ballen treffer bakken etter at den er kastet) er det bare t 3 sekunder som gjelder. Da er farten v3) m/s, minus fordi den da beveger seg nedover.) Oppgave 9 Bruker tangentlikningen y fa)+f a)x a): a) f x) 2x så fa) ) 2 ogf a) 2 ) 2: y 2x )) y 2x +) y 2x 2 y 2x b ) Kjerneregelen: Ytre funksjon u med derivert /2 u)ogkjerneu 4x 7 med derivert 4 gir f x) 2 u 4 2.Daerf4) ogf 4) 2 4x 7 3 : y x 4) y x 8 3 y 2 3 x + 3 c ) Kvotientregelen: f x) Da er f2) ogf 2) 2 3x 4) 2x +4) 3 3x 4) x 4) ) y 4 5x 2) y 5x +4 d) 4 x 2 +7x 2 +7) /4 u /4 med u x Den deriverte av den ytre funksjonen er 4 u 3/4 4 u 3/4 4 4 u) 3. Det siste er også lik 4 4,mendeterlittlettereå regne ut funksjonsverdien i hodet med første u3 variant. Kjerneregelen gir da f x) 4 4 u) 3 2x x 2 4 u) 3 x x +7) siden Dermed er f3) 2 og f 3 3) ) Tangentlikningen er dermed y x 3) y x 9 6 y 3 6 x

10 Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap : Derivasjon. 6 e) Herbrukerduproduktregelen. På andre faktor brukes dessuten kjerneregelen: d x dx u 2x x x 2 +6 : d dx x x 2 +6 x 2 +6+x 2 x x x x 2 +6 Vi har f3) og f 3) x 2 y x 3) y 34 5 x y 34 5 x 27 5 f) Kjerneregelen pånevnerengir d dx 4x + 2 4x+. Kvotientregelen gir da 4x+ d x 4x 2 + x ) dx 4x + 2 4x + For å bli kvitt den brudne brøken er det hensiktmessig å multiplisere med 4x + i teller og nevner: f x) 4x + 4x + 4x +) 4x + 2x 4x+ 4x + 4x + 2x 4x +) 4x + 2x + 4x +) 4x + Siden erf2) 2 3 og f 2) , og tangentlikningen gir y x 2) y 5 27 x Hans Petter Hornæs